Beweis von exp(x) < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Mittels Logarithmus und Exponentialfunktion zeigen sie, dass f.a. x [mm] \in [/mm] R gilt : [mm] exp(x)=\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{x}{n})^n [/mm] |
Hallo.
Wir haben exp als [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n} \bruch{x^k}{k!} [/mm] definiert. Und den Log als Umkehrfunktion davon. Es ist mir aber unklar wie ich "exp(x)" beweisen soll. Als Tipp wurde gegeben: [mm] x^a=exp(a*ln(x)).
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 Sa 02.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Mittels Logarithmus und Exponentialfunktion zeigen sie,
> dass f.a. x [mm]\in[/mm] R gilt : [mm]exp(x)=\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{x}{n})^n[/mm]
>
> Hallo.
>
> Wir haben exp als die bekannte Summe [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{x^n}{k!}[/mm]
Die Summe sollte bei $k=0$ starten, bis [mm] $\infty$ [/mm] gehen und zudem sollte dort nicht [mm] $x^n$, [/mm] sondern [mm] $x^k$ [/mm] stehen:
[mm]\exp(x)=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^k}{k!}[/mm]
> definiert. Und den Log als Umkehrfunktion davon. Es ist mir
> aber unklar wie ich "exp(x)" beweisen soll. Als Tipp wurde
> gegeben: [mm]x^a=exp(a*(nx)).[/mm]
naja, der Tipp sollte wohl heißen:
[mm] $\forall [/mm] x > 0$: [mm] $x^{a}=\exp(a*\ln(x))$
[/mm]
Zumindest ist das, was Du schreibst, etwas "sinnfrei" (bzw. sogar falsch). Korrigierst Du den Tipp mal bitte?
Zudem:
Habt ihr denn schon gezeigt, dass [mm] $e=\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}$
[/mm]
Ansonsten findest Du einen möglichen Beweis hier:
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
[mm] $\to$ [/mm] Satz 7.4
Aber ehrlich gesagt, wäre es mir lieber, Du würdest uns "Deine" bisherigen Grundlagen mitteilen und Deinen Tipp korrigieren, vll. kann man das mit Eurem bisherigen Wissensstand schnell herleiten (zudem ist das die bessere Übung für Dich).
Gruß,
Marcel
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Hi. Danke für deine Antwort.
> Habt ihr denn schon gezeigt, dass [mm]e=\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}[/mm]
Nein haben wir nicht gezeigt. Mein einziger Ansatz bis jetzt war:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{x}{n})^n=\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}a^{n-k} b^k=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n}\bruch{n!}{(n-k)! k!}*1^{n-k}*\bruch{x^k}{n^k}
[/mm]
Ist das soweit überhaupt richtig?
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Hallo. Ich verstehe es leider immernoch nicht. Ist es zu leicht? Den Beweis auf der pdf auch nicht. Soll das [mm] \varepsilon [/mm] ein Konvergenzkriterium bedeuten? Wenn ja, woher weiss man die Konvergenz? Geht der Beweis für x [mm] \in [/mm] R genauso? Ich schätze ja, denn ich kann keine genuine [mm] \IC-Eigenschaft [/mm] entdecken die dort ausgenutzt wird. Die Umwandlung per bin Formel verstehe ich auch nicht, das [mm] (1+\bruch{z}{n})^n [/mm] verschwindet einfach irgendwie.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:07 Mo 04.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo. Ich verstehe es leider immernoch nicht. Ist es zu
> leicht? Den Beweis auf der pdf auch nicht. Soll das
> [mm]\varepsilon[/mm] ein Konvergenzkriterium bedeuten?
nein, das [mm] $\varepsilon$ [/mm] ist irgendein beliebiges [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$. Das steht auch am Anfang des Beweises. Wenn man zeigen will, dass eine Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] in [mm] $\IC$ [/mm] gegen $a$ konvergiert, so hat man zu zeigen, dass man zu jedem beliebigen [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $N=N_{\varepsilon} \in \IN$ [/mm] findet mit der Eigenschaft, dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$
[mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
gilt. Vergleiche dazu Definition 5.1.2 im Skript.
Also startet man den Beweis so, dass man sagt:
Sei [mm] $\varepsilon$ [/mm] beliebig, einzig mit der Eigenschaft [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$, aber fest, vorgegeben. Nun muss man die Existenz eines [mm] $N=N_{\varepsilon}$ [/mm] nachweisen...
> Wenn ja,
> woher weiss man die Konvergenz? Geht der Beweis für x [mm]\in[/mm] R
> genauso? Ich schätze ja, denn ich kann keine genuine
> [mm]\IC-Eigenschaft[/mm] entdecken die dort ausgenutzt wird. Die
> Umwandlung per bin Formel verstehe ich auch nicht, das
> [mm](1+\bruch{z}{n})^n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
verschwindet einfach irgendwie.
Der Beweis gilt für alle $z \in \IC$, er impliziert also auch Deine Gleichung, nämlich für jedes $z=x \in \IR$. Und in der Tat wird innerhalb des Beweises nichts benutzt, was speziell für $\IC$ gilt. Man kann ihn also wortwörtlich für $z=x \in \IR$ auch nochmal umschreiben.
Jetzt ist die Frage, was Du dort nicht verstehst:
Zunächst:
Man hat zu zeigen:
Hat man irgendein $\varepsilon > 0$ beliebig, aber fest, vorgegeben, so muss man zeigen, dass dazu ein $N=N_{\varepsilon} \in \IN$ so existiert, dass für alle $n \ge N$ gilt:
$\vmat{\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}-\left(1+\frac{z}{n}\right)^n} < \varepsilon$
(Denn behauptet wird ja die Konvergenz der Folge $\left(\left(1+\frac{z}{n}\right)^n\right)_{n \in \IN}$ gegen $\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}=\lim_{m \to \infty}\sum_{k=0}^m \frac{z^k}{k!}$.)
Und nun macht man folgendes:
Nach der binomischen Formel gilt
$\left(1+\frac{z}{n}\right)^n=\sum_{\nu=0}^n {n \choose \nu} \left(\frac{z}{n}\right)^\nu$
Also gilt für jedes $n > k$
$\left(1+\frac{z}{n}\right)^n-\sum_{\nu=0}^\infty \frac{z^\nu}{\nu!}=\sum_{\nu=0}^n {n \choose \nu} \left(\frac{z}{n}\right)^\nu-\sum_{\nu=0}^\infty \frac{z^\nu}{\nu!}$
$=\underbrace{\sum_{\nu=0}^k {n \choose \nu} \left(\frac{z}{n}\right)^\nu+\sum_{\nu=k+1}^n {n \choose \nu} \left(\frac{z}{n}\right)^\nu}_{=\sum_{\nu=0}^n {n \choose \nu} \left(\frac{z}{n}\right)^\nu}-\left(\sum_{\nu=0}^k \frac{z^\nu}{\nu!}+\sum_{\nu=k+1}^\infty \frac{z^\nu}{\nu!}\right)=:(\*)$
Jetzt fasst man zusammen:
$(\*)=\sum_{\nu=0}^k \left[{n \choose \nu} \left(\frac{z}{n}\right)^\nu-\frac{z^\nu}{\nu!}\right]+\sum_{\nu=k+1}^n {n \choose \nu} \left(\frac{z}{n}\right)^\nu-\sum_{\nu=k+1}^\infty \frac{z^\nu}{\nu!}$
Mit der Dreiecksungleichung folgt:
$\vmat{\left(1+\frac{z}{n}\right)^n-\sum_{\nu=0}^\infty \frac{z^\nu}{\nu!}} \le \vmat{\sum_{\nu=0}^k \left[{n \choose \nu} \left(\frac{z}{n}\right)^\nu-\frac{z^\nu}{\nu!}\right]}+\vmat{\sum_{\nu=k+1}^n {n \choose \nu} \left(\frac{z}{n}\right)^\nu}+\vmat{\sum_{\nu=k+1}^\infty \frac{z^\nu}{\nu!}}=(\*\*)$
Mit der allgemeinen Dreiecksungleichung und der Dreiecksungleichung für konvergente Reihen (die letzte "Rest"-Reihe ist ja konvergent) folgt dann:
$(\*\*) \le \sum_{\nu=0}^k \vmat{\left[{n \choose \nu} \left(\frac{z}{n}\right)^\nu-\frac{z^\nu}{\nu!}\right]}+\sum_{\nu=k+1}^n {n \choose \nu} \frac{|z|^\nu}{n^\nu}}+\sum_{\nu=k+1}^\infty \frac{|z|^\nu}{\nu!}}$
(beachte: $|z^\nu|=|z|^\nu$)
Also insgesamt:
$\vmat{\left(1+\frac{z}{n}\right)^n-\sum_{\nu=0}^\infty \frac{z^\nu}{\nu!}}=\vmat{\sum_{\nu=0}^k \left[{n \choose \nu} \left(\frac{z}{n}\right)^\nu-\frac{z^\nu}{\nu!}\right]+\sum_{\nu=k+1}^n {n \choose \nu} \left(\frac{z}{n}\right)^\nu-\sum_{\nu=k+1}^\infty \frac{z^\nu}{\nu!}}$
$\le \vmat{\sum_{\nu=0}^k \left[{n \choose \nu} \left(\frac{z}{n}\right)^\nu-\frac{z^\nu}{\nu!}\right]}+\vmat{\sum_{\nu=k+1}^n {n \choose \nu} \left(\frac{z}{n}\right)^\nu}+\vmat{\sum_{\nu=k+1}^\infty \frac{z^\nu}{\nu!}}$
$\le \sum_{\nu=0}^k \vmat{{n \choose \nu} \left(\frac{z}{n}\right)^\nu-\frac{z^\nu}{\nu!}}+\sum_{\nu=k+1}^n {n \choose \nu} \frac{|z|^\nu}{n^\nu}}+\sum_{\nu=k+1}^\infty \frac{|z|^\nu}{\nu!}}$
Und alles weitere entnimmst Du dem Skript. (Wenn noch Nachfragen vorhanden sind, dann stelle diese bitte konkret, also genau formulieren, was nun noch unklar ist).
P.S.:
Kennzeichne Deine Fragen bitte als Fragen, nicht als Mitteilungen, sonst übersieht man sie!
Gruß,
Marcel
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