Beweis von Gleichheit < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:42 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Wuffel |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Ist f injektiv, so gilt stets: $f(A [mm] \cap [/mm] B) = f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)$. |
In einer Aufgabe vorher sollte man beweisen, dass $f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)$.
Das war auch kein Problem, doch mein Problem ist nun, wie ich die Injektivität mit in den Beweis reinbringe. Es ist ja logisch, dass es für nicht injektive [mm] $f(A\cap [/mm] B)$ kleiner als $ f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)$ ist, nur ich weiß nicht, wie ich das mathematisch korrekt aufschreiben kann.
Ich habe es mit dem Ansatz $f(A) = f(B) [mm] \gdw [/mm] A = B$ versucht, jedoch bringt mich das auch nicht weiter. Kann mir einer einen Ansatz verraten, wie man die Injektivität mit einbringen kann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Martin,
also zur Rückrichtung:
zu zeigen ist, dass gilt: [mm] $f(A)\cap f(B)\subset f(A\cap [/mm] B)$
dh. [mm] $y\in f(A)\cap f(B)\Rightarrow y\in f(A\cap [/mm] B)$
Nimm dir also solch ein [mm] $y\in f(A)\cap [/mm] f(B)$ her
[mm] $\Rightarrow y\in f(A)\wedge y\in [/mm] f(B)$
[mm] $\Rightarrow \exists x_1\in [/mm] A : [mm] f(x_1)=y$ [/mm] und [mm] $\exists x_2\in [/mm] B : [mm] f(x_2)=y$
[/mm]
Nun kommt die Injektivität ins Spiel...
Was folgt wegen der Injektivität von f aus [mm] $f(x_1)=f(x_2)=y$ [/mm] ?
Das führe dann noch etwas weiter und du hast es...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Wuffel |
Hallo,
Danke erstmal für die schnelle Antwort :)
Aber ist nicht $ [mm] f(A)\cap f(B)\subset f(A\cap [/mm] B) $ genau das Gegenteil zu [mm] $f(A\cap [/mm] B) [mm] \subseteq f(A)\cap [/mm] f(B)$?
Nach dem was ich bis jetzt so gehört habe müsste man dann zeigen, dass $ [mm] f(A)\cap f(B)\subseteq f(A\cap [/mm] B) $ oder? Aber bei der weiteren Rechnung macht das ja keinen Unterschied.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Mo 05.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Aber ist nicht [mm]f(A)\cap f(B)\subset f(A\cap B)[/mm] genau das
> Gegenteil zu [mm]f(A\cap B) \subseteq f(A)\cap f(B)[/mm]?
das genegteil ist es nicht. manche leute verwenden [mm] $\subset$ [/mm] und [mm] $\subseteq$ [/mm] äquivalent für "ist teilmenge von" (und lassen dann in beiden fällen auch gleichheit zu). so war das auch von schachuzipus gemeint. man muss also zeigen: $x [mm] \in f(A)\cap [/mm] f(B) [mm] \; \Longrightarrow \; f(A\cap [/mm] B)$.
> Nach dem was ich bis jetzt so gehört habe müsste man dann
> zeigen, dass [mm]f(A)\cap f(B)\subseteq f(A\cap B)[/mm] oder? Aber
> bei der weiteren Rechnung macht das ja keinen Unterschied.
genau. der weg der oben aufgezeigt wurde sollte dann zum ziel führen.
grüße
andreas
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