Beweis von Rechenregeln < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:47 Mo 24.11.2008 | | Autor: | mrfesto |
Ich hab folgende Aufgabe gestellt bekommen und super dolle Schwierigkeiten diese zu lösen :
Für die Funktion f : [mm] \IQ [/mm] -> [mm] \IR [/mm] gilt:
f(x+y) = f(x) + f(y) für alle x,y [mm] \in \IQ
[/mm]
Zeige, dass f(x) = f(1)* x [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IQ
[/mm]
Ich weiß nicht einmal wie ich anfangen soll :-( !!
Muss ich jetzt zeigen, dass es nur für lineare Funktionen der Form y=ax geht, oder wie ? Ich hab wirklich keine Ahnung
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bitte um Mithilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Mo 24.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Zu zeigen ist:
f(x) = f(1) x $ [mm] \forall [/mm] $ x $ [mm] \in \IQ [/mm] $
Tipps:
1. Es ist [mm] f(x_1+ ...+x_n) [/mm] = [mm] f(x_1) [/mm] +... [mm] +f(x_n) [/mm] ( [mm] x_i \in \IQ) [/mm] (Beweis mit Induktion)
2. aus 1. folgt: f(n) = f(1)n für jedes n [mm] \in \IN
[/mm]
3. für n [mm] \in \IN [/mm] ist f(1) = [mm] f(n\bruch{1}{n}). [/mm] Wegen 1. folgt : f(1/n) = [mm] f(1)\bruch{1}{n}
[/mm]
4. Für n,m [mm] \in \IN [/mm] : f( [mm] \bruch{m}{n}) [/mm] = m f(1/n) (wegen 1.) , also wegen 3.:
[mm] f(\bruch{m}{n}) [/mm] = f(1) [mm] \bruch{m}{n}
[/mm]
5. Klar dürfte sein f(0) = 0
Bis jetzt hast Du also: f(x) = f(1)x für jedes x [mm] \ge [/mm] 0, x [mm] \in \IQ.
[/mm]
Zeige noch :f(x) = f(1)x für jedes x [mm] \le [/mm] 0, x [mm] \in \IQ.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Mo 24.11.2008 | | Autor: | mrfesto |
Super vielen dank, das hört sich richtig gut an !!
Könnte man das auch mit einer Fallunterscheidung machen bzw. wie würde so etwas aussehen. Das war nämlich die Aufgabe, was ich vergessen hab zu notieren !!
Über Antwort freue ich mich sehr!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 Mo 24.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Gib mal die Aufgabenstellung genau wider.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Mo 24.11.2008 | | Autor: | mrfesto |
Beweise anhand der Fallunterscheidung:
Für die Funtion f : [mm] \IQ \to \IR [/mm] gilt:
f(x+y) = f(x) + (y) [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in \IQ
[/mm]
Beweise mit dem Prinzip der fallunterscheidung, dass auch folgende Beziehung gilt:
f(x) = f(1) * x [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IQ
[/mm]
Das ist die komplette Aufgabenstellung meines Lehrers
Ich find das voll schwer für eine 13. klasse :-( sonst komm ich mit Mathe gut klar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Mo 24.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Beweise anhand der Fallunterscheidung:
Da muß doch etwas vorausgegangen sein ?
> Für die Funtion f : [mm]\IQ \to \IR[/mm] gilt:
>
> f(x+y) = f(x) + (y) [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in \IQ[/mm]
>
> Beweise mit dem Prinzip der fallunterscheidung, dass auch
> folgende Beziehung gilt:
Was ist das für ein Prinzip ?
FRED
>
> f(x) = f(1) * x [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IQ[/mm]
>
> Das ist die komplette Aufgabenstellung meines Lehrers
> Ich find das voll schwer für eine 13. klasse :-( sonst
> komm ich mit Mathe gut klar.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Mo 24.11.2008 | | Autor: | mrfesto |
da steht wirklich nichts mehr, der Beweis soll mittels der methode der fallunterscheiden geführt werden, weiter vorgaben sind nicht vorhanden, also kein induktion o.ä. !!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Mo 24.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Wenn das:
Beweise anhand der Fallunterscheidung:
Für die Funtion f : $ [mm] \IQ \to \IR [/mm] $ gilt:
f(x+y) = f(x) + (y) $ [mm] \forall [/mm] $ x,y $ [mm] \in \IQ [/mm] $
Beweise mit dem Prinzip der fallunterscheidung, dass auch folgende Beziehung gilt:
f(x) = f(1) * x $ [mm] \forall [/mm] $ x $ [mm] \in \IQ [/mm] $
wirklich wörtlich von Eurem Lehrer kommt, so ist es völlig sinnlos
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Mo 24.11.2008 | | Autor: | mrfesto |
Kann man denn nicht zwischen negativen und positiven x aus [mm] \IQ [/mm] unterscheiden und daraus eine falluntersuchung machen ?
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> Kann man denn nicht zwischen negativen und positiven x aus
> [mm]\IQ[/mm] unterscheiden und daraus eine falluntersuchung machen ?
Ich bin mit FRED einverstanden, dass deine
letzte Version der Aufgabenstellung sinnlos
oder falsch wiedergegeben ist.
Die Gleichung müsste sicher
f(x+y)=f(x)+f(y) (1)
heissen, und nicht
f(x+y)=f(x)+(y)
Aus der Gleichung (1) kann man schliessen:
1.) f(0)=0
2.) f(-x)=-f(x)
Das müsstest du zuerst beweisen. Das Ergebnis
sollte helfen, um den negativen x beizukommen.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Mo 24.11.2008 | | Autor: | mrfesto |
Sorry Helfer,
ein großer Fehler meinerseits, ihr habt natürlich recht:
Es soll heißen :
Voraussetzung: f(x+y) = f(x) + f(y) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IQ
[/mm]
Jetzt ist mittels Fallunterscheidung zu zeigen, dass:
f(x) = f(1) * x [mm] \forall \in \IQ
[/mm]
Ich hab jetzt gezeigt, dass es nur für Funtionen ersten Grades gilt. Nur weiß ich nicht weiter, wie ich vorgehen soll, bzw. hab nicht einmal einen ansatz.
Lg Sören
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Mo 24.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Fallunterscheidung ist [mm] x\in \IN
[/mm]
x=1/n x=m/n dann hast du alle [mm] x\in|IQ [/mm] und dann noch f(0)=0
und mit f(-x)=-f(x) auch negative x
das sind doch ne Menge Faelle ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Mo 24.11.2008 | | Autor: | mrfesto |
Also heißt das :
[mm] x:=\bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] x:=\bruch{m}{n}
[/mm]
x in f(x) einsetzen ?
Dann folgt:
[mm] f(\bruch{1}{n})= f(1)*\bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] f(\bruch{m}{n})=f(1)*\bruch [/mm] {m}{n}
f(0)=f(0)*x=0
[mm] f(\bruch{1}{-n})=f(1)*\bruch{1}{-n}
[/mm]
[mm] f(\bruch{m}{-n})=f(1)* \bruch{m}{-n}
[/mm]
Das wären jetzt die Fälle ?
Wie setze ich das in einen Beweis um ?
Ps: Mathe-LK war mal besser :-(
Für Antworten danke ich jetzt schon
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Mo 24.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich find die Aufgabe gut! richtig was zum Nachdenken und nicht ewig Kurven diskutieren oder geraden durch ebenen stechen.
den beweis hat doch Fred schon in seinem ersten post skizziert. Schon vergessen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Do 27.11.2008 | | Autor: | mrfesto |
Also dein erster tipp war:
[mm] f(x_1+x_2+...+x_n)=f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n). [/mm] das muss ich nicht merh beweisen, ich darf das so wie ind er voraussetzung f(x+y)=f(x)+f(y) für alle x,y in [mm] \IQ [/mm] benutzen.
Dann hab ich geguckt in welchen formen für f(x)=f(1)*x
x auftreten kann. dann habe ich definiert:
x=o (dann habe ich gesagt es ist nicht mehr zu zeigen)
[mm] x=\bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] x=\bruch{1}{-n}
[/mm]
Dann hab ich das so gemacht wie du, jedoch zuerst für positive n :
f(1) = [mm] f(n*\bruch{1}{n}) [/mm] daher folgt aus der voraussetzung auch [mm] f(\bruch{1}{n}) [/mm] = [mm] f(1)*\bruch{1}{n}
[/mm]
Dann kann [mm] x=\bruch{m}{n} [/mm] sein. aus dem letzten teil un der voraussetzung folgt dann, dass:
[mm] f(\bruch{m}{n})= [/mm] f(1)* [mm] \bruch{m}{n}
[/mm]
dann bin ich meiner meinung nach für die positve zahlen durch, jetzt folgen die negativen.:
f(-1)= [mm] f(-n\bruch{1}{n}) [/mm] folgt [mm] f(\bruch{1}{n}) [/mm] = f(1)* [mm] (\bruch{1}{-n})
[/mm]
dasselbe habe ich für die form gemacht x= [mm] \bruch{m}{n} [/mm] für negative
damit wird doch schon alles gezigt oder ?
mein lehrer sagte mir, dass das keinen sinn macht so. Er sagte zu mir:
"zeigen sie doch erst, dass diese beziehungen nur für [mm] \IN [/mm] gilt, dann zeige, dass es für die zahlen aus [mm] \IZ [/mm] gilt, und daraus kann man schließen, dass es für die zahlen aus [mm] \IQ [/mm] gilt." Ich dachte ich hab das schon gezeigt ? er sagte ich bin auf dem richtigen weg, aber es ist einfach nicht vollständig :-( ich weiß einfach nicht wie ich das machen soll !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Do 27.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Sei m $ [mm] \in \IZ [/mm] $ und m<0. Dann ist -m>0, also $ [mm] \in \IN. [/mm] $ Dann
0 =f(0) = f(m-m) = f(m) +f(-m), also f(m) = -f(-m) = -(-m)f(1) = mf(1)
Genügt das ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Do 27.11.2008 | | Autor: | mrfesto |
wenn ich das jetzt für alle [mm] n\in \IQ [/mm] benutzen darf, dann bekomme ich das denke ich mal hin !! wenn das nicht genügt, dann bin ich wohl aufgeschmissen !
Aber vielen dank erstmal !!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 Do 27.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> wenn ich das jetzt für alle [mm]n\in \IQ[/mm] benutzen darf, dann
> bekomme ich das denke ich mal hin !! wenn das nicht genügt,
> dann bin ich wohl aufgeschmissen !
>
> Aber vielen dank erstmal !!
Ganz weit oben habe ich Dir gezeigt: f(x) = f(1)x für jede rationale Zahl [mm] \ge [/mm] 0.
Wenn Du nun das was ich Dir für die negative ganze Zahl m vor ein paar Minuten vorgemacht habe, für ein negatives x [mm] \in \IQ [/mm] genauso machst, bist Du am Ziel. Ersetze einfach m durch x
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Do 27.11.2008 | | Autor: | mrfesto |
kann ich das kurz zeigen das folgendes gilt :
f(n)=f(1)*n ohne vorher mit induktion zu zeigen, sondern nur aus der Voraussetzung ?? Wenn ja , wie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Do 27.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
eine Art Induktion brauchst du schon
f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2*f(1) ist schon der Ind. Anfang.
jetz Ind vors.
f(n)=n*f(1)
daraus folgt f(n+1)=f(n)+f(1)=n*f(1)+f(1)=(n+1)*f(1)
Ind fertig
wegen 0= f(0)=f(n-n)=f(n)+f(-n) folgt f(-n)=-f(n_=-n*f(1)
jetzt fuer 1/n
wieder ne Art Induktion
f(1)=f(1/n+1/n....)=f(1/n)+f(1/n)+...=n*f(1/n) daraus f(1/n)=1/n*f(1)
jetzt m/n
das mit den neg geht immer wie bei n
Gruss leduart
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