Beweis von Aussagen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 Mi 20.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Seien f:X-->Y , g:Y-->Z Abbildungen. Man beweise folgende Aussagen.
a)Wenn f und g injektiv sind, ist g ° f injektiv.
b)Wenn f und g surjektiv sind, ist g ° f surjektiv.
Man begründe durch Gegenbeispiele,dass die Umkehrungen der beiden Aussagen falsch sind. |
Hallo^^
Ich hab mich mal an die Aufgabe rangemacht und hoffe jemand kann sie mir korrigieren.
a) Also ich weiß zunächst,dass f und g injektiv sind,also kann ich schon mal sagen: [mm] f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2} [/mm] und [mm] g(x_{1})=g(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2}.
[/mm]
Jetzt muss ich zeigen,dass g°f injektiv ist.Kann ich das so machen?
[mm] g°f(x_{1})=g(f(x_{1})) [/mm] und [mm] g°f(x_{2})=g(f(x_{2})). [/mm] Dann hab ich [mm] g(f(x_{1}))=g(f(x_{2})) [/mm] und weil ich weiß,dass f injektiv ist,kann ich sagen,dass [mm] x_{1}=x_{2}.
[/mm]
Ist das damit bewiesen und stimmt das so?
Die Umkehrung der Aussage wäre doch:"Ist g°f injektiv,so sind f und g injektiv"
Ich hab mir ein Beispiel ausgedacht: [mm] f:x-->x^{2}, g:x^{2}-->2x
[/mm]
Dann ist g°f=f°g=x-->2x
Also g°f ist jetzt injektiv,aber f ist nicht injektiv,bei g bin ich mir nicht sicher,kann man das überhaupt so machen,dass (bei g) vorne ein Quadrat stehen hat?
b)
Hier weiß ich schonmal,dass f und g surjektiv sind, d.h. [mm] \forall [/mm] y [mm] \in Y:\exists [/mm] x [mm] \in [/mm] X:f(x)=y und [mm] \forall [/mm] z [mm] \in Z:\exists [/mm] y [mm] \in [/mm] Y:g(y)=z.
Jetzt muss ich zeigen,dass g°f surjektiv.Also [mm] \forall [/mm] z [mm] \in Z:\exists [/mm] x [mm] \in [/mm] X:g(x)=z. (g°f)(x)=z, g(f(x))=z.
Ist es damit schon bewiesen?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:07 Mi 20.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Seien f:X-->Y , g:Y-->Z Abbildungen. Man beweise folgende
> Aussagen.
> a)Wenn f und g injektiv sind, ist g ° f injektiv.
> b)Wenn f und g surjektiv sind, ist g ° f surjektiv.
>
> Man begründe durch Gegenbeispiele,dass die Umkehrungen der
> beiden Aussagen falsch sind.
> Hallo^^
>
> Ich hab mich mal an die Aufgabe rangemacht und hoffe jemand
> kann sie mir korrigieren.
>
> a) Also ich weiß zunächst,dass f und g injektiv sind,also
> kann ich schon mal sagen: [mm]f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2}[/mm]
> und [mm]g(x_{1})=g(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2}.[/mm]
>
> Jetzt muss ich zeigen,dass g°f injektiv ist.Kann ich das
> so machen?
> [mm]g°f(x_{1})=g(f(x_{1}))[/mm] und [mm]g°f(x_{2})=g(f(x_{2})).[/mm] Dann
> hab ich [mm]g(f(x_{1}))=g(f(x_{2}))[/mm] und weil ich weiß,dass f
> injektiv ist,kann ich sagen,dass [mm]x_{1}=x_{2}.[/mm]
Moment, Moment.
Aus [mm]g(f(x_{1}))=g(f(x_{2}))[/mm] folgt , wegen der Injektivität von g, zunächst: [mm] f(x_1)=f(x_2). [/mm] Jetzt nutze die Injektivität von f, um [mm] x_1=x_2 [/mm] zuerhalten.
> Ist das damit bewiesen und stimmt das so?
>
> Die Umkehrung der Aussage wäre doch:"Ist g°f injektiv,so
> sind f und g injektiv"
> Ich hab mir ein Beispiel ausgedacht: [mm]f:x-->x^{2}, g:x^{2}-->2x[/mm]
Dein g ist keine Funktion !!!!
>
> Dann ist g°f=f°g=x-->2x
???? wie das ?
>
> Also g°f ist jetzt injektiv,aber f ist nicht injektiv,bei
> g bin ich mir nicht sicher,kann man das überhaupt so
> machen,dass (bei g) vorne ein Quadrat stehen hat?
So kannst Du das nicht machen.
>
> b)
> Hier weiß ich schonmal,dass f und g surjektiv sind, d.h.
> [mm]\forall[/mm] y [mm]\in Y:\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] X:f(x)=y und [mm]\forall[/mm] z [mm]\in Z:\exists[/mm]
> y [mm]\in[/mm] Y:g(y)=z.
>
> Jetzt muss ich zeigen,dass g°f surjektiv.Also [mm]\forall[/mm] z
> [mm]\in Z:\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] X:g(x)=z.
Das ist nicht richtig ! g ist auf Y def. und nicht auf X !!
Zu z [mm] \in [/mm] Z gibt es also ein y [mm] \in [/mm] Y mit: g(y)=z (weil g surjektiv)
Zu y gibt es ein x [mm] \in [/mm] X mit: f(x) = y (weil f surjektiv)
Jetzt mach Du weiter.
FRED
> (g°f)(x)=z, g(f(x))=z.
> Ist es damit schon bewiesen?
>
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Mi 20.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Seien f:X-->Y , g:Y-->Z Abbildungen. Man beweise folgende
> > Aussagen.
> > a)Wenn f und g injektiv sind, ist g ° f injektiv.
> > b)Wenn f und g surjektiv sind, ist g ° f surjektiv.
> >
> > Man begründe durch Gegenbeispiele,dass die Umkehrungen der
> > beiden Aussagen falsch sind.
> > Hallo^^
> >
> > Ich hab mich mal an die Aufgabe rangemacht und hoffe jemand
> > kann sie mir korrigieren.
> >
> > a) Also ich weiß zunächst,dass f und g injektiv sind,also
> > kann ich schon mal sagen: [mm]f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2}[/mm]
> > und [mm]g(x_{1})=g(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2}.[/mm]
> >
> > Jetzt muss ich zeigen,dass g°f injektiv ist.Kann ich das
> > so machen?
> > [mm]g°f(x_{1})=g(f(x_{1}))[/mm] und [mm]g°f(x_{2})=g(f(x_{2})).[/mm]
> Dann
> > hab ich [mm]g(f(x_{1}))=g(f(x_{2}))[/mm] und weil ich weiß,dass f
> > injektiv ist,kann ich sagen,dass [mm]x_{1}=x_{2}.[/mm]
>
>
> Moment, Moment.
>
> Aus [mm]g(f(x_{1}))=g(f(x_{2}))[/mm] folgt , wegen der
> Injektivität von g, zunächst: [mm]f(x_1)=f(x_2).[/mm] Jetzt nutze
> die Injektivität von f, um [mm]x_1=x_2[/mm] zuerhalten.
>
>
> > Ist das damit bewiesen und stimmt das so?
> >
> > Die Umkehrung der Aussage wäre doch:"Ist g°f injektiv,so
> > sind f und g injektiv"
> > Ich hab mir ein Beispiel ausgedacht: [mm]f:x-->x^{2}, g:x^{2}-->2x[/mm]
>
> Dein g ist keine Funktion !!!!
>
>
> >
> > Dann ist g°f=f°g=x-->2x
>
> ???? wie das ?
> >
> > Also g°f ist jetzt injektiv,aber f ist nicht injektiv,bei
> > g bin ich mir nicht sicher,kann man das überhaupt so
> > machen,dass (bei g) vorne ein Quadrat stehen hat?
>
> So kannst Du das nicht machen.
>
>
> >
> > b)
> > Hier weiß ich schonmal,dass f und g surjektiv sind,
> d.h.
> > [mm]\forall[/mm] y [mm]\in Y:\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] X:f(x)=y und [mm]\forall[/mm] z [mm]\in Z:\exists[/mm]
> > y [mm]\in[/mm] Y:g(y)=z.
> >
> > Jetzt muss ich zeigen,dass g°f surjektiv.Also [mm]\forall[/mm] z
> > [mm]\in Z:\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] X:g(x)=z.
>
>
> Das ist nicht richtig ! g ist auf Y def. und nicht auf X !!
>
> Zu z [mm]\in[/mm] Z gibt es also ein y [mm]\in[/mm] Y mit: g(y)=z (weil g
> surjektiv)
>
> Zu y gibt es ein x [mm]\in[/mm] X mit: f(x) = y (weil f surjektiv)
>
> Jetzt mach Du weiter.
Ok,so weit war ich schon.Aber kann ich nicht sagen,dass wenn f:X-->Y und g:Y-->Z ist,dass dann g°f:X-->Z ist?
Kann ich dann schreiben g°f=g(f(x)=g(y) ?
weiter weiß ich grad nicht...
> FRED
>
> > (g°f)(x)=z, g(f(x))=z.
> > Ist es damit schon bewiesen?
> >
> > lg
>
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Hallo Mandy,
> > > Seien f:X-->Y , g:Y-->Z Abbildungen. Man beweise folgende
> > > Aussagen.
> > > a)Wenn f und g injektiv sind, ist g ° f injektiv.
> > > b)Wenn f und g surjektiv sind, ist g ° f
> surjektiv.
> > >
> > > Man begründe durch Gegenbeispiele,dass die Umkehrungen der
> > > beiden Aussagen falsch sind.
> > > Hallo^^
> > >
> > > Ich hab mich mal an die Aufgabe rangemacht und hoffe jemand
> > > kann sie mir korrigieren.
> > >
> > > a) Also ich weiß zunächst,dass f und g injektiv sind,also
> > > kann ich schon mal sagen: [mm]f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2}[/mm]
> > > und [mm]g(x_{1})=g(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2}.[/mm]
> > >
> > > Jetzt muss ich zeigen,dass g°f injektiv ist.Kann ich das
> > > so machen?
> > > [mm]g°f(x_{1})=g(f(x_{1}))[/mm] und [mm]g°f(x_{2})=g(f(x_{2})).[/mm]
> > Dann
> > > hab ich [mm]g(f(x_{1}))=g(f(x_{2}))[/mm] und weil ich weiß,dass f
> > > injektiv ist,kann ich sagen,dass [mm]x_{1}=x_{2}.[/mm]
> >
> >
> > Moment, Moment.
> >
> > Aus [mm]g(f(x_{1}))=g(f(x_{2}))[/mm] folgt , wegen der
> > Injektivität von g, zunächst: [mm]f(x_1)=f(x_2).[/mm] Jetzt nutze
> > die Injektivität von f, um [mm]x_1=x_2[/mm] zuerhalten.
> >
> >
> > > Ist das damit bewiesen und stimmt das so?
> > >
> > > Die Umkehrung der Aussage wäre doch:"Ist g°f injektiv,so
> > > sind f und g injektiv"
> > > Ich hab mir ein Beispiel ausgedacht: [mm]f:x-->x^{2}, g:x^{2}-->2x[/mm]
>
> >
> > Dein g ist keine Funktion !!!!
> >
> >
> > >
> > > Dann ist g°f=f°g=x-->2x
> >
> > ???? wie das ?
> > >
> > > Also g°f ist jetzt injektiv,aber f ist nicht injektiv,bei
> > > g bin ich mir nicht sicher,kann man das überhaupt so
> > > machen,dass (bei g) vorne ein Quadrat stehen hat?
> >
> > So kannst Du das nicht machen.
> >
> >
> > >
> > > b)
> > > Hier weiß ich schonmal,dass f und g surjektiv sind,
> > d.h.
> > > [mm]\forall[/mm] y [mm]\in Y:\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] X:f(x)=y und [mm]\forall[/mm] z [mm]\in Z:\exists[/mm]
> > > y [mm]\in[/mm] Y:g(y)=z.
> > >
> > > Jetzt muss ich zeigen,dass g°f surjektiv.Also [mm]\forall[/mm] z
> > > [mm]\in Z:\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] X:g(x)=z.
> >
> >
> > Das ist nicht richtig ! g ist auf Y def. und nicht auf X !!
> >
> > Zu z [mm]\in[/mm] Z gibt es also ein y [mm]\in[/mm] Y mit: g(y)=z (weil g
> > surjektiv)
> >
> > Zu y gibt es ein x [mm]\in[/mm] X mit: f(x) = y (weil f surjektiv)
> >
> > Jetzt mach Du weiter.
>
> Ok,so weit war ich schon.Aber kann ich nicht sagen,dass
> wenn f:X-->Y und g:Y-->Z ist,dass dann g°f:X-->Z ist? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Klar, [mm]g\circ f[/mm] bedeutet: "g nach f"
[mm]g\circ f: X\overset{f}{\rightarrow}Y\overset{g}{\rightarrow}Z[/mm]
>
> Kann ich dann schreiben g°f=g(f(x)=g(y) ?
Nein, [mm]g\circ f[/mm] von was denn?
Besser [mm](g\circ f)(x)=g(f(x))=g(y)=z[/mm]
> weiter weiß ich grad nicht...
>
> > FRED
> >
> > > (g°f)(x)=z, g(f(x))=z.
> > > Ist es damit schon bewiesen?
> > >
> > > lg
> >
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Do 21.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok,vielen Dank.Das hab ich jetzt verstanden.Ich will jetzt versuchen,zwei Beispiele zu finden,die die Umkehrungen der Aussage widerlegen.
Zunächst die Umkehrung der 1.Aussage:
"Ist g [mm] \circ [/mm] f injektiv,so sind f und g injektiv.
Beispiel: [mm] f:\IR-->\IR_{0}+, x-->x^{2}, g:\IR_{0}+-->\IR [/mm] , x-->x
Dann ist g [mm] \circ f:\IR-->\IR, [/mm] x-->x
Also g [mm] \circ [/mm] f ist schonmal injektiv,weil jedem Element ein verschiedenes Bild zugeordnet wird.
f ist aber nicht injektiv und g ist auch nicht injektiv,weil die 0 kein Bild hat.
Kann ich das so machen?
Umkehrung der zweiten Aussage:
"Ist g [mm] \circ [/mm] f surjektiv,so sind auch f und g surjektiv.
Kann ich hierfür nicht auch das Beispiel von oben nehmen?
Und ich hab noch eine allgemeine Frage:Wieso ist g [mm] \circ f\not=f \circ [/mm] g
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Hallo Mandy,
> Ok,vielen Dank.Das hab ich jetzt verstanden.Ich will jetzt
> versuchen,zwei Beispiele zu finden,die die Umkehrungen der
> Aussage widerlegen.
> Zunächst die Umkehrung der 1.Aussage:
> "Ist g [mm]\circ[/mm] f injektiv,so sind f und g injektiv.
>
> Beispiel: [mm]f:\IR-->\IR_{0}+, x-->x^{2}, g:\IR_{0}+-->\IR[/mm] ,
> x-->x
>
> Dann ist g [mm]\circ f:\IR-->\IR,[/mm] x-->x ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es ist [mm](g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^2)=x^2[/mm]
>
> Also g [mm]\circ[/mm] f ist schonmal injektiv,
Nein!
> weil jedem Element ein
> verschiedenes Bild zugeordnet wird.
> f ist aber nicht injektiv und g ist auch nicht
> injektiv,weil die 0 kein Bild hat.
> Kann ich das so machen?
>
> Umkehrung der zweiten Aussage:
> "Ist g [mm]\circ[/mm] f surjektiv,so sind auch f und g surjektiv.
>
> Kann ich hierfür nicht auch das Beispiel von oben nehmen?
>
> Und ich hab noch eine allgemeine Frage:Wieso ist g [mm]\circ f\not=f \circ[/mm] g
Nimm [mm]f(x)=x^2, g(x)=2x[/mm]
Dann ist [mm](g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^2)=2x^2[/mm] und [mm](f\circ g)(x)=f(g(x))=f(2x)=(2x)^2=4x^2[/mm]
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:56 Do 21.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy,
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> > Ok,vielen Dank.Das hab ich jetzt verstanden.Ich will jetzt
> > versuchen,zwei Beispiele zu finden,die die Umkehrungen der
> > Aussage widerlegen.
> > Zunächst die Umkehrung der 1.Aussage:
> > "Ist g [mm]\circ[/mm] f injektiv,so sind f und g injektiv.
> >
> > Beispiel: [mm]f:\IR-->\IR_{0}+, x-->x^{2}, g:\IR_{0}+-->\IR[/mm] ,
> > x-->x
> >
> > Dann ist g [mm]\circ f:\IR-->\IR,[/mm] x-->x
>
> Es ist [mm](g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^2)=x^2[/mm]
>
> >
> > Also g [mm]\circ[/mm] f ist schonmal injektiv,
>
> Nein!
Und wenn ich schreibe [mm] f:\IR-->\IR_{0}+, [/mm] x-->x, [mm] g:\IR_{0}+-->\IR
[/mm]
dann ist doch [mm] g\circ [/mm] f injektiv oder?
Kann ich dann dieses Beispiel nehmen?
>
> > weil jedem Element ein
> > verschiedenes Bild zugeordnet wird.
> > f ist aber nicht injektiv und g ist auch nicht
> > injektiv,weil die 0 kein Bild hat.
> > Kann ich das so machen?
> >
> > Umkehrung der zweiten Aussage:
> > "Ist g [mm]\circ[/mm] f surjektiv,so sind auch f und g
> surjektiv.
> >
> > Kann ich hierfür nicht auch das Beispiel von oben nehmen?
> >
> > Und ich hab noch eine allgemeine Frage:Wieso ist g [mm]\circ f\not=f \circ[/mm]
> g
>
> Nimm [mm]f(x)=x^2, g(x)=2x[/mm]
>
> Dann ist [mm](g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^2)=2x^2[/mm] und [mm](f\circ g)(x)=f(g(x))=f(2x)=(2x)^2=4x^2[/mm]
Ok,jetzt ist es einleuchtend.
lg
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
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Halo Mandy,
>
> Und wenn ich schreibe [mm]f:\IR-->\IR_{0}+,[/mm] x-->x,
> [mm]g:\IR_{0}+-->\IR[/mm]
> dann ist doch [mm]g\circ[/mm] f injektiv oder?
Das wird von $g$ abhängen! Gib das mal an!
> Kann ich dann dieses Beispiel nehmen?
>
Vielleicht, vielleicht auch nicht ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Halo Mandy,
>
> >
> > Und wenn ich schreibe [mm]f:\IR-->\IR_{0}+,[/mm] x-->x,
> > [mm]g:\IR_{0}+-->\IR[/mm]
> > dann ist doch [mm]g\circ[/mm] f injektiv oder?
>
> Das wird von [mm]g[/mm] abhängen! Gib das mal an!
Es ist [mm] g:\IR_{0}+-->\IR, [/mm] x-->x. Dann müsste das doch stimmen oder?
>
>
> > Kann ich dann dieses Beispiel nehmen?
> >
>
>
> Vielleicht, vielleicht auch nicht ...
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
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Hallo nochmal,
> > Halo Mandy,
> >
> > >
> > > Und wenn ich schreibe [mm]f:\IR-->\IR_{0}+,[/mm] x-->x,
> > > [mm]g:\IR_{0}+-->\IR[/mm]
> > > dann ist doch [mm]g\circ[/mm] f injektiv oder?
> >
> > Das wird von [mm]g[/mm] abhängen! Gib das mal an!
>
> Es ist [mm]g:\IR_{0}+-->\IR,[/mm] x-->x. Dann müsste das doch
> stimmen oder?
Naja, irgendwie ist f keine Funktion, oder?
Es muss doch jedem Element des Definitionsbereiches ein Element des Zeilbereiches zugeordnet werden.
Das oben so definierte f ist nicht linkstotal!
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo nochmal,
>
>
> > > Halo Mandy,
> > >
> > > >
> > > > Und wenn ich schreibe [mm]f:\IR-->\IR_{0}+,[/mm] x-->x,
> > > > [mm]g:\IR_{0}+-->\IR[/mm]
> > > > dann ist doch [mm]g\circ[/mm] f injektiv oder?
> > >
> > > Das wird von [mm]g[/mm] abhängen! Gib das mal an!
> >
> > Es ist [mm]g:\IR_{0}+-->\IR,[/mm] x-->x. Dann müsste das doch
> > stimmen oder?
>
> Naja, irgendwie ist f keine Funktion, oder?
>
> Es muss doch jedem Element des Definitionsbereiches ein
> Element des Zeilbereiches zugeordnet werden.
>
> Das oben so definierte f ist nicht linkstotal!
Ich verzweifle noch an diesem Beispiel...und wenn ich [mm] f:\IR-->\IR_{0}+, x-->\bruch{1}{x} [/mm] schreibe ?
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
>
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...und wenn ich
> [mm]f:\IR-->\IR_{0}+, x-->\bruch{1}{x}[/mm] schreibe ?
Hallo,
das ist doch keine Funktion, denn was sollte f(-5) sein?
Gruß v. Angela
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