Beweis von Ungleichungen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | a) Beweisen Sie durch vollständige Induktion: Für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt
[mm] \summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{j^2}\le 2-\bruch{1}{n}. [/mm] |
| Aufgabe 2 | b) Bestimmen Sie das kleinstmögliche [mm] n_0\in\IN, [/mm] so dass die folgende Aussage gilt:
Für alle [mm] n\in\IN, n\ge n_0: 2^n\ge 2n^2
[/mm]
(mit Beweis!). |
Also, ich habe folgende Probleme:
Zu a):
Ich habe das Ganze für n=1 (Induktionsanfang) gezeigt. Ich habe dann die Induktionsvoraussetzung [mm] \summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{j^2}\le 2-\bruch{1}{n} [/mm] zu [mm] \summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{j^2}+\bruch{1}{n}\le [/mm] 2 umgeformt und mit dem Induktionsschritt [mm] (n\to [/mm] n+1) folgendermaßen weiter gemacht:
[mm] \summe_{j=1}^{n+1} \bruch{1}{j^2}+\bruch{1}{n+1}\le [/mm] 2 [mm] \gdw \summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{j^2}+\bruch{1}{{(n+1)}^2}+\bruch{1}{n+1}\overset{\star}{\le} \summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{j^2}+\bruch{1}{n} \underset{\mbox{I.V.}}{\le} [/mm] 2
[mm] \star [/mm] Hier habe ich dann durch Umformerei [mm] \bruch{1}{{(n+1)}^2}+\bruch{1}{n+1}\le\bruch{1}{n} \forall n\in\IN [/mm] gezeigt.
[mm] \Box [/mm] ?
Meine erste Frage wäre also: Ist das so überhaupt richtig?
Meine zweite Frage wäre: Wie geht das einfacher? Ich habe noch nicht sonderlich viel Erfahrung mit vollständiger Induktion bei Ungleichungen, aber mein Beweis, wenn es denn überhaupt einer ist, sieht einfach nur unnötig kompliziert aus. Ich wäre also für einen Tipp dankbar.
Zu b):
Ich habe zuerst versucht die Ungleichung aufzulösen, habe es aber nicht hinbekommen, da ich nach jeder Menge Umformerei entweder wieder am Anfang war oder nicht weiter wusste. Kann man das so überhaupt auflösen, oder braucht man dafür irgendwelchen Funktionen, die man erst in späteren Semestern lernt?
Ich habe dann einfach ausprobiert und mir die Funktion von WolframAlpha plotten lassen. Das Ganze ist wahr für n=1, aber nicht für n=2, dann aber wieder für n=7 und n=8 (jedes Mal nur eingesetzt und geguckt ob es passt). Ich nehme also mal die 7 als [mm] n_0, [/mm] also Induktionsanfang her. Allerdings kommt mir das irgendwie "unsauber" vor, da es ja schon für 1 passte, aber für 2 dann wieder nicht. Ich bin mir da also nicht so ganz sicher was die Induktionsvoraussetzungen angeht.
Ich habe dann aber mal einfach weiter gemacht und erst mal nach dem Induktionsschritt [mm] (n\to [/mm] n+1) beide Seiten der Ungleichung etwas umgeformt:
[mm] 2(n+1)^2=2(n^2+2n+1)=2n^2+4n+2
[/mm]
sowie
[mm] 2^{n+1}=2*2^n=2^n+2^n
[/mm]
Dann weiter:
[mm] 2n^2+4n+2\le 2^n+2^n
[/mm]
und habe mir dann gedacht, wenn ich jetzt zeige, dass [mm] 4n+2\le 2n^2\forall n\in\IN [/mm] gilt, dann bin ich fertig. Ich habe dann also umgeformt:
[mm] 4n+2\le2n^2\gdw 4n+n-2n^2\le [/mm] 0 [mm] \gdw \cdots \gdw -{(n-1)}^2-2\le [/mm] 0 was ja richtig ist, da die "quadrierte Klammer" ja positiv ist, mit -1 multipliziert wiederum negativ ist und davon nochmals eine positive Zahl abgezogen wird (2), ergo: Term ist [mm] \le [/mm] 0.
Ich habe dann also folgendermaßen weiter gemacht:
[mm] 2n^2+\underbrace{4n+2}_{\le 2n^2}\le 2n^2+2n^2\le 2^n+2^n \gdw 2\cdot 2n^2\le 2\cdot 2^n \gdw 2n^2 \underset{\mbox{I.V.}}{\le} 2^n [/mm]
[mm] \Box?
[/mm]
Ist das so in Ordnung? Falls ja, geht das auch einfacher (Tipp)? Falls nein, wo habe ich Mist gebaut? :)
Ach ja, wenn ich die beiden Fälle von Umformerei noch reinstellen soll, kann ich das auch noch machen. Ich habe mir nur gedacht, dass das in diesem nicht wirklich relevant ist.
Danke schon mal fürs durchsehen, also denen, die hier unten angekommen sind. :D
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Fr 21.10.2011 | | Autor: | abakus |
> a) Beweisen Sie durch vollständige Induktion: Für alle
> [mm]n\in\IN[/mm] gilt
>
> [mm]\summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{j^2}\le 2-\bruch{1}{n}.[/mm]
> b)
> Bestimmen Sie das kleinstmögliche [mm]n_0\in\IN,[/mm] so dass die
> folgende Aussage gilt:
>
> Für alle [mm]n\in\IN, n\ge n_0: 2^n\ge 2n^2[/mm]
>
> (mit Beweis!).
> Also, ich habe folgende Probleme:
>
> Zu a):
>
> Ich habe das Ganze für n=1 (Induktionsanfang) gezeigt. Ich
> habe dann die Induktionsvoraussetzung [mm]\summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{j^2}\le 2-\bruch{1}{n}[/mm]
> zu [mm]\summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{j^2}+\bruch{1}{n}\le[/mm] 2
> umgeformt und mit dem Induktionsschritt [mm](n\to[/mm] n+1)
> folgendermaßen weiter gemacht:
>
> [mm]\summe_{j=1}^{n+1} \bruch{1}{j^2}+\bruch{1}{n+1}\le[/mm] 2 [mm]\gdw \summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{j^2}+\bruch{1}{{(n+1)}^2}+\bruch{1}{n+1}\overset{\star}{\le} \summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{j^2}+\bruch{1}{n} \underset{\mbox{I.V.}}{\le}[/mm]
> 2
Das sieht etwas unsauber aus; den Mangel an klarer Struktur versuchst du durch genau-dann-wenn-Pfeile zu vertuschen.
Die sind aber bei einer Verwendung von Abschätzungen unangebracht, weil vielleicht auch eine andere Abschätzung als die hier verwendete möglich sein könnte.
>
> [mm]\star[/mm] Hier habe ich dann durch Umformerei
> [mm]\bruch{1}{{(n+1)}^2}+\bruch{1}{n+1}\le\bruch{1}{n} \forall n\in\IN[/mm]
Kern dieser Abschätzung ist, dass [mm] \bruch{1}{n(n+1)}+\bruch{1}{n+1}=\bruch{1}{n} [/mm] gilt und [mm] \bruch{1}{{(n+1)}^2}<\bruch{1}{n(n+1)} [/mm] ist.
Gruß Abakus
> gezeigt.
>
> [mm]\Box[/mm] ?
>
> Meine erste Frage wäre also: Ist das so überhaupt
> richtig?
> Meine zweite Frage wäre: Wie geht das einfacher? Ich habe
> noch nicht sonderlich viel Erfahrung mit vollständiger
> Induktion bei Ungleichungen, aber mein Beweis, wenn es denn
> überhaupt einer ist, sieht einfach nur unnötig
> kompliziert aus. Ich wäre also für einen Tipp dankbar.
>
>
> Zu b):
>
> Ich habe zuerst versucht die Ungleichung aufzulösen, habe
> es aber nicht hinbekommen, da ich nach jeder Menge
> Umformerei entweder wieder am Anfang war oder nicht weiter
> wusste. Kann man das so überhaupt auflösen, oder braucht
> man dafür irgendwelchen Funktionen, die man erst in
> späteren Semestern lernt?
>
> Ich habe dann einfach ausprobiert und mir die Funktion von
> WolframAlpha plotten lassen. Das Ganze ist wahr für n=1,
> aber nicht für n=2, dann aber wieder für n=7 und n=8
> (jedes Mal nur eingesetzt und geguckt ob es passt). Ich
> nehme also mal die 7 als [mm]n_0,[/mm] also Induktionsanfang her.
> Allerdings kommt mir das irgendwie "unsauber" vor, da es ja
> schon für 1 passte, aber für 2 dann wieder nicht. Ich bin
> mir da also nicht so ganz sicher was die
> Induktionsvoraussetzungen angeht.
>
> Ich habe dann aber mal einfach weiter gemacht und erst mal
> nach dem Induktionsschritt [mm](n\to[/mm] n+1) beide Seiten der
> Ungleichung etwas umgeformt:
>
> [mm]2(n+1)^2=2(n^2+2n+1)=2n^2+4n+2[/mm]
> sowie
> [mm]2^{n+1}=2*2^n=2^n+2^n[/mm]
>
> Dann weiter:
>
> [mm]2n^2+4n+2\le 2^n+2^n[/mm]
>
> und habe mir dann gedacht, wenn ich jetzt zeige, dass
> [mm]4n+2\le 2n^2\forall n\in\IN[/mm] gilt, dann bin ich fertig. Ich
> habe dann also umgeformt:
>
> [mm]4n+2\le2n^2\gdw 4n+n-2n^2\le[/mm] 0 [mm]\gdw \cdots \gdw -{(n-1)}^2-2\le[/mm]
> 0 was ja richtig ist, da die "quadrierte Klammer" ja
> positiv ist, mit -1 multipliziert wiederum negativ ist und
> davon nochmals eine positive Zahl abgezogen wird (2), ergo:
> Term ist [mm]\le[/mm] 0.
>
> Ich habe dann also folgendermaßen weiter gemacht:
>
> [mm]2n^2+\underbrace{4n+2}_{\le 2n^2}\le 2n^2+2n^2\le 2^n+2^n \gdw 2\cdot 2n^2\le 2\cdot 2^n \gdw 2n^2 \underset{\mbox{I.V.}}{\le} 2^n[/mm]
>
> [mm]\Box?[/mm]
>
>
> Ist das so in Ordnung? Falls ja, geht das auch einfacher
> (Tipp)? Falls nein, wo habe ich Mist gebaut? :)
>
>
> Ach ja, wenn ich die beiden Fälle von Umformerei noch
> reinstellen soll, kann ich das auch noch machen. Ich habe
> mir nur gedacht, dass das in diesem nicht wirklich relevant
> ist.
>
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>
>
> Danke schon mal fürs durchsehen, also denen, die hier
> unten angekommen sind. :D
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> > [mm]\summe_{j=1}^{n+1} \bruch{1}{j^2}+\bruch{1}{n+1}\le[/mm] 2 [mm]\gdw \summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{j^2}+\bruch{1}{{(n+1)}^2}+\bruch{1}{n+1}\overset{\star}{\le} \summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{j^2}+\bruch{1}{n} \underset{\mbox{I.V.}}{\le}[/mm]
> > 2
> Das sieht etwas unsauber aus; den Mangel an klarer Struktur
> versuchst du durch genau-dann-wenn-Pfeile zu vertuschen.
> Die sind aber bei einer Verwendung von Abschätzungen
> unangebracht, weil vielleicht auch eine andere Abschätzung
> als die hier verwendete möglich sein könnte.
Ok, da gebe ich dir Recht. Dass die Äquivalenzpfeile da nicht sonderlich sinnvoll sind, daran habe ich nicht gedacht. Wäre es also folgendermaßen richtig?
[mm] \summe_{j=1}^{n+1} \bruch{1}{j^2}+\bruch{1}{n+1}=\summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{j^2}+\bruch{1}{{(n+1)}^2}+\bruch{1}{n+1}\overset{\star}{\le} \summe_{j=1}^{n} \bruch{1}{j^2}+\bruch{1}{n} \underset{\mbox{I.V.}}{\le}2
[/mm]
> > [mm]\star[/mm] Hier habe ich dann durch Umformerei
> > [mm]\bruch{1}{{(n+1)}^2}+\bruch{1}{n+1}\le\bruch{1}{n} \forall n\in\IN[/mm]
> Kern dieser Abschätzung ist, dass
> [mm]\bruch{1}{n(n+1)}+\bruch{1}{n+1}=\bruch{1}{n}[/mm] gilt und
> [mm]\bruch{1}{{(n+1)}^2}<\bruch{1}{n(n+1)}[/mm] ist.
> Gruß Abakus
Bezüglich der Abschätzung: Sollte ich darauf kommen, indem ich [mm] \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} [/mm] berechne? Das wäre ja dann einfach:
[mm] \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1}{n(n+1)}-\frac{n}{n(n+1)}=
[/mm]
[mm] \frac{1}{n(n+1)}. [/mm]
Müsste ich dann nur noch zeigen, dass [mm] n(n+1)\le(n+1)^2 [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt, und damit [mm] \frac{1}{n(n+1)}\ge\frac{1}{(n+1)^2}?
[/mm]
Ach ja, hier doch noch mal der "Sternchen-Schritt":
[mm] \star: [/mm]
[mm] \frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{n+1}\le\frac{1}{n}
[/mm]
[mm] \gdw \frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\le [/mm] 0
[mm] \gdw \frac{n+n(n+1)-(n+1)^2}{n(n+1)^2}\le [/mm] 0
[mm] \gdw \frac{n+n^2+n-(n^2+2n+1)}{n(n+1)^2}\le [/mm] 0
[mm] \gdw -\frac{1}{n(n+1)^2}\le [/mm] 0
Ist der denn jetzt falsch? Der kommt mir nämlich zumindest "intuitiver" vor. Auf deinen Vorschlag wäre ich so nämlich nicht gekommen, ehrlich gesagt, auch wenn er schöner und kürzer ist, das gebe ich zu. (Hier sind die "Genau-dann-wenn-Pfeile" aber richtig, oder? Sind ja nur Äquivalenzumformungen, wenn ich das richtig sehe.)
Tausend Dank übrigens für die Korrektur! Wenn du dir dieses hier angeguckt hast, könntest du dann auch noch über den Rest gucken, oder soll ich die Ausgangsfrage für "noch nicht beantwortet" erklären, damit mir dabei jemand anderes helfen kann?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 So 23.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Di 25.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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