Beweis über Wohldefiniertheit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei a [mm] \in \IR, [/mm] a > 0, p, q [mm] \in \IN [/mm] und r := [mm] \bruch{p}{q}.
[/mm]
Beweisen Sie, dass
[mm] a^{r} [/mm] := [mm] \wurzel[q]{a^{p}}
[/mm]
wohldefiniert ist, d. h. für alle m, n, p, q [mm] \in [/mm] N mit
[mm] \bruch{p}{q} [/mm] = [mm] \bruch{m}{n} [/mm] gilt:
[mm] \wurzel[q]{a^{p}} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{a^{m}}
[/mm]
Man kann die Definition durch [mm] a^{-r} [/mm] := [mm] \bruch{1}{\wurzel[q]{a^{p}}}
[/mm]
erweitern, so dass die Potenz nun für alle rationalen
Zahlen erklärt ist.
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Hallo,
ich weiss leider nicht wie ich bei dieser Aufgabe anfangen soll.
Das lieg wahrscheinlic daran dass ich so meine Probleme mit der Wohldefiniertheit habe.
Wohldefiniertheit heisst ja eingentlich nur, dass man z.B. durch Axiome die Behauptung nachweisst.
Aber wie fängt an?????
Hoffe das mir jemamd hinweise geben kann.
MFG
Nathenatiker
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> Sei a [mm]\in \IR,[/mm] a > 0, p, q [mm]\in \IN[/mm] und r := [mm]\bruch{p}{q}.[/mm]
> Beweisen Sie, dass
> [mm]a^{r}[/mm] := [mm]\wurzel[q]{a^{p}}[/mm]
> wohldefiniert ist, d. h. für alle m, n, p, q [mm]\in[/mm] N mit
> [mm]\bruch{p}{q}[/mm] = [mm]\bruch{m}{n}[/mm] gilt:
> [mm]\wurzel[q]{a^{p}}[/mm] = [mm]\wurzel[n]{a^{m}}[/mm]
> Man kann die Definition durch [mm]a^{-r}[/mm] :=
> [mm]\bruch{1}{\wurzel[q]{a^{p}}}[/mm]
> erweitern, so dass die Potenz nun für alle rationalen
> Zahlen erklärt ist.
Also mit Wohldefiniertheit hatte ich auch immer meine Probleme. Aber mal ganz blöd, steht in der Aufgabenstellung nicht, dass du zeigen sollst:
[mm]\bruch{p}{q}[/mm] = [mm]\bruch{m}{n}[/mm] [mm] \Rightarrow[/mm] [mm]\wurzel[q]{a^{p}}[/mm] = [mm]\wurzel[n]{a^{m}}[/mm]?
Ähm, und wenn ich jetzt [mm]\bruch{p}{q}[/mm] = [mm]\bruch{m}{n}[/mm] nach p auflöse und für p in [mm] \wurzel[q]{a^{p}} [/mm] einsetze folgt doch schon die Beh, oder?
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Hallo,
danke für die Antwort,
klingt natürlich sehr logisch...hätte man ja vielleicht auch
selber drauf kommen können.
aber ist es damit wirklich schon bewiesen?
Wenn ich jetzt z.B folgende Aufgabe habe:
Zeigen sie, dass für alle r, s [mm] \in \IQ [/mm] gilt:
[mm] a^{r+s} [/mm] = [mm] a^{r}*a^{s} [/mm]
Dann zeige ich einfach, dass daraus
r+s = m*n [mm] \gdw [/mm] r = m*n-s
dass folgt:
[mm] a^{((m*n)-s)+s}=a^{m*n}=a^{m}*a^{n} [/mm]
Wäre das ein vollständiger Beweis, oder muss man das anders machen?
MFG
Nathenatiker
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> Hallo,
>
> danke für die Antwort,
> klingt natürlich sehr logisch...hätte man ja vielleicht
> auch
> selber drauf kommen können.
> aber ist es damit wirklich schon bewiesen?
Ehrlich gesagt keine Ahnung. Kommt auf eure Definition von Wohldefiniertheit an und was ihr alles benutzen dürft.
> Wenn ich jetzt z.B folgende Aufgabe habe:
>
> Zeigen sie, dass für alle r, s [mm]\in \IQ[/mm] gilt:
> [mm]a^{r+s}[/mm] = [mm]a^{r}*a^{s}[/mm]
> Dann zeige ich einfach, dass daraus
> r+s = m*n [mm]\gdw[/mm] r = m*n-s
> dass folgt:
> [mm]a^{((m*n)-s)+s}=a^{m*n}=a^{m}*a^{n}[/mm]
>
Naja, leider ist [mm] a^{m\cdot{}n}=(a^m)^n \not=a^m\cdot{}a^n
[/mm]
Gehe ich richtig in der Annahme das du AnaI bei Gründel-vom Hofe hörst?
Wenn ich richtig gehört hab, dürft ihr bei der Aufgabe nur irgendwelche Axiome benutzen, die ihr in der VL hattet.
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Worum es bei der Wohldefiniertheit geht, habt ihr beide wohl noch nicht ganz verstanden. Vielleicht hilft dieses hier.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Di 16.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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