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Beweis von Gruppe für n aus N: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:28 Mo 14.11.2016
Autor: asg

Aufgabe
Für welche [mm]n \in \IN[/mm] ist [mm](\IZ_n \setminus \{0\}, \odot_n)[/mm] eine Gruppe? Beweisen Sie Ihre Antwort.
Die Menge [mm]\IZ_n[/mm] ist definiert als [mm]\IZ_n = \{0,1,\dots,n-1\}[/mm]
Sie dürfen als bereits bewiesen voraussetzen, dass die Verknüpfungen [mm] \odot_n [/mm] assoziativ sind.

Hallo,

bei dieser Aufgabe muss ich ja die drei Gruppenaxiome (Abgeschlossenheit, Neutrales Element, Inverses Element) zeigen, dass sie gelten. Die Assoziativität ist ja als bereits bewiesen vorausgesetzt.

Das Neutrale Element ist [mm]e = 1[/mm] denn [mm]1*a_\odot_n=a*1_\odot_n=a[/mm] [mm]\forall a \in \IZ_n \setminus \{0\}[/mm]

Für die Axiome Abgeschlossenheit und Inverses Element fehlt mir die Idee.
Was ich mir bisher überlegt habe ist folgendes zur Abgeschlossenheit:
[mm]a * b = n * k + r[/mm] [mm]\forall a, b \in \IZ_n \setminus \{0\}[/mm]  [mm]\exists r \in \IZ_n \setminus \{0\}[/mm] [mm]\exists k \in \IN_n \setminus \{0\}[/mm]
[mm]n = \frac{a*b-r}{k}[/mm]

Ich weiß hier nicht weiter ...

Auch zum Inversen Element habe ich keine Idee ...

Ich würde mich über Tipps und Hilfe freuen.

Danke vorab

Viele Grüße

Asg

        
Bezug
Beweis von Gruppe für n aus N: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:27 Mo 14.11.2016
Autor: angela.h.b.


> Für welche [mm]n \in \IN[/mm] ist [mm](\IZ_n \setminus \{0\}, \odot_n)[/mm]
> eine Gruppe? Beweisen Sie Ihre Antwort.
> Die Menge [mm]\IZ_n[/mm] ist definiert als [mm]\IZ_n = \{0,1,\dots,n-1\}[/mm]

Hallo,

nun wäre es natürlich auch ganz gut, wenn wir erfahren dürften, wie die Verknüpfung [mm] \odot_n [/mm] definert ist - auch, wenn "man" es sich schon "irgendwie" denken kann.

>

> Sie dürfen als bereits bewiesen voraussetzen, dass die
> Verknüpfungen [mm]\odot_n[/mm] assoziativ sind.
> Hallo,

>

> bei dieser Aufgabe muss ich ja die drei Gruppenaxiome
> (Abgeschlossenheit, Neutrales Element, Inverses Element)
> zeigen, dass sie gelten. Die Assoziativität ist ja als
> bereits bewiesen vorausgesetzt.

>

> Das Neutrale Element ist [mm]e = 1[/mm] denn
> [mm]1*a_\odot_n=a*1_\odot_n=a[/mm] [mm]\forall a \in \IZ_n \setminus \{0\}[/mm]

Du wolltest wohl eher schreiben

[mm] 1\odot_n a=a\odot_n=a [/mm] für alle [mm] a\in \IZ_n\setminus \{0\}, [/mm]

denn a*1=1*a=a=0*n+a. Oder so ähnlich.

Jedenfalls ist 1 neutrales Element, das stimmt.


Hast Du denn schon eine Idee entwickelt, für welche n man eine Gruppe bekommt und für welche nicht?
Das Beweisen fällt leichter, wenn man weiß, was man zeigen möchte.

Untersuche dazu doch zunächst einmal ganz konkret (Verknüpfungstafel) z.B. n=3,4,7,9, 10.

Was fällt auf? Für welche n ist [mm] \IZ_n\setminus\{0\} [/mm] nict abgeschlossen unter der hier betrachteten Multiplikation? Wie kommt das?

LG Angela



>

> Für die Axiome Abgeschlossenheit und Inverses Element
> fehlt mir die Idee.
> Was ich mir bisher überlegt habe ist folgendes zur
> Abgeschlossenheit:
> [mm]a * b = n * k + r[/mm] [mm]\forall a, b \in \IZ_n \setminus \{0\}[/mm]
> [mm]\exists r \in \IZ_n \setminus \{0\}[/mm] [mm]\exists k \in \IN_n \setminus \{0\}[/mm]

>

> [mm]n = \frac{a*b-r}{k}[/mm]

>

> Ich weiß hier nicht weiter ...

>

> Auch zum Inversen Element habe ich keine Idee ...

>

> Ich würde mich über Tipps und Hilfe freuen.

>

> Danke vorab

>

> Viele Grüße

>

> Asg


Bezug
                
Bezug
Beweis von Gruppe für n aus N: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:00 Mi 23.11.2016
Autor: asg

Hallo Angela,

Dankeschön für die super schnelle Hilfe und tut mir leid für die sehr späte Rückmeldung von mir - ich musste für die anderen Veranstaltungen Vorbereitungen machen ...

Ich sehe es nun nachdem ich die Verknüpfungstabellen erstellt habe. Die Antwort ist nämlich: $ [mm] (\IZ_n \setminus \{0\}, \odot_n) [/mm] $ ist für alle $ n [mm] \in \IP$ [/mm] eine Gruppe.

Ich werde noch den Beweis dafür schreiben und melde mich nochmals ...

Bis dann

Liebe Grüße

Asg

Bezug
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