Beweis zu Ableitungen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:42 Di 06.01.2009 | | Autor: | kevin-m. |
| Aufgabe | Sei f : [a, b] -> [mm] \IR [/mm] eine stetige und differenzierbare Funktion.
Zeigen Sie: Ist [mm] x_0 \in [/mm] [a, b] ein Minimum, so ist [mm] f'(x_0)*(x-x_0) [/mm] >= 0 für alle x [mm] \in [/mm] [a, b]. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe Probleme mit dem Beweis zu dieser Aufgabe.
Wenn an der Stelle [mm] x_0 [/mm] ein Minimum ist, dann ist doch die Ableitung an dieser Stelle gleich null.
Wie soll aber [mm] f'(x_0)*(x-x_0) [/mm] größer oder gleich null sein?? Wenn irgendetwas mit [mm] f'(x_0) [/mm] multipliziert wird, ergibt sich doch immer 0, dann kann doch [mm] (x-x_0) [/mm] irgendwas sein und es müsste doch [mm] f'(x_0)*(x-x_0) [/mm] immer gleich null sein. Oder hab ich hier einen Denkfehler??
Wie beweist man diesen Satz am besten?? Könnt ihr mit bitte dabei helfen?
Tschüss,
Kevin
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> Sei f : [a, b] -> [mm]\IR[/mm] eine stetige und differenzierbare
> Funktion.
> Zeigen Sie: Ist [mm]x_0 \in[/mm] [a, b] ein Minimum, so ist
> [mm]f'(x_0)*(x-x_0)[/mm] >= 0 für alle x [mm]\in[/mm] [a, b].
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
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> Hallo,
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> ich habe Probleme mit dem Beweis zu dieser Aufgabe.
> Wenn an der Stelle [mm]x_0[/mm] ein Minimum ist, dann ist doch die
> Ableitung an dieser Stelle gleich null.
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Für Minima, die im Inneren des Intervalls liegen, trifft das zu.
Aber es könnte das Minmum ja auch an den Rändern sein, und in diesem Fall muß die Ableitung an der Stelle nicht unbedingt =0 sein.
Gruß v. Angela
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> Wie soll aber [mm]f'(x_0)*(x-x_0)[/mm] größer oder gleich null
> sein?? Wenn irgendetwas mit [mm]f'(x_0)[/mm] multipliziert wird,
> ergibt sich doch immer 0, dann kann doch [mm](x-x_0)[/mm] irgendwas
> sein und es müsste doch [mm]f'(x_0)*(x-x_0)[/mm] immer gleich null
> sein. Oder hab ich hier einen Denkfehler??
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> Wie beweist man diesen Satz am besten?? Könnt ihr mit bitte
> dabei helfen?
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> Tschüss,
> Kevin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 Mi 07.01.2009 | | Autor: | kevin-m. |
Hallo,
danke für deine Antwort. Ich muss also nur die Fälle betrachten, wo das Minimum an den Rändern des Definitionsbereichs [a, b] ist, also entweder [mm] x_0= [/mm] a ist bzw. [mm] x_0 [/mm] = b [mm] (x_0 [/mm] = Minimum).
Für [mm] x_0 [/mm] = a (Minimum ist ganz links außen) ist doch immer [mm] x-x_0 [/mm] = x-a > 0 und wenn [mm] x_0 [/mm] = b ist, also wenn das Minimum rechts außen ist, dann gilt doch immer [mm] x-x_0=x-b<0 [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] [a, b].
Dann ist zu zeigen, dass im ersten Fall die Ableitung an der Stelle des Minimums größer als 0 ist und im zweiten Fall ist die Ableitung an der Stelle des Minimums kleiner als 0 ist.
Ableitung > 0 bedeutet ja, dass der Graph von f steigt und Ableitung<0 heißt, dass der Graph von f fällt.
Wenn also im ersten Fall die Ableitung von f bei a größer als null sein soll, dann muss der Graph steigen, was ja heißt, dass es in einer epsilon-Umgebung des Punktes a (Punkte x>a) alle Funktionswerte größer sind als a. Daraus folgt, dass a ein Minimum ist.
Und äquivalent, wenn b das Minimum ist:
Wenn die Ableitung bei b < 0 sein soll, dann muss der Graph bei b fallen, was heißt, dass in einer epsilon-Umgebung von b (Punkte x<b), alle f(x)-Werte größer sind als f(b) und das heißt, dass bei der Stelle x=b ein Minimum ist.
Daraus würde also folgen, dass für alle möglichen Fälle gilt:
[mm] f'(x_0)*(x-x_0) [/mm] >= 0 gilt und somit ist die Ungleichung bewiesen.
Wärt ihr so nett und würdet meine Argumentation bitte mal überprüfen, weil ich net weiß, ob ich evtl. einen Fehler gemacht habe.
Tschüss und vielen Dank,
Kevin
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> Hallo,
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> danke für deine Antwort. Ich muss also nur die Fälle
> betrachten, wo das Minimum an den Rändern des
> Definitionsbereichs [a, b] ist, also entweder [mm]x_0=[/mm] a ist
> bzw. [mm]x_0[/mm] = b [mm](x_0[/mm] = Minimum).
>
> Für [mm]x_0[/mm] = a (Minimum ist ganz links außen) ist doch immer
> [mm]x-x_0[/mm] = x-a > 0 und wenn [mm]x_0[/mm] = b ist, also wenn das Minimum
> rechts außen ist, dann gilt doch immer [mm]x-x_0=x-b<0[/mm] für alle
> x [mm]\in[/mm] [a, b].
> Dann ist zu zeigen, dass im ersten Fall die Ableitung an
> der Stelle des Minimums größer als 0 ist und im zweiten
> Fall ist die Ableitung an der Stelle des Minimums kleiner
> als 0 ist.
> Ableitung > 0 bedeutet ja, dass der Graph von f steigt und
> Ableitung<0 heißt, dass der Graph von f fällt.
> Wenn also im ersten Fall die Ableitung von f bei a größer
> als null sein soll, dann muss der Graph steigen, was ja
> heißt, dass es in einer epsilon-Umgebung des Punktes a
> (Punkte x>a) alle Funktionswerte größer sind als a. Daraus
> folgt, dass a ein Minimum ist.
> Und äquivalent, wenn b das Minimum ist:
> Wenn die Ableitung bei b < 0 sein soll, dann muss der
> Graph bei b fallen, was heißt, dass in einer
> epsilon-Umgebung von b (Punkte x<b), alle f(x)-Werte größer
> sind als f(b) und das heißt, dass bei der Stelle x=b ein
> Minimum ist.
>
> Daraus würde also folgen, dass für alle möglichen Fälle
> gilt:
> [mm]f'(x_0)*(x-x_0)[/mm] >= 0 gilt und somit ist die Ungleichung
> bewiesen.
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> Wärt ihr so nett und würdet meine Argumentation bitte mal
> überprüfen, weil ich net weiß, ob ich evtl. einen Fehler
> gemacht habe.
Hallo,
das, was Du schreibst, klingt so, als hättest Du nun verstanden, worum es geht.
Eine kleine Sache: schau mal nach, wie Ihr Minimum definiert habt: müssen in einer Umgebung alle Funktionswerte größer oder größergleich dem des Minimums sein?
Ein Beweis ist das, was Du schreibst, noch nicht, denn Du argumentierst in die falsche Richtung:
> Wenn also im ersten Fall die Ableitung von f bei a größer
> als null sein soll, dann muss der Graph steigen, was ja
> heißt, dass es in einer epsilon-Umgebung des Punktes a
> (Punkte x>a) alle Funktionswerte größer sind als a. Daraus
> folgt, dass a ein Minimum ist.
Zeigen mußt Du aber: wenn bei a ein Minimum ist, ist die Ableitung an dieser Stelle [mm] \ge [/mm] 0.
Die Argumentation muß also in dieser Reihenfolge laufen:
Minimum bei a, Umgebung, Ableitung.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 Mi 07.01.2009 | | Autor: | kevin-m. |
Hallo,
kann ich es auch so machen:
Sei an der Stelle x = a ein Minimum von f.
Es gilt für alle x im Intervall [a, b]: x > a.
Da aber bei x = a ein Minimum ist, gilt auch: f(x) > f(a) für alle x in einem Intervall [a, a+epsilon].
--> [mm] \limes_{x\rightarrow\ a} [/mm] ((f(x)-f(a))/(x-a)) > 0
<--> f'(a) > 0
--> f'(a)*(x-a) >= 0
Sei an der Stelle x = b ein Minimum von f.
Es gilt für alle x im Intervall [a, b]: x < b.
Da aber bei x = b ein Minimum ist, gilt auch: f(x) > f(b) für alle x in einem Intervall [b, b-epsilon].
--> [mm] \limes_{x\rightarrow\ b} [/mm] (f(x)- f(b))/(x-b) < 0
<--> f'(b) < 0
--> f'(b)*(x-b) >= 0
Für alle Minima [mm] x_0 [/mm] im Intervall [a, b], für die gilt: [mm] x_0\not=a [/mm] und [mm] x_0\not=b, [/mm] gilt: [mm] f'(x_0) [/mm] = 0 und somit auch [mm] f'(x)*(x-x_0) [/mm] >= 0
Ich denke, jetzt ist der Beweis vollständig (und hoffentlich richtig).
Tschüss,
Kevin
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> Sei an der Stelle x = a ein Minimum von f.
> Es gilt für alle x im Intervall [a, b]: x > a.
> Da aber bei x = a ein Minimum ist, gilt auch: f(x) > f(a)
> für alle x in einem Intervall [a, a+epsilon].
>
> --> [mm]\limes_{x\rightarrow\ a}[/mm] ((f(x)-f(a))/(x-a)) > 0
Hallo,
dieser Schritt geht mir etwas zu schnell.
Aus (f(x)-f(a))/(x-a) folgt
(f(x)-f(a))/(x-a)>0 übrigens nicht, daß der Grenzwert >0 ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Mi 07.01.2009 | | Autor: | kevin-m. |
Ich dachte, dass aus ((f(x)-f(a))/(x-a)) > 0 schon folgen würde, dass der Grenzwert (für x gegen a) > 0 ist, weil man nähert sich ja nur von einer Seite an, nämlich für alle x die größer als a sind.
Was muss ich denn machen, damit es korrekt wird?
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> Ich dachte, dass aus ((f(x)-f(a))/(x-a)) > 0 schon folgen
> würde,
Hallo,
daß Du hieraus folgerst, muß irgendwo stehen.
Aber schau Dir mal das hier an:
Für alle x>0 ist [mm] \bruch{1}{5+x}>0
[/mm]
Wenn ich jetzt aber den Limes gegen [mm] \infty [/mm] berechne, ist der überhaupt nicht >0. Er ist nämlich =0.
Erinnere Dich an den Satz mit den Folgen, [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] konvergent mit [mm] a_n
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Mi 07.01.2009 | | Autor: | kevin-m. |
Hallo,
danke für deine schnelle Antwort.
Aber wenn ich
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\ a} [/mm] $ ((f(x)-f(a))/(x-a)) >= 0 schreibe,
ist es richtig, oder? Da ja aus
f(x) > f(a) folgt f(x)-f(a)>0 und aus x>a folgt x-a>0.
Viele Grüße,
Kevin
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> Hallo,
>
> danke für deine schnelle Antwort.
>
> Aber wenn ich
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ a}[/mm] ((f(x)-f(a))/(x-a)) >= 0
> schreibe,
> ist es richtig, oder?
Ja.
Dieser Fall kommt ja auch tatsächlich vor:
Betrachte zum Beispiel
f:[0,5] [mm] \to \IR
[/mm]
f(x):= [mm] x^2+1
[/mm]
Und bei
g:[0,5] [mm] \to \IR
[/mm]
g(x):=2x+1 hat man den fall der positiven Ableitung im Minimum.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 Mi 07.01.2009 | | Autor: | kevin-m. |
Hallo Angela,
danke, dass du mir bei meinem Beweis
zu diesem Satz weitergeholfen hast.
Tschüss,
Kevin
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