Beweis zu Teilern < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, habe schon einiges versucht, komme aber nicht weiter:
Es sei p [mm] \not= [/mm] 2, 5 eine Primzahl. Es soll gezeigt werden, dass dann die Dezimaldarstellung vom Bruch 1/p eine Periodenlänge n hat, die Teiler von p-1 ist.
zB p = 7, dann ist 1/7 = 0,0,1428571428.... , dh n = 6, und 6 ist Teiler von 7-1.
Aber wie kann man das zeigen?? Freu mich über jeden Lösungsansatz!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:22 Fr 20.07.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Clarakami!
> Es sei p [mm]\not=[/mm] 2, 5 eine Primzahl. Es soll gezeigt werden,
> dass dann die Dezimaldarstellung vom Bruch 1/p eine
> Periodenlänge n hat, die Teiler von p-1 ist.
>
> zB p = 7, dann ist 1/7 = 0,1428571428.... , dh n = 6, und
> 6 ist Teiler von 7-1.
>
> Aber wie kann man das zeigen?? Freu mich über jeden
> Lösungsansatz!!
Also Teiler von $p - 1$ ist schonmal ein guter Hinweis auf den Satz von Lagrange angewendet auf Untergruppen der multiplikativen Gruppe von [mm] $\IZ/p\IZ$.
[/mm]
So, nun zum Problem. Die $n$-te Ziffer der Dezimalbruchentwicklung erhaelst du, indem du wie folgt vorgehst: den ersten Rest setze per Definition auf $1$.
Dann machst du immer den Rest mal 10, nennen wir das mal $x$, und teilst $x$ durch $p$ mit neuem Rest $r$. Dann ist der neue Quotient die naechste Ziffer, und mit dem neuen Rest machst du weiter.
Die Ziffern zu berechnen ist also das gleiche, wie die Ordnung von 10 in der multiplikativen Gruppe [mm] $\IZ/p\IZ$ [/mm] zu berechnen, und die Periode ist ein Teiler der Ordnung. Und die Ordnung ist nach dem Satz von Lagrange ein Teiler der Kardinalitaet der multiplikativen Gruppe von [mm] $\IZ/p\IZ$, [/mm] also von $p - 1$.
Jetzt musst du dir nur noch ueberlegen, warum die naechste Ziffer wirklich so aussieht, und das mit der Periode richtig begruenden :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Fr 20.07.2007 | | Autor: | clarakami |
Vielen Dank, ich versuch das mal!!!
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:00 Sa 21.07.2007 | | Autor: | annoe |
Also ich habe mir die aufgabe auch mal durchgelesen, und komme garnicht weiter! könnt ihr das vll noch ein bisschen an dem beispielt mal erklären? woher kommt die 10 und was für ein rest, was soll das überhaupt für eine periode sein???
wäre euch sehr dankbar.
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> Also ich habe mir die aufgabe auch mal durchgelesen, und
> komme garnicht weiter. könnt ihr das vll noch ein bisschen
> an dem beispielt mal erklären?
Hallo,
es geht um die Darstellung des Kehrwertes einer Primzahl als Dezimalzahl und die größte Periodenläge, die hierbei vorkommen kann.
Berechne doch mal ein paar.
> woher kommt die 10
Weil's um das Dezimalsystem geht, um die Darstellung von 1/p als [mm] \summe a_i10^{-i}.
[/mm]
und was
> für ein rest,
Den Rest, der bei der Division durch p bleibt.
was soll das überhaupt für eine periode
> sein???
???
Die Periodenlänge in der Darstellung als Dezimalzahl.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Sa 21.07.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Angela
> > und was für ein rest,
>
> Den Rest, der bei der Division durch 10 bleibt.
...fast: es geht um den Rest bei Division durch $p$. Der Rest wird dann mit 10 multipliziert, und man macht wieder Division mit Rest durch $p$, und so weiter...
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 Mo 23.07.2007 | | Autor: | DirkG |
Den Nachweis bekommt man auch ohne allzu viel Gruppentheorie sehr schnell aus dem kleinen Satz von Fermat: Wegen [mm] $p\neq 2,\; [/mm] 5$ ist [mm] $10^{p-1}\equiv 1\mod [/mm] p$, d.h., [mm] $a:=\frac{10^{p-1}-1}{p}$ [/mm] ist eine ganze Zahl, die die Darstellung
[mm] $$\frac{1}{p} [/mm] = [mm] \frac{a}{10^{p-1}-1} [/mm] = [mm] a\cdot \sum_{k=1}^{\infty} 10^{-k(p-1)}$$
[/mm]
ermöglicht, d.h. einen periodischen Dezimalbruch mit Periode $a$ der Periodenlänge $(p-1)$ (eventuell führende Nullen bei $a$ anfügen, um auf die Länge $(p-1)$ zu kommen).
Wenn man nun irgendeine Periodenlänge hat, dann ist die kleinste Periodenlänge bekanntlich ein Teiler davon.
Beispiel: $p=13$, da ist dann [mm] $\frac{10^{12}-1}{13} [/mm] = 76923076923$ und nach obigen Überlegungen [mm] $\frac{1}{13} [/mm] = [mm] 0,\overline{076923076923}$. [/mm] An dem Beispiel sieht man auch gleich, dass 12 zwar Periodenlänge, aber nicht kürzeste Periodenlänge ist. Die ist gleich 6 mit Darstellung [mm] $\frac{1}{13} [/mm] = [mm] 0,\overline{076923}$.
[/mm]
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