Beweis von Gruppe für n aus N < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:28 Mo 14.11.2016 | | Autor: | asg |
| Aufgabe | Für welche [mm]n \in \IN[/mm] ist [mm](\IZ_n \setminus \{0\}, \odot_n)[/mm] eine Gruppe? Beweisen Sie Ihre Antwort.
Die Menge [mm]\IZ_n[/mm] ist definiert als [mm]\IZ_n = \{0,1,\dots,n-1\}[/mm]
Sie dürfen als bereits bewiesen voraussetzen, dass die Verknüpfungen [mm] \odot_n [/mm] assoziativ sind. |
Hallo,
bei dieser Aufgabe muss ich ja die drei Gruppenaxiome (Abgeschlossenheit, Neutrales Element, Inverses Element) zeigen, dass sie gelten. Die Assoziativität ist ja als bereits bewiesen vorausgesetzt.
Das Neutrale Element ist [mm]e = 1[/mm] denn [mm]1*a_\odot_n=a*1_\odot_n=a[/mm] [mm]\forall a \in \IZ_n \setminus \{0\}[/mm]
Für die Axiome Abgeschlossenheit und Inverses Element fehlt mir die Idee.
Was ich mir bisher überlegt habe ist folgendes zur Abgeschlossenheit:
[mm]a * b = n * k + r[/mm] [mm]\forall a, b \in \IZ_n \setminus \{0\}[/mm] [mm]\exists r \in \IZ_n \setminus \{0\}[/mm] [mm]\exists k \in \IN_n \setminus \{0\}[/mm]
[mm]n = \frac{a*b-r}{k}[/mm]
Ich weiß hier nicht weiter ...
Auch zum Inversen Element habe ich keine Idee ...
Ich würde mich über Tipps und Hilfe freuen.
Danke vorab
Viele Grüße
Asg
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> Für welche [mm]n \in \IN[/mm] ist [mm](\IZ_n \setminus \{0\}, \odot_n)[/mm]
> eine Gruppe? Beweisen Sie Ihre Antwort.
> Die Menge [mm]\IZ_n[/mm] ist definiert als [mm]\IZ_n = \{0,1,\dots,n-1\}[/mm]
Hallo,
nun wäre es natürlich auch ganz gut, wenn wir erfahren dürften, wie die Verknüpfung [mm] \odot_n [/mm] definert ist - auch, wenn "man" es sich schon "irgendwie" denken kann.
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> Sie dürfen als bereits bewiesen voraussetzen, dass die
> Verknüpfungen [mm]\odot_n[/mm] assoziativ sind.
> Hallo,
>
> bei dieser Aufgabe muss ich ja die drei Gruppenaxiome
> (Abgeschlossenheit, Neutrales Element, Inverses Element)
> zeigen, dass sie gelten. Die Assoziativität ist ja als
> bereits bewiesen vorausgesetzt.
>
> Das Neutrale Element ist [mm]e = 1[/mm] denn
> [mm]1*a_\odot_n=a*1_\odot_n=a[/mm] [mm]\forall a \in \IZ_n \setminus \{0\}[/mm]
Du wolltest wohl eher schreiben
[mm] 1\odot_n a=a\odot_n=a [/mm] für alle [mm] a\in \IZ_n\setminus \{0\},
[/mm]
denn a*1=1*a=a=0*n+a. Oder so ähnlich.
Jedenfalls ist 1 neutrales Element, das stimmt.
Hast Du denn schon eine Idee entwickelt, für welche n man eine Gruppe bekommt und für welche nicht?
Das Beweisen fällt leichter, wenn man weiß, was man zeigen möchte.
Untersuche dazu doch zunächst einmal ganz konkret (Verknüpfungstafel) z.B. n=3,4,7,9, 10.
Was fällt auf? Für welche n ist [mm] \IZ_n\setminus\{0\} [/mm] nict abgeschlossen unter der hier betrachteten Multiplikation? Wie kommt das?
LG Angela
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> Für die Axiome Abgeschlossenheit und Inverses Element
> fehlt mir die Idee.
> Was ich mir bisher überlegt habe ist folgendes zur
> Abgeschlossenheit:
> [mm]a * b = n * k + r[/mm] [mm]\forall a, b \in \IZ_n \setminus \{0\}[/mm]
> [mm]\exists r \in \IZ_n \setminus \{0\}[/mm] [mm]\exists k \in \IN_n \setminus \{0\}[/mm]
>
> [mm]n = \frac{a*b-r}{k}[/mm]
>
> Ich weiß hier nicht weiter ...
>
> Auch zum Inversen Element habe ich keine Idee ...
>
> Ich würde mich über Tipps und Hilfe freuen.
>
> Danke vorab
>
> Viele Grüße
>
> Asg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 Mi 23.11.2016 | | Autor: | asg |
Hallo Angela,
Dankeschön für die super schnelle Hilfe und tut mir leid für die sehr späte Rückmeldung von mir - ich musste für die anderen Veranstaltungen Vorbereitungen machen ...
Ich sehe es nun nachdem ich die Verknüpfungstabellen erstellt habe. Die Antwort ist nämlich: $ [mm] (\IZ_n \setminus \{0\}, \odot_n) [/mm] $ ist für alle $ n [mm] \in \IP$ [/mm] eine Gruppe.
Ich werde noch den Beweis dafür schreiben und melde mich nochmals ...
Bis dann
Liebe Grüße
Asg
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