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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Fee |
| Aufgabe | Beweisen Sie :
Ein Parallelogramm ist genau dann ein Rechteck, wenn die Diagonalen orthogonal zueinander stehen. |
Guten Abend :)
Man soll erst mal mit Voraussetzung und der Folge anfangen.
Voraussetzung ist hier, dass die Diagonalen eines Prallelogramms orthogonal zueinander stehen. Die Folge ist, dass das Parallelogramm rechtwinklig, also ein Rechteck ist.
Aber wie, zur Hölle, soll man den darauf kommen ? Man sollte das mit den Längen eines Vektors machen... Könnt ihr mir helfen ?
Vielen, vielen Dank !!!
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Hallo,
EDIT:
Hier stand Unsinn, ich hatte die Aufgabe falsch gelesen. Ich denke, die nächste Antwort von Marcel wird es auch erklären: aber die Aufgabe ist Unsinn, da muss dir irgendein Fehler unterlaufen sein.
EDIT2:
Kann es sein, dass es Raute heißt und nicht Rechteck?
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:33 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Diophant,
> Hallo,
>
> EDIT:
> Hier stand Unsinn, ich hatte die Aufgabe flasch gelesen.
> Ich denke, die nächste Antwort von Marcel wird es auch
> erklären: aber die Aufgabe ist Unsinn, da muss dir
> irgendein Fehler unterlaufen sein.
wie hattest Du denn die Aufgabe verstanden? Macht es Sinn, die Aufgabe
so zu formulieren:
Ein Parallelogramm ist genau dann ein Rechteck, wenn beide Diagonalen die
gleiche Länge haben? Würde dann auch zu der gemachten Überlegung mit
Vektorlängen passen...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:42 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Marcel,
ich habe irgendwie im Kopf Raute und Rechteck verdreht. Außerdem sollte man nicht gleichzeitig Buchhaltung und MatheRaum machen, so verlockend es auch ist...
Allerdings ist deine Vermutung die plausiblere, eben wegen der Längen.
Grüße & schönen Abend, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:59 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Diophant,
> Hallo Marcel,
>
> ich habe irgendwie im Kopf Raute und Rechteck verdreht.
> Außerdem sollte man nicht gleichzeitig Buchhaltung und
> MatheRaum machen, so verlockend es auch ist...
hehe -irgendwie erinnere ich mich an analoges. Ich glaube, Fred hatte mal
nebenher seine Steuererklärung gemacht oder so. ^^
> Allerdings ist deine Vermutung die plausiblere, eben wegen
> der Längen.
Naja, aber ich finde, wir haben zu viele Möglichkeiten, wie die Aufgabe richtig
formuliert heißen könnte. Warten wir mal lieber die korrigierte Aufgabenstellung
ab, bevor wir hier Lösungsideen posten, die für die Katz' sind...
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweisen Sie :
>
> Ein Parallelogramm ist genau dann ein Rechteck, wenn die
> Diagonalen orthogonal zueinander stehen.
die Aussage ist doch schlicht und ergreifend einfach falsch - nimm' doch etwa
ein Rechteck mit Seitenlänge [mm] $a=2\,$ [/mm] und [mm] $b=1\,.$ [/mm] (Insbesondere, wenn ich
ein Rechteck mit Seitenlänge [mm] $a=b\,,$ [/mm] also ein Quadrat habe, und dann etwa
$0 < b [mm] \to [/mm] 0$ laufen lasse, "sehe ich doch", dass die Diagonalen nicht senkrecht
aufeinander stehen bleiben, spätestens dann, wenn [mm] $b\,$ [/mm] sehr nahe an [mm] $0\,$
[/mm]
liegt...) Geht's hier irgendwie um Quadrate? Also eher: Ein Rechteck ist
genau dann ein Quadrat, wenn...
P.S. Ergänzend zu obiger Überlegung: Rechtecke sind immer Parallelogramme,
nur sind halt Parallelogramme nicht auch stets Rechtecke...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:41 Mi 16.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweisen Sie :
>
> Ein Parallelogramm ist genau dann ein Rechteck, wenn die
> Diagonalen orthogonal zueinander stehen.
> Guten Abend :)
>
> Man soll erst mal mit Voraussetzung und der Folge
> anfangen.
das Wort "Folge" ist ein fester mathematischer Begriff mit anderer Bedeutung.
Wobei es hier dann aus dem Zusammenhang klar ist, was gemeint ist, und
man es da auch so verwenden könnte, wie Du es tust.
Aber mal generell: Oben steht eine "genau dann, wenn"-Aussage. Kurz:
[mm] $A\,$ [/mm] gilt genau dann, wenn [mm] $B\,.$ [/mm]
Oder nochmal mit dem mathematischen Symbol [mm] $\iff$:
[/mm]
$$A [mm] \iff B\,.$$
[/mm]
Dann gibt es zwei Beweisteile:
1. [mm] "$\Rightarrow$": [/mm] Hier setzt man voraus, dass [mm] $A\,$ [/mm] gilt, und muss dann
zeigen, dass dann auch [mm] $B\,$ [/mm] wahr ist! (Letzteres ist in diesem Beweisteil die
Behauptung!)
2. [mm] "$\Leftarrow$": [/mm] Hier setzt man voraus, dass [mm] $B\,$ [/mm] gilt, und muss dann
zeigen, dass dann auch [mm] $A\,$ [/mm] wahr ist! (Letzteres ist in diesem Beweisteil die
Behauptung!)
Deswegen macht es schon wenig Sinn, dass man nur sagt, dass Du erstmal
die Voraussetzung hinschreiben sollst. Bevor Du das tust, solltest Du erst mal
schreiben, an welcher der beiden zu zeigenden Folgerungen (also [mm] "$\Rightarrow$"
[/mm]
oder [mm] "$\Leftarrow$") [/mm] Du gerade arbeitest - denn nur im Bezug dazu macht es
Sinn, davon zu reden, "die Voraussetzung" hinzuschreiben.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Do 17.01.2013 | | Autor: | Fee |
Hallo Leute !
Also, mein Lehrer hat sich vertan : Die Diagonalen sollten gleich lang sein, nicht orthogonal.
Aber vielen Dank für euren Versuch mir zu helfen. Was wäre ich ohne euch :)
Viele liebe Grüße, Fee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:16 Do 17.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Leute !
>
> Also, mein Lehrer hat sich vertan : Die Diagonalen sollten
> gleich lang sein, nicht orthogonal.
>
> Aber vielen Dank für euren Versuch mir zu helfen. Was
> wäre ich ohne euch :)
okay. Hast Du die Aufgabe nun alleine gelöst? Oder brauchst Du Hilfe? Mir
war das nicht so ganz klar, deswegen habe ich einfach mal Deine Mitteilung
in eine Frage umgewandelt - schaden kann das ja nicht. Ich muss leider
gleich weg, aber mit der Frage können sich eh viele befassen, da die
Aufgabe nicht wirklich schwer ist (was nicht heißt, dass sie für jeden leicht
ist - es kommt halt auch ein wenig auf Erfahrung bei solchen Aufgaben an,
und hier haben viele hinreichend viel Erfahrung).
Grüße,
Marcel
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Hallo,
hast eigfentlich du die Aufgabe unter Vektorrechnung eingeordnet oder war das jemand aus der Moderation? Ich frage deshalb, weil schlussendlich nicht klargeworden ist, mit welchen Mitteln man das hier machen soll.
Eine mögliche Beweisskizze sieht so aus:
- In einem Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen.
- Die Diagonalen bilden zusammen mit den vier Seiten des Vierecks vier Dreiecke, von denen zwei paarweise kongruent sind (welche?)
- Nun noch ein wenig mit Winkelsummen hantieren, dann bist du fertig.
Gruß, Diophant
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