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| Aufgabe | Zeigen Sie: Für alle k,n [mm] \in \IN [/mm] mit 1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n ist
[mm] \vektor{n \\ k}\bruch{1}{n^k}\le\bruch{1}{k!}\le\bruch{1}{2^(k-1)} [/mm] |
Hallo alle zusammen!
Also ich habe mir als erstes nur folgendes angesehen:
[mm] \vektor{n \\ k}\bruch{1}{n^k}\le\bruch{1}{k!}
[/mm]
Wenn n=k=1 (IA): [mm] \vektor{1 \\ 1}\bruch{1}{1^1}=1 [/mm] und [mm] \bruch{1}{1!}=1
[/mm]
Aber was mache ich dann.
In einem Buch hab ich folgenes gefunden (werde aber nicht ganz schlau daraus):
[mm] \bruch{n!}{(n-k)!}= \produkt_{j=n-k+1}^{n}j= \produkt_{i=1}^{k}(n-k+i),
[/mm]
also [mm] \bruch{n!}{n^k(n-k)!}= \bruch{1}{n^k}\produkt_{i=1}^{k}(n-k+i)= \produkt_{i=1}^{k}\bruch{n-k+1}{n}\le1,
[/mm]
also [mm] \vektor{n \\ k}\bruch{1}{n^k}=\bruch{n!}{n^k(n-k)!k!}\le\bruch{1}{k!}
[/mm]
Was wohl mein größtes Problem ist, ist wie man auf das Produktzeichen kommt. Vielleicht kennt ja jn. eine allg. Regel!? Wär nur froh, wenn ich das mal verstehen würde, denn der Rest klappt gar nicht mehr (nicht einmal der IA)!?
Ich hoffe mir kann jn. weiterhelfen und danke euch im Voraus für eure Bemühungen!
MfG Simone
PS: Bin glücklich über jn Tipp! 
PPS: Habe leider (da mein erster Versuch hier) den Beitrag in eine falsche Rubrik gestellt! Aber ich hoffe es klappt trotzdem!?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:16 So 21.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo hisui
Das mit der Induktion ist doch ein richtiger Anfang! Nur lass n allgemein, und nur k=1. dann hast du den Induktionsanfang für alle n und brauchst nur ne Induktion nach k
2. von dem Beweis im Buch nimmst du die Idee, dass du erst mal die explizite Form von [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] hinschreibst und dann nur mit Induktion beweisen musst: [mm] \bruch{n!}{n^k(n-k)!} \le [/mm] 1 schaffst du das?
> Zeigen Sie: Für alle k,n [mm]\in \IN[/mm] mit 1 [mm]\le[/mm] k [mm]\le[/mm] n ist
> [mm]\vektor{n \\ k}\bruch{1}{n^k}\le\bruch{1}{k!}\le\bruch{1}{2^(k-1)}[/mm]
> Also ich habe mir als erstes nur folgendes angesehen:
> [mm]\vektor{n \\ k}\bruch{1}{n^k}\le\bruch{1}{k!}[/mm]
> Wenn n=k=1
> (IA): [mm]\vektor{1 \\ 1}\bruch{1}{1^1}=1[/mm] und [mm]\bruch{1}{1!}=1[/mm]
> Aber was mache ich dann.
> In einem Buch hab ich folgenes gefunden (werde aber nicht
> ganz schlau daraus):
> [mm]\bruch{n!}{(n-k)!}= \produkt_{j=n-k+1}^{n}j= \produkt_{i=1}^{k}(n-k+i),[/mm]
>
> also [mm]\bruch{n!}{n^k(n-k)!}= \bruch{1}{n^k}\produkt_{i=1}^{k}(n-k+i)= \produkt_{i=1}^{k}\bruch{n-k+1}{n}\le1,[/mm]
>
> also [mm]\vektor{n \\ k}\bruch{1}{n^k}=\bruch{n!}{n^k(n-k)!k!}\le\bruch{1}{k!}[/mm]
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> Was wohl mein größtes Problem ist, ist wie man auf das
> Produktzeichen kommt. Vielleicht kennt ja jn. eine allg.
> Regel!? Wär nur froh, wenn ich das mal verstehen würde,
> denn der Rest klappt gar nicht mehr (nicht einmal der
> IA)!?
das mit den Produktzeichen ist nicht so schwer, wenn du dir den Bruch hinschreibst, siehst du, dass sich die ersten k Faktoren von n! wegkürzen, der letzte gekürzte ist n-k, ich hab also nur Faktoren von n--k+1 an und natürlich dann bis n alle.
nächstes Produkt ist nur ein anderer Buchstabe , so dass das Produkt bei 1 anfängt. i=j-n+k oder j=n-k+i so kann man Produkte und Summen immer bei 1 anfangen lassen, muss im Produkt aber j durch seine Abh. von i ersetzen. Es ist aber nicht nötig, du kannst gleich [mm] 1/n^{k} [/mm] in das Produkt reinziehen, da alle [mm] j\le [/mm] n sind, ist das Produkt über j/n kleiner gleich 1
Wirds damit etwas klarer?
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:40 So 21.05.2006 | | Autor: | hisui-san |
Hallöchen!
Dickes Dankeschön für deine Mühe!
Ich habs zwar noch nicht ganz verstanden, aber ich bin schon mal einige Schritte weitergekommen!
MfG
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