Beweis zu Hilbertraum < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Der Hilbert-Raum ist wie folgt definiert:
[mm] l^2 [/mm] := [mm] \{(x_n)_n \subset \IR : \summe_{i=1}^{n} |x_i|^2 < \infty \} [/mm]
Man definiere die Metrik d für Elemente in [mm] l^2 [/mm] wie folgt:
[mm] d(x,y):=\wurzel{ \summe_{i=1}^{\infty} |x_n-y_n|^2 }
[/mm]
a.)
Zeige, dass der Einheitswürfel Q:= [mm] \{ (x_n)_n \in l^2 : |x_n| \le 1 \forall n \in \IN \} [/mm] abgeschlossen aber nicht beschränkt in [mm] l^2 [/mm] ist
b.)
Zeige, dass der Einheitsball
B:= [mm] \{ (x_n)_n \in l^2 : d((x_n)_n,0) \le 1 \} [/mm] abgeschlossen und beschränkt aber nicht kompakt ist.
(Mit 0 ist die Folge (0,0,0,...)) gemeint. |
Also alle Elemente in [mm] l^2 [/mm] (als Folgen) sind Nullfolgen, sonst wären die Reihen ja nicht konvergent.
a1 abg.) Wie zeige ich, dass es abgeschlossen ist? Muss ich zeigen, dass Q=die abgeschlossene Hülle von Q ? Dann wäre zu zeigen, dass alle Häufungspunkt in Q schon in Q sind? Also
[mm] \forall \epsilon [/mm] >0 [mm] B(x_n,\epsilon) \cap [/mm] Q [mm] \not= \emptyset [/mm]
Da alle [mm] x_n [/mm] Nullfolgen sind ist dieser Schnitt logischerweise nie leer? Wie muss man das formal aufschreiben?
a2 nicht beschr.) Ich nehme an, dass das über Widerspruch geht und dann eine Folge findet, für die [mm] |x_m|>1 [/mm] für m gross ? Aber dann ist sie doch erst gar nicht in Q??
Es gibt aber Folgen, deren Glieder betragsmässig kleiner gleich 1 sind, aber die Reihe dazu in obiger Form nicht konvergiert... Aber da bei Q mit die Bedingung [mm] (x_n)_n \in l^2 [/mm] steht... ??
b)
Alle Folgen mit
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} (x_i)^2 \le [/mm] 1
b1 abg.) ??
b2 beschr.) Der offene Ball [mm] B_o:=\{ (x_n)_n \in l^2 : d((x_n)_n,0)<1+\delta \} [/mm] mit einem kleinen [mm] \delta>0 [/mm] enthält B schon und [mm] B_o \subset l^2 [/mm] -> B beschränkt ??
b3 nicht kompakt) Ich nehme an, das geht mit Widerspruch. Welche Teilfolge einer Cauchy-Folge mit Werten in B konvergiert gegen eine Folge, die sich nicht in B befindet?
(Einzige Idee: Die Reihe mit den Gliedern [mm] x_n:=\bruch{1}{n^(1+\delta)} [/mm] konvergiert zumindest für [mm] \delta>0 [/mm] . Also ist mit vlt. [mm] \bruch{1}{n^(3+\delta)} [/mm] ein Kandidat. )
Leider alles sehr unklar noch :(
Wäre dankbar für jede Hilfe.
Grüsse
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Hallo!
Zu a):
Eine Menge ist abgeschlossen genau dann, wenn jede konvergente Folge mit Folgengliedern in ihr ihren Grenzwert in der Menge annimmt. Nehm dir also eine Folge von Folgen aus Q, nehme an das der GW nicht in Q liegt und folgere so einen Widerspruch.
Das Ding ist nicht beschränkt, da z.B. Folgen von Einsen beliebiger endlicher Länge dadrin sind und man so die Norm in die Höhe treiben kann.
Zu b): Hattet ihr so einen Satz, dass die abgeschlossene Einheitskugel kompakt ist, genau dann wenn der zugrundeliegende Raum endlichdimensional ist? Das ist der hier nämlich ganz sicher nicht.
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Erstmal a):
Nehm dir also eine Folge von Folgen aus Q, nehme an das der GW nicht in Q liegt und folgere so einen Widerspruch.
Sei [mm] ((x_n)_n)_k \in [/mm] Q
Annahme: [mm] \limes_{k \to \infty} ((x_n)_n)_k \notin [/mm] Q [mm] \to \exists [/mm] k : [mm] |(x_n)_k|>1 \to |x_n|>1 [/mm] Widerspruch zu [mm] ((x_n)_n)_k \in [/mm] Q
[mm] \to [/mm] Alle Folgen von Folgen in Q haben ihren Grenzwert in Q
Sei [mm] (x_m)_n:=(1,1,...,1) [/mm] , also [mm] (x_m)_n=1 \forall [/mm] n<=m [mm] \in \IN [/mm] und =0 sonst. Man nimmt dann an, dass [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] :
[mm] \summe_{i=1}^{n} |(x_m)_i|^2 [/mm] < N
Dann existiert aber wiederum ein m>N so dass
[mm] \summe_{i=1}^{n} |(x_m)_i|^2 [/mm] > N [mm] \forall [/mm] N [mm] \in \IN
[/mm]
...und deswegen ist Q nicht beschränkt ???
Ist das so "formal" einigermassen korrekt? Beim oberen Teil bin ich mir da sehr unsicher...
Grüsse
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Hallo!
> Erstmal a):
> Nehm dir also eine Folge von Folgen aus Q, nehme an das der
> GW nicht in Q liegt und folgere so einen Widerspruch.
>
> Sei [mm]((x_n)_n)_k \in[/mm] Q
> Annahme: [mm]\limes_{k \to \infty} ((x_n)_n)_k \notin[/mm] Q [mm]\to \exists[/mm]
> k : [mm]|(x_n)_k|>1 \to |x_n|>1[/mm] Widerspruch zu [mm]((x_n)_n)_k \in[/mm]
> Q
> [mm]\to[/mm] Alle Folgen von Folgen in Q haben ihren Grenzwert in Q
>
>
> Sei [mm](x_m)_n:=(1,1,...,1)[/mm] , also [mm](x_m)_n=1 \forall[/mm] n<=m [mm]\in \IN[/mm]
> und =0 sonst. Man nimmt dann an, dass [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN[/mm] :
> [mm]\summe_{i=1}^{n} |(x_m)_i|^2[/mm] < N
> Dann existiert aber wiederum ein m>N so dass
> [mm]\summe_{i=1}^{n} |(x_m)_i|^2[/mm] > N [mm]\forall[/mm] N [mm]\in \IN[/mm]
> ...und
> deswegen ist Q nicht beschränkt ???
>
>
> Ist das so "formal" einigermassen korrekt? Beim oberen Teil
> bin ich mir da sehr unsicher...
> Grüsse
Naja, die Notation ist ein bisschen...Du hast eigentlich Doppelindizes, an den x steht aber nur einer...wen du dann eins hast wozu gehört das dann?
Dann solltest du auch mit der gegebenen Metrik argumentieren.
Sei [mm] ((x_{n}^{m})_{n\in \IN})_{m\in \IN}\subset [/mm] Q eine konvergente Folge mit Grenzwert [mm] (x_{n})_{n\in \IN}.
[/mm]
Angenommen es ist [mm] (x_{n})_{n}\notin [/mm] Q. Dann gibt es [mm] n\in \IN, [/mm] sodass [mm] a:=|x_{n}|>1. [/mm]
Dann aber ist für jedes m:
[mm] d((x_{n}^{m})_{n}, (x_{n})_{n}) [/mm] = ... [mm] \ge [/mm] ...
Also kann [mm] ((x_{n}^{m})_{n})_{m} [/mm] nicht gegen [mm] (x_{n})_{n} [/mm] konvergieren. Somit muss der GW in Q liegen.
Beim zweiten Teil bist du irgendwie nen bisschen durcheinander...Du musst eigentlich nur zeigen, dass der Abstand von Elementen in Q zur 0 jede mögliche natürliche Zahl annehmen kann.
Definiere [mm] E^{n}:=\{1\}^{n^{2}}\times \{0\}^{\IN}. [/mm] Dann ist
[mm] d(E^{n},0) [/mm] = [mm] \wurzel{\sum_{k=0}^{\infty}|E_{k}^{n}|^{2}} [/mm] = n
Also kann Q nicht beschränkt sein.
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a1)
Mit den von dir gewählten Folgen habe ich
[mm] d((x_n^m)_n,(x_n)_n)= \wurzel{ \summe_{i=1}^{\infty} (x_i^m -x_i )^2 } [/mm] >0 [mm] \forall [/mm] m da [mm] |x_i^m|<=1 [/mm] und [mm] |x_i|>1
[/mm]
Wo ist der Widerspruch?
a2)
Genau das habe ich auch gemacht.
Sei [mm] x_n^m [/mm] = 1 [mm] \forall [/mm] n<=m und =0 sonst
Also [mm] x_n^1=(1,0,0,...), x_n^2=(1,1,0,...)
[/mm]
Dann ist [mm] x_n^m \in [/mm] Q [mm] \forall [/mm] m und [mm] d(x_n^m,0)=\wurzel(m)
[/mm]
Annahme, Q sei beschränkt. Dann existiert ein N [mm] \in \IN [/mm] so dass
[mm] d(x_n^m,0)
Aber mit [mm] m>N^2 [/mm] ist
[mm] d(x_n^m,0)=\wurzel(m) [/mm] >N -> Widerspruch.
Was ist daran jetzt falsch?
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> a1)
> Mit den von dir gewählten Folgen habe ich
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> [mm]d((x_n^m)_n,(x_n)_n)= \wurzel{ \summe_{i=1}^{\infty} (x_i^m -x_i )^2 }[/mm]
> >0 [mm]\forall[/mm] m da [mm]|x_i^m|<=1[/mm] und [mm]|x_i|>1[/mm]
>
> Wo ist der Widerspruch?
>
Das ist nicht nur größer 0! Sondern mit der gemachten Definition [mm] a:=|x_{n}| [/mm] auch größer als a-1. Das ist er.
> a2)
> Genau das habe ich auch gemacht.
> Sei [mm]x_n^m[/mm] = 1 [mm]\forall[/mm] n<=m und =0 sonst
>
> Also [mm]x_n^1=(1,0,0,...), x_n^2=(1,1,0,...)[/mm]
>
> Dann ist [mm]x_n^m \in[/mm] Q [mm]\forall[/mm] m und [mm]d(x_n^m,0)=\wurzel(m)[/mm]
>
> Annahme, Q sei beschränkt. Dann existiert ein N [mm]\in \IN[/mm]
> so dass
> [mm]d(x_n^m,0)
>
> Aber mit [mm]m>N^2[/mm] ist
> [mm]d(x_n^m,0)=\wurzel(m)[/mm] >N -> Widerspruch.
> Was ist daran jetzt falsch?
>
Du machst es viel zu kompliziert! Es reicht, das der Abstand zur Nullfolge jeden meinetwegen natürlichen Wert annehmen kann. Du musst dann nicht mehr die Annahme machen, dass Q beschränkt sei, weil man schon gezeigt hat, dass Q es nicht ist.
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Wie bringst du bitte dieses a in diese Summe da rein? a ist ja der Limes der Folge und nicht die Reihe? Wo schreibst du das in die Summe?
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> Wie bringst du bitte dieses a in diese Summe da rein? a ist
> ja der Limes der Folge und nicht die Reihe? Wo schreibst du
> das in die Summe?
>
Nein a ist kein Limes der Folge, sondern der Betrag eines Folgengliedes des Limes...
$ d( [mm] (x_{n}^{m})_{n}, [/mm] 0 ) = [mm] \wurzel{\sum_{k=0}^{\infty} | x_{k}^{m}-x_{k}|^{2}} \ge \wurzel{|x_{n}^{m}-x_{n}|^{2}} [/mm] = [mm] |x_{n}^{m}-x_{n}|\ge [/mm] a-1 $
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Hallo
Zu a)
Warum schreibst du einfach [mm] d(x_n^m,x_n) [/mm] und warum schreibst du nicht [mm] \limes_{m\rightarrow\infty} d(x_n^m,x_n) [/mm] . Wegen der Konvergenz muss doch das 2. und nicht das 1. =0 sein? Weils für alle m so ist und das reicht dann auch für den Limes?
zu b)
Wir hatten den von dir erwähnten Satz noch nicht und ich denke auch nicht, dass das gemeint ist. Man wird es wohl zeigen müssen, denke ich. Hier mal das, was ich versucht habe:
B abgeschlossen:
Naja... Annahme: B nicht abgeschlossen
[mm] \Rightarrow \exists ((x_n^m)_n)_m \in [/mm] B mit
[mm] \limes_{m\rightarrow\infty} ((x_n^m)_n)_m =(x_n)_n \notin [/mm] B
[mm] \Rightarrow d((x_n)_n,0)=\summe_{n=1}^{\infty} x_n^2> [/mm] 1
[mm] d(x_n^m,x_n)=\summe_{n=1}^{\infty} (x_n^m-x_n)^2 \ge (x_n^m [/mm] - [mm] x_n)^2 [/mm] > 0 für alle m ?????
[mm] \Rightarrow \limes_{m\rightarrow\infty} d(x_n^m,x_n) [/mm] kann nicht 0 sein?
B beschränkt:
Per Definition deckt der Ball um den Nullpunkt mit Radius [mm] \alpha>1 [/mm] =: [mm] B(0,\alpha) [/mm] diese Menge also ist sie beschränkt?
B kompakt:
Annahme: B kompakt
B(0,0.3) aber ist eine offene Teilmenge in B und besitzt keine endliche Teilüberdeckung aber warum? Weil [mm] \IR [/mm] keine besitzt? Weil [mm] \IR [/mm] zwar separabel da [mm] \IQ [/mm] dicht in [mm] \IR. [/mm] Wie zeig ich das?
Grüsse
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Möchte beim letzten Punkt natürlich zeigen: B nicht kompakt anstatt B kompakt.
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> Hallo
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> Zu a)
> Warum schreibst du einfach [mm]d(x_n^m,x_n)[/mm] und warum
> schreibst du nicht [mm]\limes_{m\rightarrow\infty} d(x_n^m,x_n)[/mm]
> . Wegen der Konvergenz muss doch das 2. und nicht das 1.
> =0 sein? Weils für alle m so ist und das reicht dann auch
> für den Limes?
>
Die gängige Definition von Konvergenz in einem metrischen Raum (X,d) ist, dass für eine Folge [mm] (x_{n})_{n \in \IN}, [/mm] die als konvergent bezeichnet wird, [mm] x\in [/mm] X existiert und zu jedem [mm] \varepsilon>0 N\in \IN [/mm] existiert, sodass
[mm] d(x_{n},x)< \varepsilon \forall n\ge [/mm] N
> zu b)
> Wir hatten den von dir erwähnten Satz noch nicht und ich
> denke auch nicht, dass das gemeint ist. Man wird es wohl
> zeigen müssen, denke ich. Hier mal das, was ich versucht
> habe:
>
> B abgeschlossen:
> Naja... Annahme: B nicht abgeschlossen
> [mm]\Rightarrow \exists ((x_n^m)_n)_m \in[/mm] B mit
> [mm]\limes_{m\rightarrow\infty} ((x_n^m)_n)_m =(x_n)_n \notin[/mm] B
> [mm]\Rightarrow d((x_n)_n,0)=\summe_{n=1}^{\infty} x_n^2>[/mm] 1
>
> [mm]d(x_n^m,x_n)=\summe_{n=1}^{\infty} (x_n^m-x_n)^2 \ge (x_n^m[/mm]
> - [mm]x_n)^2[/mm] > 0 für alle m ?????
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{m\rightarrow\infty} d(x_n^m,x_n)[/mm] kann
> nicht 0 sein?
>
> B beschränkt:
> Per Definition deckt der Ball um den Nullpunkt mit Radius
> [mm]\alpha>1[/mm] =: [mm]B(0,\alpha)[/mm] diese Menge also ist sie
> beschränkt?
>
Abgeschlossenheit und Beschränktheit sind offensichtlich! Beschränkt heißt, dass man da ne Kugel drumlegen kann und das geht offensichtlich. Abgeschlossen ist es als stetiges Urbild des abgeschlossenen Intervals [0,1]
>
> B kompakt:
> Annahme: B kompakt
> B(0,0.3) aber ist eine offene Teilmenge in B und besitzt
> keine endliche Teilüberdeckung aber warum? Weil [mm]\IR[/mm] keine
> besitzt? Weil [mm]\IR[/mm] zwar separabel da [mm]\IQ[/mm] dicht in [mm]\IR.[/mm] Wie
> zeig ich das?
>
> Grüsse
Was sollen Separabilität von [mm] \IR [/mm] und Dichtheit von [mm] \IQ [/mm] denn damit zu tun haben?!
Um zu zeigen, dass die Menge nicht kompakt ist, zeig, dass sie nicht folgenkompakt ist. Sehe dir dazu die Folgen
[mm] E^{m}:=\{0\}^{m-1}\times{1}\times\{0\}^{\IN} [/mm] an.
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Abgeschlossen ist es als stetiges Urbild des abgeschlossenen Intervals [0,1]
Aber ist mein Beweis denn nun falsch?
Grüsse
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> Abgeschlossen ist es als stetiges Urbild des
> abgeschlossenen Intervals [0,1]
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> Aber ist mein Beweis denn nun falsch?
>
> Grüsse
Ja, denn du folgerst, daraus, dass der Abstand einen Folgenglieders zum Limes größer 0 ist (was er sowieso ist), dass der Grenzwert des Abstandes nicht 0 sein kann. Das ist falsch.
Übrigens hast du bei dem Abstand auch die Wurzel vergessen.
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Hallo
Also zur nicht-Kompaktheit:
[mm] $E^{m}:=\{0\}^{m-1}\times{1}\times\{0\}^{\IN} [/mm] $
Sei also [mm] (x_n^m) [/mm] eine solche Folge wie [mm] E^m [/mm] . [mm] x_n^m [/mm] = 1 wenn n=m und 0 sonst. Sei [mm] x_n [/mm] der Grenzwert von [mm] x_n^m.
[/mm]
Jetzt wie kann ich zeigen, dass [mm] x_n [/mm] nicht in B liegt?
Es ist doch
[mm] \wurzel{ \summe_{n=1}^{\infty} (x_n^m)^2 } \le [/mm] 1 => [mm] \summe_{n=1}^{\infty} x_n^m \le [/mm] 1 (darum habe ich oben auch die Wurzel weggelassen) [mm] \forall [/mm] m
Nun [mm] d(x_n^m,x_n)=\wurzel{ \summe_{n=1}^{\infty} (x_n^m - x_n)^2 } [/mm] > [mm] \epsilon [/mm] ??
Was ist gemeint?
Grüsse
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$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (x_n^m)^2 \le [/mm] 1$ ist oben natürlich gemeint.
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> Hallo
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> Also zur nicht-Kompaktheit:
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> [mm]E^{m}:=\{0\}^{m-1}\times{1}\times\{0\}^{\IN}[/mm]
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> Sei also [mm](x_n^m)[/mm] eine solche Folge wie [mm]E^m[/mm] . [mm]x_n^m[/mm] = 1 wenn
> n=m und 0 sonst. Sei [mm]x_n[/mm] der Grenzwert von [mm]x_n^m.[/mm]
>
> Jetzt wie kann ich zeigen, dass [mm]x_n[/mm] nicht in B liegt?
>
> Es ist doch
>
> [mm]\wurzel{ \summe_{n=1}^{\infty} (x_n^m)^2 } \le[/mm] 1 =>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} x_n^m \le[/mm] 1 (darum habe ich oben
> auch die Wurzel weggelassen) [mm]\forall[/mm] m
>
> Nun [mm]d(x_n^m,x_n)=\wurzel{ \summe_{n=1}^{\infty} (x_n^m - x_n)^2 }[/mm]
> > [mm]\epsilon[/mm] ??
>
>
> Was ist gemeint?
>
> Grüsse
Was sollen da denn jetzt die x??? Du brauchst nur die [mm] E^{m} [/mm] (die Einheitsvektoren)
Diese bilden selbst eine Folge, die offensichtlich in B liegt, da ihre Norm 1 ist. Allerdings besitzt [mm] (E^{m})_{m\in \IN} [/mm] keine konvergente Teilfolge, da der Abstand von zwei verschiedenen Einheitsvektoren immer [mm] \wurzel{2} [/mm] ist. Also ist B nicht folgenkompakt.
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