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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Beweis von linear Gs
Beweis von linear Gs < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Beweis von linear Gs: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:12 Sa 21.05.2016
Autor: Lars.P

Aufgabe
Sei K ein Körper und m,n [mm] \ge [/mm] 1. Sei A [mm] \in [/mm] K^_{mxn} eine Matrix die nicht gleich der Nullmatrix ist, B [mm] \in [/mm] K^_{mxn} eine weitere Matrix und b [mm] \in [/mm] K^_{m} ein Vektor. Beweisen oder widerlegen sie Folgende Aussagen.

1) Falls m=1 ist, bestizt das lineare Gleichungssystem A * x =b immer eine Lösung
2) Falls n=1 ist, bestizt das lineare Gleichungssystem A * x =b immer eine Lösung

1) A*x=b hab ich zunächst mit den gegebenen Angaben aufgeschrieben.

[mm] (a_{1} a_{2} a_{3} [/mm] ... [mm] a_{n}) [/mm] * [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ ... \\ x_{n} } [/mm] = b

[mm] \gdw a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+...+a_{n}x_{n}=b [/mm]

Ich finden man sieht, dass diese Gleichung immer eine Lösung hat. Man könnte ja einfach [mm] x_{1}=x_{2}=....=x_{n}=0 [/mm] wählen und [mm] x_{i}= \bruch{b}{a_{i}}annehmen. [/mm] mit i [mm] \in [/mm] [1,n]
Dadurch hatte man ja immer eine Lösung.

b) A * x=b mit n=1

[mm] \vektor{a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \\ ... \\ a_{m} \\ } [/mm] * x = [mm] \vektor{b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \\ ... \\ b_{m} \\ } [/mm]

Dadurch entstehen die Gleichungen:
[mm] a_{1}*x=b_{1} \gdw x=\bruch{b_{1}}{a_{1}} [/mm]
[mm] a_{2}*x=b_{2} \gdw x=\bruch{b_{2}}{a_{2}} [/mm]
[mm] a_{3}*x=b_{3} \gdw x=\bruch{b_{3}}{a_{3}} [/mm]
...
[mm] a_{m}*x=b_{m} \gdw x=\bruch{b_{m}}{a_{m}} [/mm]

Diese Gleichungen hätten nur im Fall dass b ein Vielfaches von A ist eine Lösung.
Also ist diese Aussage falsch.

        
Bezug
Beweis von linear Gs: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:14 So 22.05.2016
Autor: leduart

Hallo
alles richtig, nur musst du in 1) noch sagen man kann wegen A!=0 immer ein [mm] x_i [/mm] wählen mit [mm] a_i \neq [/mm] 0

Bezug
                
Bezug
Beweis von linear Gs: Aufgabe 1
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:37 So 22.05.2016
Autor: Lars.P

Okay danke

Bezug
        
Bezug
Beweis von linear Gs: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:56 Mo 23.05.2016
Autor: fred97

Eine weitere Möglichkeit für 1):

im Falle m=1 ist die Abbildung $f(x):=Ax$ eine lineare Abbildung [mm] $f:\IR^n \to \IR$. [/mm] f hat also den Rang 1 oder den Rang 0.

f hat Rang 0  [mm] \gdw [/mm] A=0. Damit hat die Gl Ax=b nur im Falle b=0 eine Lösung.

Ist A [mm] \ne [/mm] 0, so hat f den Rang 1, also ist [mm] f(\IR^n)=\IR. [/mm] Damit hat die Gl. Ax=b für jedes b eine Lösung.

FRED

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