Beweis von erzeugender Fkt. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aufgabe 5.1
Man betrachte eine Folge unabhängiger Bernoulli-Experimente mit Erfolgswahrscheinlichkeit p ∈ (0, 1). Die Zufallsvariable [mm] X_r [/mm] gebe die Anzahl der Misserfolge bis zum r-ten Erfolg an. Hierbei ist r = 1, 2, . . . ein fester Parameter.
(a) Man zeige, dass für die erzeugende Funktion [mm] gx_r [/mm] gilt
[mm] gx_r(t)=\pmat{ \bruch{p}{1-t(1-p)}}^r, |t|<\bruch{1}{1-p}.
[/mm]
(b) Man berechne den Erwartungswert und die Varianz von [mm] X_r. [/mm] |
Ich brauche dringend ne Hilfestellung zu a) . Irgendeinen Ansatz, Hinweis.
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:59 Mo 23.06.2008 | | Autor: | wauwau |
[mm] P_{r}(X=m) [/mm] sei die Wahrscheinlichkeit, dass der r-te Erfolg nach m Misserfolgen eintrifft.
dann gilt
1. es gibt insgesamt m+r Versuche
2. bie den ersten m+r-1 Versuchen müssen m Misserfolge eintreffen
[mm] \vektor{m+r-1 \\ m} [/mm] ist die anzahl der Möglichkeiten m misserfolge auf m+r-1 Versuche aufzuteilen, daher
und unter den m+r-1 Versuchen muss ich r-1 Erfolge haben, sodaß beim m+r-ten Versuch der r-te Erfolg eintritt
[mm] P_{r}(X=m)=\vektor{m+r-1 \\ m}.(1-p)^{m}.p^{r-1}.r [/mm] = [mm] \vektor{m+r-1 \\ m}.(1-p)^{m}.p^{r}
[/mm]
die Erzeugende funktion ist daher
[mm] \summe_{m=0}^{\infty}\vektor{m+r-1 \\ m}.(1-p)^{m}.p^{r}.t^m [/mm] = [mm] p^{r}.\summe_{m=0}^{\infty}\vektor{m+r-1 \\ m}.((1-p).t)^m
[/mm]
Es bleibt daher zu zeigen, dass mit (1-p).t = x
[mm] \summe_{m=0}^{\infty}\vektor{m+r-1 \\ m}.x^m [/mm] = [mm] (\bruch{1}{1-x})^r
[/mm]
Die Taylorentwicklung von [mm] (\bruch{1}{1-x})^r [/mm] zeigt,
dass die k-te Ableitung von (1-x)^(-r) = [mm] \bruch{(r+k-1)!}{(r-1)!} [/mm] und daher der k-te Taylorkoeffizient genau der gesuchte Ausdruck ist..
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