Beweis von Indexmegen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Beweisen Sie ohne Verwendung von vollständiger Induktion:
a) [mm] \overline{(\bigcup_{k=1}^{m} A_{k})} [/mm] = [mm] \bigcap_{k=1}^{m} \overline{A_{k}},
[/mm]
b) [mm] \overline{(\bigcap_{k=1}^{m} A_{k})} [/mm] = [mm] \bigcup_{k=1}^{m} \overline{A_{k}}. [/mm] |
Ich hab da eine Idee, aber bin mir nicht sicher, ob dies so korrekt ist.
Könnte mir jemand behilflich sein?
Meine Idee: mit Hilfe der De Morganschen Gesetzen
a) A = [mm] \overline{(\bigcup_{k=1}^{m} A_{k})} [/mm] ; B = [mm] \bigcap_{k=1}^{m} \overline{A_{k}}
[/mm]
A = B --> A [mm] \subseteq [/mm] B und B [mm] \subseteq [/mm] A
A [mm] \subseteq [/mm] B: x [mm] \in [/mm] A --> x [mm] \not\in \overline{A}
[/mm]
--> x [mm] \not\in \bigcup_{k=1}^{m} A_{k}
[/mm]
--> x [mm] \not\in A_{k}, \exists [/mm] k [mm] \in \IN
[/mm]
--> x [mm] \in \overline{A_{k}}, \forall [/mm] k [mm] \in \IN
[/mm]
--> x [mm] \in \bigcap_{k=1}^{m} \overline{A_{k}} [/mm] = B
B [mm] \subseteq [/mm] A: x [mm] \in [/mm] B --> x [mm] \in \overline{A_{k}}, \forall [/mm] k [mm] \in \IN
[/mm]
--> x [mm] \not\in A_{k}, \exists [/mm] k [mm] \in \IN
[/mm]
--> x [mm] \not\in \bigcup_{k=1}^{m} A_{k}
[/mm]
--> x [mm] \in \overline{(\bigcup_{k=1}^{m} A_{k})} [/mm] = A
--> A = B --> [mm] \overline{(\bigcup_{k=1}^{m} A_{k})} [/mm] = [mm] \bigcap_{k=1}^{m} \overline{A_{k}}
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
Würde gern erstmal eine Rückmeldung erhalten, eh ich mich an b) mache.
Vielen Dank im Voraus!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:31 So 20.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie ohne Verwendung von vollständiger Induktion:
> a) [mm]\overline{(\bigcup_{k=1}^{m} A_{k})}[/mm] =
> [mm]\bigcap_{k=1}^{m} \overline{A_{k}},[/mm]
>
> b) [mm]\overline{(\bigcap_{k=1}^{m} A_{k})}[/mm] = [mm]\bigcup_{k=1}^{m} \overline{A_{k}}.[/mm]
>
> Ich hab da eine Idee, aber bin mir nicht sicher, ob dies so
> korrekt ist.
> Könnte mir jemand behilflich sein?
>
> Meine Idee: mit Hilfe der De Morganschen Gesetzen
>
> a) A = [mm]\overline{(\bigcup_{k=1}^{m} A_{k})}[/mm] ; B =
> [mm]\bigcap_{k=1}^{m} \overline{A_{k}}[/mm]
>
> A = B --> A [mm]\subseteq[/mm] B und B [mm]\subseteq[/mm] A
>
> A [mm]\subseteq[/mm] B: x [mm]\in[/mm] A --> x [mm]\not\in \overline{A}[/mm]
>
> --> x [mm]\not\in \bigcup_{k=1}^{m} A_{k}[/mm]
>
> --> x [mm]\not\in A_{k}, \exists[/mm] k [mm]\in \IN[/mm]
Das stimmt nicht. Richtig ist: [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IN: [/mm] x [mm] \not\in A_{k}
[/mm]
>
> --> x [mm]\in \overline{A_{k}}, \forall[/mm] k [mm]\in \IN[/mm]
Jetzt stimmts wieder.
>
> --> x [mm]\in \bigcap_{k=1}^{m} \overline{A_{k}}[/mm] = B
Ja.
>
> B [mm]\subseteq[/mm] A: x [mm]\in[/mm] B --> x [mm]\in \overline{A_{k}}, \forall[/mm]
> k [mm]\in \IN[/mm]
> --> x [mm]\not\in A_{k}, \exists[/mm] k
> [mm]\in \IN[/mm]
Wieder nicht richtiig.
Richtig: [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IN [/mm] :x [mm] \notin A_k [/mm]
> --> x [mm]\not\in \bigcup_{k=1}^{m} A_{k}[/mm]
Jetzt bist Du wieder in der Spur.
>
> --> x [mm]\in \overline{(\bigcup_{k=1}^{m} A_{k})}[/mm]
> = A
Ja
FRED
>
> --> A = B --> [mm]\overline{(\bigcup_{k=1}^{m} A_{k})}[/mm] =
> [mm]\bigcap_{k=1}^{m} \overline{A_{k}}[/mm]
>
> [mm]\Box[/mm]
>
> Würde gern erstmal eine Rückmeldung erhalten, eh ich mich
> an b) mache.
> Vielen Dank im Voraus!
|
|
|
| |
|
nun zu
b) A = [mm] \overline{(\bigcap_{k=1}^{m} A_{k})}; [/mm] B = [mm] \bigcup_{k=1}^{m} \overline{A_{k}}
[/mm]
A = B --> A [mm] \subseteq [/mm] B und B [mm] \subseteq [/mm] A
A [mm] \subseteq [/mm] B: x [mm] \in [/mm] A --> x [mm] \not\in \overline{A}
[/mm]
--> x [mm] \not\in \bigcap_{k=1}^{m} A_{k}
[/mm]
--> x [mm] \not\in A_{k}, \exists [/mm] k [mm] \in \IN
[/mm]
--> x [mm] \in \overline A_{k}, \exists [/mm] k [mm] \in \IN
[/mm]
--> x [mm] \in \bigcup_{k=1}^{m} \overline{A_{k}} [/mm] = B
B [mm] \subseteq [/mm] A: x [mm] \in [/mm] B --> x [mm] \in \overline{A_{k}}, \exists [/mm] k [mm] \in \IN
[/mm]
--> x [mm] \not\in A_{k}, \exists [/mm] k [mm] \in \IN
[/mm]
--> x [mm] \not\in \bigcap_{k=1}^{m} A_{k}
[/mm]
--> x [mm] \in \overline{(\bigcap_{k=1}^{m} A_{k})} [/mm] = A
A = B --> [mm] \overline{(\bigcap_{k=1}^{m} A_{k})} [/mm] = [mm] \bigcup_{k=1}^{m} \overline{A_{k}}
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
Ist das so korrekt?
|
|
|
| |
|
Könnte mir jemand zu b) bitte eine Rückmeldung geben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Mo 21.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> nun zu
>
> b) A = [mm]\overline{(\bigcap_{k=1}^{m} A_{k})};[/mm] B =
> [mm]\bigcup_{k=1}^{m} \overline{A_{k}}[/mm]
>
> A = B --> A [mm]\subseteq[/mm] B und B [mm]\subseteq[/mm] A
>
> A [mm]\subseteq[/mm] B: x [mm]\in[/mm] A --> x [mm]\not\in \overline{A}[/mm]
>
> --> x [mm]\not\in \bigcap_{k=1}^{m} A_{k}[/mm]
>
> --> x [mm]\not\in A_{k}, \exists[/mm] k [mm]\in \IN[/mm]
Richtig ist: [mm] \exists [/mm] k [mm]\in \IN[/mm]: x [mm] \not\in A_{k}
[/mm]
>
> --> x [mm]\in \overline A_{k}, \exists[/mm] k [mm]\in \IN[/mm]
Ebenso: stelle den Existenzquantor nach vorne
>
> --> x [mm]\in \bigcup_{k=1}^{m} \overline{A_{k}}[/mm] = B
>
> B [mm]\subseteq[/mm] A: x [mm]\in[/mm] B --> x [mm]\in \overline{A_{k}}, \exists[/mm]
> k [mm]\in \IN[/mm]
Ebenso: stelle den Existenzquantor nach vorne
> --> x [mm]\not\in A_{k}, \exists[/mm] k
> [mm]\in \IN[/mm]
Ebenso: stelle den Existenzquantor nach vorne
> --> x [mm]\not\in \bigcap_{k=1}^{m} A_{k}[/mm]
>
> --> x [mm]\in \overline{(\bigcap_{k=1}^{m} A_{k})}[/mm]
> = A
>
> A = B --> [mm]\overline{(\bigcap_{k=1}^{m} A_{k})}[/mm] =
> [mm]\bigcup_{k=1}^{m} \overline{A_{k}}[/mm]
>
> [mm]\Box[/mm]
>
> Ist das so korrekt?
Ja, bis auf das , was ich oben angemerkt habe.
FRED
|
|
|
| |
|
Ich bedanke mich für die Hilfe.
|
|
|
|
