Beweis: wächst schneller als < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Petite |
| Aufgabe | Es sei [mm] a_k [/mm] für [mm] k\in \IN_0 [/mm] gegeben durch [mm] \bruch{1}{k^k}.
[/mm]
Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe [mm] \summe a_k X^k. [/mm] |
Nach dem Satz (bereits bewiesen): Sei [mm] a=\summe a_k X^k [/mm] Potenzreihe. Existiert [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{|a_k|}{|a_{k+1}|} [/mm] in [mm] \overline{\IR}, [/mm] so ist [mm] r_a=lim_{k \rightarrow \infty}|\bruch{a_k}{a_{k+1}}|, [/mm] r=Konvergenzradius
So muss [mm] \summe \bruch{1}{k^k}X^k [/mm] konvergiert, wenn ein [mm] \limes_{k \rightarrow \infty} |\bruch{\bruch{1}{k^k}}{\bruch{(1}{(k+1)^{k+1}}}| [/mm] existiert in [mm] \overline \IR.
[/mm]
[mm] \limes_{k \rightarrow \infty} |\bruch{\bruch{1}{k^k}}{\bruch{(1}{(k+1)^{k+1}}}| \gdw \limes_{k \rightarrow \infty} |\bruch{(k+1)^{k+1}}{k^k}|
[/mm]
[mm] \Rightarrow "(k+1)^{k+1} [/mm] wächst schneller als [mm] k^k"
[/mm]
hierzu fehlt uns leider der Beweis und Hilfe brauch
[mm] \Rightarrow \limes_{k \rightarrow \infty} |\bruch{(k+1)^{k+1}}{k^k}|=\infty
[/mm]
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Hallo Petite!
Forme um wie folgt:
[mm] $$\bruch{(k+1)^{k+1}}{k^k} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(k+1)^k*(k+1)^1}{k^k} [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{k+1}{k}\right)^k*(k+1) [/mm] \ = \ [mm] \left(1+\bruch{1}{k}\right)^k*(k+1)$$
[/mm]
Und da der erste Klammer-Term beschränkt ist (warum?), strebt der Gesamt-Term gegen [mm] $+\infty$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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