Beweis zu einem Konvergenzsatz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Sei $(a_n)$ eine reelle Folge (mit n=1 bis n= unendlich).
Die Teilfolgen $(a_{2n}), (a_{2n-1}), (a_{3n}$ konvergieren.
Was lässt sich über die Konvergenz von $(a_n)$ aussagen? |
Diese Frage wurde von mir in keinem anderen Forum gestellt!
Zur Aufgabe:
1.) Meine Vermutung: Die Folge $a_n$ ist konvergent.
2.) Der Beweis, bzw. meine Ansätze:
Da die 3 Teilfolgen konvergieren, existieren auch Grenzwerte. Sei nun:
$lim (a_{2n}) = a$
$lim (a_{2n-1}) = b$
$lim (a_{3n}) = c$
Da jede Teilfolge einer konvergenten Folge ebenfalls konvergiert, und dies sogar gegen den gleichen Grenzwert (diese Behauptung entnehme ich diesem Beitrag: https://matheraum.de/read?i=739203 ) gilt:
Jede Teilfolge von $a_{2n}$ konvergiert gegen $a$, z.B.: $a_{2*(3k)}$
Jede Teilfolge von $a_{3n}$ konvergiert gegen $c$, z.B.: $a_{3*(2k)}$
Daraus folgt: $a = c$
Jede Teilfolge von $a_{2n-1}$ konvergiert gegen $b$, z.B.: $a_{2*(3k+2)-1 = a_{6k+3}$
Jede Teilfolge von $a_{3n}$ konvergiert gegen $c$, z.B.: $a_{3*(2k+1) = a_{6k + 3}$
Daraus folgt: $b = c$
Daraus folgt: $a = b = c$
D.h. jede dieser Teilfolgen konvergiert gegen den gleichen Grenzwert. Damit konvergiert auch die Folge $a_n$ (aus dem Umkehrschluss der obigen Behauptung) <<<< (stimmt das wirklich?)
Vielen Dank für die Korrektur und/oder Hilfe!!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 Sa 11.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm](a_n)[/mm] eine reelle Folge (mit n=1 bis n= unendlich).
> Die Teilfolgen [mm](a_{2n}), (a_{2n-1}), (a_{3n}[/mm]
> konvergieren.
> Was lässt sich über die Konvergenz von [mm](a_n)[/mm] aussagen?
> Diese Frage wurde von mir in keinem anderen Forum
> gestellt!
>
> Zur Aufgabe:
>
> 1.) Meine Vermutung: Die Folge [mm]a_n[/mm]
Folgen schreibt man so: [mm] $(a_n)$ [/mm] oder so: [mm] $(a_n)_n$ [/mm] oder ...
> ist konvergent.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2.) Der Beweis, bzw. meine Ansätze:
>
> Da die 3 Teilfolgen konvergieren, existieren auch
> Grenzwerte. Sei nun:
>
> [mm]lim (a_{2n}) = a[/mm]
> [mm]lim (a_{2n-1}) = b[/mm]
> [mm]lim (a_{3n}) = c[/mm]
Schreibe besser [mm] $\lim (a_{2n}) \red{\;=:\;} [/mm] a$ etc. pp.
Im Folgenden schreibst Du auch wieder Folgen nicht richtig, aber das
kannst Du selbst raussuchen und korrigieren. (Deine Schreibweise ist
zwar durchaus auch bei anderen Praxis, aber ich finde sie nicht besonders
gut, insbesondere didaktisch nicht gut!)
> Da jede Teilfolge einer konvergenten Folge ebenfalls
> konvergiert, und dies sogar gegen den gleichen Grenzwert
> (diese Behauptung entnehme ich diesem Beitrag:
> https://matheraum.de/read?i=739203 )
Diese einfache Behauptung kannst Du auch selbst relativ schnell
beweisen! (Verstehst Du Freds Beweis? Genauso hätte ich es auch
bewiesen!)
> gilt:
>
> Jede Teilfolge von [mm]a_{2n}[/mm] konvergiert gegen [mm]a[/mm], z.B.:
> [mm]a_{2*(3k)}[/mm]
> Jede Teilfolge von [mm]a_{3n}[/mm] konvergiert gegen [mm]c[/mm], z.B.:
> [mm]a_{3*(2k)}[/mm]
>
> Daraus folgt: [mm]a = c[/mm]
(Warum denn eigentlich? Grenzwerte in (metrischen Räumen) sind...?)
> Jede Teilfolge von [mm]a_{2n-1}[/mm] konvergiert gegen [mm]b[/mm], z.B.:
> [mm]a_{2*(3k+2)-1 = a_{6k+3}[/mm]
> Jede Teilfolge von [mm]a_{3n}[/mm]
> konvergiert gegen [mm]c[/mm], z.B.: [mm]a_{3*(2k+1) = a_{6k + 3}[/mm]
>
> Daraus folgt: [mm]b = c[/mm]
>
> Daraus folgt: [mm]a = b = c[/mm]
> D.h. jede dieser Teilfolgen konvergiert gegen den gleichen
> Grenzwert. Damit konvergiert auch die Folge [mm]a_n[/mm] (aus dem
> Umkehrschluss der obigen Behauptung) <<<< (stimmt das
> wirklich?)
Ja, da sollte man aber etwas beachten (was hier aber insbesondere gegeben ist):
Sei [mm] $(a_{n})_n$ [/mm] eine Folge. Seien für $j=1,...,N$ die Folgen [mm] ${\big(a_{n^{(j)}_k}\big)}_k$ [/mm] Teilfolgen so, dass gilt:
Für $j=1,...,N$ gilt [mm] $a_{n^{(j)}_k} \to [/mm] r$ bei $k [mm] \to \infty$ [/mm] (d.h. alle diese Teilfolgen konvergieren gegen den
gleichen Grenzwert [mm] $r\,$) [/mm] und es gilt zudem:
[mm] $$\IN \setminus \bigcup_{j=1}^N \{{n^{(j)}_k:\;\;k \in \IN}\} \text{ ist endlich!}$$
[/mm]
(Die Aussage sieht komplizierter aus, als sie wirklich ist - versuche mal, sie
mit einfachen Worten zu beschreiben:
"Alle Teilfolgen haben den gleichen Grenzwert [mm] $r\,$ [/mm] und es gilt zudem: Wenn
ich die Indizes aller Teilfolgen vereinige, dann..."?!)
Dann folgt auch [mm] $a_n \to [/mm] r$ bei $n [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
Das greift bei Dir schon, weil [mm] $\{2n:\;\; n \in \IN\} \cup \{2n-1:\;\; n \in \IN\}=\IN$ [/mm] gilt und die leere
Menge [mm] ($=\IN \setminus \IN$) [/mm] natürlich insbesondere endlich ist!
P.S. Natürlich kannst Du auch sagen:
Ich beweise einfach zuerst, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] genau dann gegen [mm] $a\,$ [/mm] konvergiert, wenn
auch JEDE Teilfolge, und zwar auch, gegen [mm] $a\,$ [/mm] konvergiert. Damit kannst
Du auch gut arbeiten!
(Ich hab' Dir ja eh gesagt, dass Du einfach mal [mm] $\Longrightarrow$ [/mm] beweisen sollst
bei der zitierten Aussage. Und dann zeigst Du halt noch [mm] $\Longleftarrow$...)
[/mm]
Insgesamt:
Gruß,
Marcel
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