Beweis von Mengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 Di 02.02.2010 | | Autor: | jens10 |
| Aufgabe | A, B, C sind Teilmengen einer Menge M.
Beweisen Sie die Aussage oder widerlegen Sie durch ein Gegenbeipiel.
(A [mm] \cup [/mm] B = A [mm] \cup [/mm] C) [mm] \Rightarrow [/mm] B = C |
Hallo,
mein erster Beitrag, meine erste Frage hier im Forum.
Ich bin grad dabei mich in die mengenlehre einzuarbeiten und bin bei dieser Aufgabe auf ein Problem gestoßen.
Bei dieser Aufgabe irritiert mich das " [mm] \Rightarrow [/mm] " - Zeichen. Ich weiß nicht wie ich das in meiner Argumentation verwenden soll :((
Ich weiß, daß die Gleichheit zweier Mengen
A [mm] \cup [/mm] B = A [mm] \cup [/mm] C
folgendermaßen zu prüfen ist.
A [mm] \cup [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \cup [/mm] C
und
A [mm] \cup [/mm] C [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \cup [/mm] B
ebenso mit B = C
B [mm] \subseteq [/mm] C
und
C [mm] \subseteq [/mm] B
Wenn ich jetzt anfangen möchte, komm ich nicht weit...
x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)
wäre sehr lieb, wenn mir eine / r weiterhelfen könnte.
Danke.
Übrigens : )
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Jens,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> A, B, C sind Teilmengen einer Menge M.
> Beweisen Sie die Aussage oder widerlegen Sie durch ein
> Gegenbeipiel.
>
> (A [mm]\cup[/mm] B = A [mm]\cup[/mm] C) [mm]\Rightarrow[/mm] B = C
> Hallo,
> Bei dieser Aufgabe irritiert mich das " [mm]\Rightarrow[/mm] " -
> Zeichen. Ich weiß nicht wie ich das in meiner
> Argumentation verwenden soll :((
Naja, du müsstest eben zeigen:
Wenn [mm] A\cup [/mm] B = [mm] A\cup [/mm] C gilt,
dann folgt B = C.
> Ich weiß, daß die Gleichheit zweier Mengen
> A [mm]\cup[/mm] B = A [mm]\cup[/mm] C
> folgendermaßen zu prüfen ist.
> A [mm]\cup[/mm] B [mm]\subseteq[/mm] A [mm]\cup[/mm] C
> und
> A [mm]\cup[/mm] C [mm]\subseteq[/mm] A [mm]\cup[/mm] B
>
> ebenso mit B = C
> B [mm]\subseteq[/mm] C
> und
> C [mm]\subseteq[/mm] B
Achtung: Angenommen, die Aussage wäre richtig (sie ist es aber nicht), dann müsstest du nur zeigen:
B = C,
wobei du dafür benutzen darfst, dass [mm] A\cup [/mm] B = [mm] A\cup [/mm] C gilt.
D.h. du hättest zu zeigen: B [mm] \subset [/mm] C und C [mm] \subset [/mm] B.
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Hier ist die Aussage aber falsch. An einem Mengenbild kannst du dir das eigentlich leicht veranschaulichen. Wenn zum Beispiel
A = [mm] \{1,2,3\}
[/mm]
B = [mm] \{1,2,4\}
[/mm]
C = [mm] \{1,4\}
[/mm]
Dann ist die Voraussetzung erfüllt, aber die Folgerung stimmt nicht.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Di 02.02.2010 | | Autor: | jens10 |
Danke für die schnelle antwort.
Aber wie geh ich das an ?
Wie führe ich einen ordentlichen Beweis dieser Aussage?
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Hallo,
> Danke für die schnelle antwort.
> Aber wie geh ich das an ?
>
> Wie führe ich einen ordentlichen Beweis dieser Aussage?
Gar nicht, sie gilt doch nicht, hast du nicht gelesen, was man dir geschrieben hat?
Was steht in der Aufgabenstellung?
Beweisen Sie oder widerlegen Sie, indem Sie ein Gegenbsp. angeben.
Und das Gegenbsp. hat Stefan dir auch schon serviert.
Was fehlt noch?
Soll es dir einer in Schönschrift auf dein Lösungsblatt schreiben, das du dann abgeben kannst ...
Mensch ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:28 Di 02.02.2010 | | Autor: | jens10 |
tut mir ja leid...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Di 02.02.2010 | | Autor: | jens10 |
| Aufgabe | Beweisen Sie die Aussage oder widerlegen Sie sie durch ein Gegenbeispiel.
(A [mm] \cap [/mm] B = A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \Rightarrow [/mm] B = C |
Wenn ich dies jetzt richtig verstanden habe, dann müßte das auch analog funktionieren.
Also :
zu zeigen ist B = C
Gegenbeispiel:
A: {1,3}
B: {2,3,5,6}
C: {3,4,6}
dann ist
A [mm] \cap [/mm] B : {3}
A [mm] \cap [/mm] C : {3}
und B ist aber nicht gleich C weil
B ist nicht [mm] \subseteq [/mm] C
da B: {2,5} nicht in C enthalten ist...
C [mm] \subseteq [/mm] B erübrigt sich.
Also ist die Folgerung B = C nicht zutreffend.
Richtig ?
Hab ich das verstanden ?
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Alles richtig!
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Di 02.02.2010 | | Autor: | jens10 |
| Aufgabe | Beweisen Sie die Aussage oder widerlegen Sie sie durch ein Gegenbeispiel.
(A [mm] \subseteq [/mm] B) [mm] \Rightarrow [/mm] ( [mm] \overline{B} \subseteq \overline{A} [/mm] ) |
Danke Patrick!
Um meine Herangehensweise zu bestätigen. Hier die nächste Aufgabe:
Da die Voraussetzung A [mm] \subseteq [/mm] B ist so ist
[mm] \overline{B} [/mm] = A [mm] \setminus [/mm] B
und
[mm] \overline{A} [/mm] = B [mm] \setminus [/mm] A
Gegenbeispiel:
A: {2,3}
B: {2,3,5,6}
A [mm] \subseteq [/mm] B : {2,3,5,6}
Die Voraussetzung stimmt also.
Die Folgerung:
A [mm] \setminus [/mm] B : {} (leere Menge)
und
B [mm] \setminus [/mm] A : {5,6}
Definition der leeren Menge:
{} [mm] \subseteq [/mm] M für jede Menge M.
So ist
A [mm] \setminus [/mm] B = {} [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \setminus [/mm] A
Die Folgerung stimmt und somit auch die Aussage.
Hoffe da ist kein Denkfehler...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:35 Di 02.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Beweisen Sie die Aussage oder widerlegen Sie sie durch ein
> Gegenbeispiel.
>
> (A [mm]\subseteq[/mm] B) [mm]\Rightarrow[/mm] ( [mm]\overline{B} \subseteq \overline{A}[/mm]
> )
> Danke Patrick!
>
> Um meine Herangehensweise zu bestätigen. Hier die nächste
> Aufgabe:
>
> Da die Voraussetzung A [mm]\subseteq[/mm] B ist so ist
> [mm]\overline{B}[/mm] = A [mm]\setminus[/mm] B
> und
> [mm]\overline{A}[/mm] = B [mm]\setminus[/mm] A
>
> Gegenbeispiel:
>
> A: {2,3}
> B: {2,3,5,6}
>
> A [mm]\subseteq[/mm] B : {2,3,5,6}
> Die Voraussetzung stimmt also.
>
> Die Folgerung:
>
> A [mm]\setminus[/mm] B : {} (leere Menge)
> und
> B [mm]\setminus[/mm] A : {5,6}
>
> Definition der leeren Menge:
> {} [mm]\subseteq[/mm] M für jede Menge M.
>
> So ist
> A [mm]\setminus[/mm] B = {} [mm]\subseteq[/mm] B [mm]\setminus[/mm] A
> Die Folgerung stimmt und somit auch die Aussage.
>
> Hoffe da ist kein Denkfehler...
Hallo,
wenn eine Aussage wahr ist, kannst du sie nicht einfach durch ein günstig gewähltes Beispiel (oder durch Folgerungen aus einem Beipiel) beweisen.
So könnte es was werden:
Da die Voraussetzung A [mm]\subseteq[/mm] B ist so gilt:
x [mm] \in [/mm] A [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm] \in [/mm] B .
Daraus solltest du mal die Kontraposition bilden...
Gruß Abakus
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Di 02.02.2010 | | Autor: | jens10 |
ah ok ...
Beweis durch kontraposition:
x [mm] \not\in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \setminus [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] B [mm] \setminus [/mm] A
[mm] \Rightarrow \overline{B} \subseteq \overline{A}
[/mm]
so?
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Hallo!
> ah ok ...
>
> Beweis durch kontraposition:
>
> x [mm]\not\in[/mm] B [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\not\in[/mm] A
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\setminus[/mm] B [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] B
> [mm]\setminus[/mm] A
> [mm]\Rightarrow \overline{B} \subseteq \overline{A}[/mm]
>
> so?
Ich weiß nicht - ich finde das irgendwie nicht einleuchtend.
Vielleicht vergucke ich mich gerade, aber ich weiß auch nicht, warum [mm] $\overline{B} [/mm] = [mm] A\textbackslash [/mm] B$ sein soll.
Wenn [mm] $A,B\subset [/mm] M$, dann gilt zunächst nur [mm] $\overline{B} [/mm] = [mm] M\textbackslash [/mm] B$ und [mm] $\overline{A} [/mm] = [mm] M\textbackslash [/mm] A$.
Nun beginnst du:
Du hast als Voraussetzung [mm] $A\subset [/mm] B$, was du schon mit Hilfe der Kontraposition umgeformt hast zu:
$ x [mm] \not\in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A$.
Nun sollst du beweisen: [mm] $\overline{B}\subset \overline{A}$.
[/mm]
Beweis:
Sei [mm] $x\in \overline{B}$. [/mm] Das heißt, [mm] $x\not\in [/mm] B$. Daraus folgt nun nach der Voraussetzung: [mm] $x\not\in [/mm] A$. Das bedeutet aber, [mm] $x\in \overline{A}$.
[/mm]
Und schon fertig!
Grüße,
Stefan
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