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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Beweis zu endlichen Mengen
Beweis zu endlichen Mengen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Beweis zu endlichen Mengen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:37 Sa 08.01.2005
Autor: MrElgusive

Hallo!

Ich würde ein wenige Hilfe zu folgendem Beweis benötigen.

Zeigen Sie: [mm] \left| \{ A \subseteq \IN \right| A ist endlich \} = \left| \IN \right| [/mm].

Ich hätte mir folgendes überlegt: A ist nicht die leere Menge, ich wähle mir aus A ein Element [mm] a_{1}. [/mm] Offensichtlich ist A  [mm] \not= a_{1}. [/mm] Also wähle ich mir ein [mm] a_{2} [/mm] aus A ohne [mm] {a_{1}} [/mm] und konstruiere mir somit eine abzählbare Menge A (Auswahlaxiom). Nun stecke ich fest. Bin ich auf dem richtigen Weg, oder liege ich damit völlig falsch?

Danke im Voraus,
  Christian.


        
Bezug
Beweis zu endlichen Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:14 Sa 08.01.2005
Autor: holy_diver_80

Hallo MrElgusive!

Deine Frage läßt sich auf die Frage zurückführen, ob die Menge N [mm] \times [/mm] N abzählbar ist. Das geht so.

Für die Menge der endlichen Teilmengen von N, nennen wir sie E gilt offensichtlich

[mm] E=\bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n} [/mm]

Dabei ist [mm] E_{n} [/mm] die Menge der n-elementigen Teilmengen von N.

Jedes [mm] E_{n} [/mm] ist eine abzählbare Menge. Das bedeuteutet, E ist eine abzählbare Vereinigung von abzählbaren Mengen. Als solche ist E ebenfalls abzählbar. Und diese letzte Behauptung ist eben äquivalent zur Abzählbarkeit von N [mm] \times [/mm] N.

Das geht so: Sei für jedes n [mm] \in [/mm] N [mm] F_{n} [/mm] = [mm] \{f_{m,n} | m \in N \} [/mm] und sei
F:= [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty} f_{n}. [/mm]
Dann entspricht F der Menge N [mm] \times [/mm] N und [mm] F_{n} [/mm] entspricht einer Zeile [mm] \{n\} \times [/mm] N.

Jetzt brauchen wir noch eine Bijektion von N [mm] \times [/mm] N nach N.
Diese sieht so aus: f(m,n)= [mm] \bruch{1}{2}(m+n)(m+m+1)+m [/mm]  (Cantor'sche Paarungsfunktion)
N [mm] \times [/mm] N wird so diagonal abgezählt.  (ohne Beweis,leicht)

Was jetzt noch offen ist, ist der Nachweis, daß die Mengen [mm] E_{n} [/mm] tatsächlich abzählbar sind. Hier kommt wieder das obige Resultat zur Anwendung. Es gilt
[mm] E_{n}= \bigcup_{k=0}^{\infty} E_{n,k} [/mm]
Dabei ist [mm] E_{n,k} [/mm] die Menge der n-elementigen Teilmengen von N, deren größtes Element k ist. Da aber [mm] \{0, 1, ... , k\} [/mm] eine endliche Menge ist haben wir es hier mit einer abzählbaren Vereinigung von endlichen Mengen zu tun. So eine Vereinigung ist natürlich erst recht abzählbar.

Bezug
                
Bezug
Beweis zu endlichen Mengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:47 Sa 08.01.2005
Autor: MrElgusive

Danke für deine prompte Hilfe.

Grüße,
  Christian.

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