Beweis zu Binomialkoeffizient < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:39 Mi 06.10.2010 | | Autor: | roufthas |
| Aufgabe | Zeigen Sie mithilfe eines direkten beweises, dass folgende Formel gilt:
[mm] \pmat{ a \\ k } [/mm] + [mm] \pmat{ a \\ k+1 } [/mm] = [mm] \pmat{ a+1 \\ k+1 } [/mm] |
Hallo, da mir gestern hier so schön geholfen wurde, hoffe ich dass das heute wieder der fall ist :)
Ich habe die binomialkoeffizienten durch Produkte ersetzt, um Brüche zu erhalten:
[mm] \bruch{ \produkt_{l=0}^{k+1}(a-l)}{\produkt_{l=0}^{k}(l)} [/mm] + [mm] \bruch{ \produkt_{l=0}^{k+2}(a-l)}{\produkt_{l=0}^{k+1}(l)} [/mm] = [mm] \bruch{ \produkt_{l=0}^{k+2}(a+1-l)}{\produkt_{l=0}^{k+1}(l)}
[/mm]
aber das hilft mir irgendwie nicht weiter.
Kann mir bitte jemand dazu helfen?
viele liebe grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Mi 06.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich würde das über die Binomilakoeffizientendefinition über Fakultäten angehen, also:
[mm] \vektor{n\\i}=\bruch{n!}{i!(n-i)!}
[/mm]
Und bedenke, dass p!*(p+1)=(p+1)! , das ist für das Gleichnamig machen der Brüche sehr nützlich.
Also hier:
[mm] \vektor{a\\k}+\vektor{a\\k+1}
[/mm]
[mm] =\bruch{a!}{k!(a-k)!}+\bruch{a!}{(k+1)!(a-(k+1))!}
[/mm]
[mm] =\bruch{a!(k+1)}{k!(k+1)(a-k)!}+\bruch{a!(a-k)}{(k+1)!(a-(k+1))!(a-k)}
[/mm]
[mm] =\bruch{a!(k+1)}{(k+1)!(a-k)!}+\bruch{a!(a-k)}{(k+1)!(a-k)!}
[/mm]
Jetzt kannst du die Brüche mal addieren, und dann versuchen, fortzufahren.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:04 Mi 06.10.2010 | | Autor: | roufthas |
gut danke, ich guck mir das heute Nachmittag in Ruhe nochmal an, ich geh jetzt erstmal zu ner Vorlsung..
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Mi 06.10.2010 | | Autor: | roufthas |
stimmt, das klingt logisch, umgekehrt ist es doch, dass (p-1)!*p=p!, oder?
jedenfalls komm ich auf das selbe, was du auch schriebst.
Ziel ist es jetzt also aus a!(k+1)+a!(a-k) = (a+1)! zu machen
dazu kam ich auf die idee des ausmiltiplizierens(darf man das?)
mein ergebnis sieht dann so aus:
a!+a!*a. Daraus muss ich nun noch auf (a+1)! kommen. Gibts es dafür eine Regel? Ich glaube es liegt auf der Hand aber mein Schädel brummt im Moment ganzschön -.-
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Mi 06.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Da ist dir beim Ausmultiplizieren nen Fehler unterlaufen:
Klammere mal a! aus, dann hast du:
a!(k+1)+a!(a-k)
=a!((k+1)+(a-k))
Und das zerfällt wunderbar zu dem gewünschten Ergebnis a!*(a+1) 
Marius
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