Beweis zu komplexwertige Fkt < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 Mi 04.07.2012 | | Autor: | Imbecile |
| Aufgabe | | Man beweise, dass jede komplexwertige Funktion [mm] f(x)\not= [/mm] 0 mit ganzzahligen Argumenten x, die nur von der Restklasse mod p, in der x liegt, abhängt und der Bedingung f(x+y)=f(x)f(y) genügt, von der Form [mm] f(x)=\zeta^{tx} [/mm] ist, wobei t eine ganze zahl und [mm] \zeta [/mm] eine fixierte p-te Einheitswurzel ist. |
Hallo!
Ich muss für ein Algebra Seminar dieses Beispiel lösen, und habe leider keine Ahnung, wie ich ansetzen sollte.
Hat jemand einen Tipp für mich?
Lg,
Imbecile
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moin,
Also du hast eine Funktion $f : [mm] \IZ \to \IC$, [/mm] die nur von der Restklasse mod $p$ abhängt?
Dann reicht es also $f(x)$ für alle $x [mm] \in \{1, \ldots p\}$ [/mm] zu kennen, dadurch wäre $f$ dann eindeutig bestimmt.
Nehmen wir die Bedingung $f(x+y) = f(x)f(y)$ so ist $f$ bereits durch den Funktionswert $f(1)$ eindeutig bestimmt, denn jedes Element aus der Menge [mm] $\{1, \ldots , p\}$ [/mm] lässt sich als Summe von Einsen schreiben.
Nun setze mal $a := f(1)$ und überlege dir, welche Form dann $f(2)$, $f(3)$, etc. haben.
Wenn du ein paar Beispielzahlen durchgespielt hast so kannst du sicher auch $f(z)$ für alle $z [mm] \in \IZ$ [/mm] angeben (bzw. eine Vermutung aufstellen und diese dann beweisen).
Damit hast du deine Funktion $f$ dann (in Abhängigkeit von $a$) explizit angegeben und du kannst zeigen, dass man $t$ und [mm] $\zeta$ [/mm] wie gefordert findet.
lg
Schadow
edit:
Wenn du es noch einfacher haben möchtest betrachte $f(1)=f(0+1)=f(0)*f(1)$ und überlege dir, was du für $f(0)=f(p)$ folgern kannst, dann sollte es noch klarer werden, wieso $f$ gerade diese Form haben muss.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:54 Fr 06.07.2012 | | Autor: | Imbecile |
Hallo!
Erstmals danke für die Antwort!
Also wenn ich es so durchgehe, dann komme ich auf die explizite Form [mm] f(x)=a^x [/mm] wobei a=f(1) gilt.
Das bedeutet, zu beweisen ist: [mm] a^x =\zeta^{tx}
[/mm]
Mein Problem ist, ich weiß nicht wie ich dabei vorgehen soll. In dem Buchkapitel, zu dem auch dieses Beispiel gehört, findet sich folgende Definition:
[mm] \summe_{x}\zeta^{xt}=\begin{cases} p, & \mbox{für } t\equiv 0\mbox{ (mod p)} \\ 0, & \mbox{für } t\not\equiv 0\mbox{ (mod p)} \end{cases}
[/mm]
Kann ich diese für alle möglichen x anwenden? Wenn ja, wie kann ich dann weitermachen?
Oder ist es ein besserer Ansatz, zu zeigen dass [mm] a=\zeta^t [/mm] gilt? Kann man dass denn einfach so zeigen oder gibt es dazu schon einen gültigen Satz, der besagt dass man komplexe Zahlen als fixierte Einheitswurzeln darstellen kann?
Lg,
Imbecile
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:02 Sa 07.07.2012 | | Autor: | hippias |
> Hallo!
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> Erstmals danke für die Antwort!
> Also wenn ich es so durchgehe, dann komme ich auf die
> explizite Form [mm]f(x)=a^x[/mm] wobei a=f(1) gilt.
> Das bedeutet, zu beweisen ist: [mm]a^x =\zeta^{tx}[/mm]
> Mein
> Problem ist, ich weiß nicht wie ich dabei vorgehen soll.
> In dem Buchkapitel, zu dem auch dieses Beispiel gehört,
> findet sich folgende Definition:
> [mm]\summe_{x}\zeta^{xt}=\begin{cases} p, & \mbox{für } t\equiv 0\mbox{ (mod p)} \\ 0, & \mbox{für } t\not\equiv 0\mbox{ (mod p)} \end{cases}[/mm]
>
> Kann ich diese für alle möglichen x anwenden? Wenn ja,
> wie kann ich dann weitermachen?
Das ist wohl eher ein Lemma als eine Definition. Aber soweit bist Du noch nicht: Du musst erst noch vollstaendig beweisen, dass Deine Funktion von der angegebenen Gestalt ist.
>
> Oder ist es ein besserer Ansatz, zu zeigen dass [mm]a=\zeta^t[/mm]
> gilt? Kann man dass denn einfach so zeigen oder gibt es
> dazu schon einen gültigen Satz, der besagt dass man
> komplexe Zahlen als fixierte Einheitswurzeln darstellen
> kann?
Um nachzuweisen, dass $a$ nicht voellig willkuerlich ist, sondern eine $p$-te Wurzel, benoetigst Du die zweite Voraussetzung, naemlich, dass der Funktionswert nur vom Argument modulo $p$ abhaengt. Bei Dir ist $a= f(1)$. Dann ist einerseits $f(p+1)= [mm] a^{p+1}$, [/mm] andererseits nach Voraussetzung $f(p+1)= a$. Mache Dir damit klar, dass $a$ sich wie gewuenscht darstellen laesst.
>
> Lg,
> Imbecile
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:19 So 08.07.2012 | | Autor: | Imbecile |
Hallo!
Danke für deine Antwort, aber ganz klar komme ich damit leider nicht. Mir ist schon klar, dass, da wir in der Restklasse von p arbeiten, [mm] f(p+1)=a^{p+1}=a [/mm] gilt.
Aber ich weiß nicht wie ich damit weiterarbeiten soll...
Lg,
Imbecile
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:58 So 08.07.2012 | | Autor: | hippias |
> Hallo!
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> Danke für deine Antwort, aber ganz klar komme ich damit
> leider nicht. Mir ist schon klar, dass, da wir in der
> Restklasse von p arbeiten, [mm]f(p+1)=a^{p+1}=a[/mm] gilt.
> Aber ich weiß nicht wie ich damit weiterarbeiten soll...
>
> Lg,
> Imbecile
Naja, wenn [mm] $a^{p+1}= [/mm] a$ ist, was ist dann [mm] $a^{p}$? [/mm] Dieses Ergebnis sagt Dir dann, ob $a$ eine $p$-te Einheitswurzel ist oder nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 So 08.07.2012 | | Autor: | Imbecile |
Hallo!
Danke nochmals für deine Antwort!
Lt. Kleinen Satz von Fermat müsste ja gelten [mm] a^p [/mm] (mod p)=a, daher wäre der Satz dann ja schon wiederlegt, da die Definition der Einheitswurzel ja besagt, dass sie hoch p 1 ergibt.
Aber ich soll ja zeigen, dass es so ist, und nicht, dass es nicht ist...
Lg,
Imbecile
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:21 Mo 09.07.2012 | | Autor: | hippias |
Im kleinen Satz von Fermat ist $a$ stets eine ganze Zahl; bei Dir ist $a$ erst einmal "nur" komplex, dieser Satz also vermutlich gar nicht anwendbar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Mo 09.07.2012 | | Autor: | Imbecile |
Hallo!
Also ich habe das ganze nochmals überdacht und ich glaube ich habe es gelöst.
f: [mm] \IZ \to \IC [/mm] x [mm] \in [/mm] {0, 1, ..., p-1}
f(x+y)=f(x)f(y)
f(0) = f(0+0) = f(0)f(0)
f(1) = f(0+1) = f(0)f(1)
[mm] \vdots
[/mm]
f(p-1) = f(p-2 +1) = f(p-2)f(1)
Da f(0) = f(0)f(0) aber auch f(1) = f(0)f(1) und f(0),f(1) [mm] \in \IC [/mm] muss f(0) = 1 gelten.
Wir setzen f(1)=:a
[mm] \forall [/mm] x gilt f(x) = [mm] a^x
[/mm]
f(p) = [mm] a^p [/mm] da die Argumente aber mod p genommen werden gilt auch
f(p) = f(0) = [mm] a^0 [/mm] = 1
[mm] \Rightarrow a^p [/mm] = 1
Es gilt auch [mm] \zeta^p [/mm] = 1 daher gilt [mm] a^p=\zeta^p
[/mm]
zu zeigen ist noch dass [mm] a=\zeta^t
[/mm]
Laut Definition gilt [mm] \zeta=e^{i\frac{2\pi}{p}} [/mm] also gilt [mm] \zeta^t=e^{it\frac{2\pi}{p}}. [/mm] Laut Definition gilt weiters [mm] a=e^{i\varphi} [/mm] wobei der Winkel [mm] \varphi [/mm] das Argument von a ist.
Durch Umformung erhält man: [mm] t=\frac{\varphi p}{2\pi}
[/mm]
Es gilt also [mm] t\in \IZ [/mm] und [mm] a=\zeta^t [/mm] sofern t obige Form annimmt. [mm] \Box
[/mm]
Stimmt das so?
Lg,
Imbecile
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Di 10.07.2012 | | Autor: | hippias |
> Hallo!
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> Also ich habe das ganze nochmals überdacht und ich glaube
> ich habe es gelöst.
>
> f: [mm]\IZ \to \IC[/mm] x [mm]\in[/mm] {0, 1, ..., p-1}
> f(x+y)=f(x)f(y)
>
> f(0) = f(0+0) = f(0)f(0)
> f(1) = f(0+1) = f(0)f(1)
> [mm]\vdots[/mm]
> f(p-1) = f(p-2 +1) = f(p-2)f(1)
>
> Da f(0) = f(0)f(0) aber auch f(1) = f(0)f(1) und f(0),f(1)
> [mm]\in \IC[/mm] muss f(0) = 1 gelten.
Muss strenggenommen nicht gelten; aber eine Deiner Voraussetzungen sichert Dir das...
> Wir setzen f(1)=:a
>
> [mm]\forall[/mm] x gilt f(x) = [mm]a^x[/mm]
Diese Punkt-Punkt-Punkt Argumente sind ein bisschen unschoen. Sauber wird es durch Induktion.
>
> f(p) = [mm]a^p[/mm] da die Argumente aber mod p genommen werden gilt
> auch
> f(p) = f(0) = [mm]a^0[/mm] = 1
>
> [mm]\Rightarrow a^p[/mm] = 1
Soweit richtig. Aber ab hier wird es ein wenig konfus. Lass die Klammern weg.
(
> Es gilt auch [mm]\zeta^p[/mm] = 1 daher gilt [mm]a^p=\zeta^p[/mm]
>
> zu zeigen ist noch dass [mm]a=\zeta^t[/mm]
> Laut Definition gilt [mm]\zeta=e^{i\frac{2\pi}{p}}[/mm] also gilt
> [mm]\zeta^t=e^{it\frac{2\pi}{p}}.[/mm]
)
> Laut Definition gilt weiters
Das ist eigentlich keine Definition.
> [mm]a=e^{i\varphi}[/mm] wobei der Winkel [mm]\varphi[/mm] das Argument von a
> ist.
(
> Durch Umformung erhält man: [mm]t=\frac{\varphi p}{2\pi}[/mm]
> Es
> gilt also [mm]t\in \IZ[/mm] und [mm]a=\zeta^t[/mm] sofern t obige Form
> annimmt. [mm]\Box[/mm]
>
)
Du weisst, dass [mm] $a^{p}= [/mm] 1$ ist, also [mm] $a^{i\phi p}= [/mm] 1$. Was folgt daraus fuer [mm] $\phi$? [/mm] Wenn Du es richtig gemacht hast, steht die gesuchte Gestalt von $a$ nun da.
>
> Stimmt das so?
> Lg,
> Imbecile
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:02 Mi 11.07.2012 | | Autor: | Imbecile |
Hallo!
Wenn ich das richtig verstehe müsste ich [mm] a^p=a^{i\varphi p} [/mm] setzen, dann würde für [mm] \varphi=\bruch{1}{i} [/mm] herauskommen, grundsätzlich ginge aber auch [mm] \varphi=i^2 [/mm] da [mm] i^3 [/mm] ja auch 1 ist...
Aber was mir das jetzt weiterhelfen soll, weiß ich nicht...
Lg,
Imbecile
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:16 Mi 11.07.2012 | | Autor: | hippias |
> Hallo!
>
> Wenn ich das richtig verstehe müsste ich [mm]a^p=a^{i\varphi p}[/mm]
> setzen, dann würde für [mm]\varphi=\bruch{1}{i}[/mm] herauskommen,
> grundsätzlich ginge aber auch [mm]\varphi=i^2[/mm] da [mm]i^3[/mm] ja auch 1
> ist...
> Aber was mir das jetzt weiterhelfen soll, weiß ich
> nicht...
>
> Lg,
> Imbecile
Es muss natuerlich [mm] $a=e^{i\phi}$ [/mm] heissen - mein Schreibfehler. Du hast also [mm] $a^{p}= e^{i\phi p}= [/mm] 1$. Bei welchen komplexen Zahlen ist [mm] $e^{x}= [/mm] 1$? Wenn Du das hast, wirst Du sehen, dass [mm] $\phi$ [/mm] genau die richtige Gestalt hat, damit $a= [mm] \zeta^{t}$, $t\in \IZ$, [/mm] gilt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 Do 12.07.2012 | | Autor: | Imbecile |
Hallo!
Also es gilt [mm] e^x=1 [/mm] wenn x=0 ist. Aber ich weiß dennoch nicht, wie mir dass jetzt die richtige Form von a geben soll? Reicht es etwa zu zeigen dass a nur für t=0 und p gleich 1 ist? Muss man nicht zeigen, dass auch die anderen Werte übereinstimmen? Oder verstehe ich schon wieder etwas vollkommen falsch?
Lg,
Imbecile
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:12 Fr 13.07.2012 | | Autor: | hippias |
$x=0$ ist eine moegliche Loesung, es gibt aber unendliche viele komplexe Loesungen. Beachte die Periodizitaet der (komplexen) Exponentialfunktion.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 Fr 13.07.2012 | | Autor: | Imbecile |
Servus!
Also [mm] e^z=1 [/mm] wenn [mm] z=2ki\pi [/mm] wobei [mm] k\in\IZ.
[/mm]
Wenn jetzt [mm] e^{ip\varphi}=e^{2ki\pi} [/mm] gilt muss ich also [mm] ip\varphi=2ki\pi [/mm] setzen. [mm] \varphi [/mm] ist also von der Gestalt: [mm] \varphi=\bruch{2k\pi}{p}.
[/mm]
Da [mm] a=\zeta^t [/mm] gilt somit [mm] a=e^{\bruch{i2k\pi}{p}}=e^{\bruch{i2t\pi}{p}}=\zeta^t. [/mm] Durch Umformen erkenne ich dass k=t ist und somit [mm] a=\zeta^t [/mm] stimmt. Habe ich es jetzt richtig gemacht?
Lg,
Imbecile
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:45 Sa 14.07.2012 | | Autor: | hippias |
> Servus!
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> Also [mm]e^z=1[/mm] wenn [mm]z=2ki\pi[/mm] wobei [mm]k\in\IZ.[/mm]
> Wenn jetzt [mm]e^{ip\varphi}=e^{2ki\pi}[/mm] gilt muss ich also
> [mm]ip\varphi=2ki\pi[/mm] setzen. [mm]\varphi[/mm] ist also von der Gestalt:
> [mm]\varphi=\bruch{2k\pi}{p}.[/mm]
>
> Da [mm]a=\zeta^t[/mm] gilt somit
> [mm]a=e^{\bruch{i2k\pi}{p}}=e^{\bruch{i2t\pi}{p}}=\zeta^t.[/mm]
> Durch Umformen erkenne ich dass k=t ist und somit [mm]a=\zeta^t[/mm]
> stimmt. Habe ich es jetzt richtig gemacht?
Ja, klar! Als Alternative noch dies: Wir hatten uns schon vor laengerer Zeit ueberlegt, dass [mm] $a^{p}= [/mm] 1$ ist, also $a$ ein Element der Menge [mm] $\{x\in \IC|x^{p}= 1\}$ [/mm] ist. Vielleicht weisst Du, dass diese Menge eine zyklische Gruppe ist, die von [mm] $\zeta$ [/mm] erzeugt wird. Damit ergibt sich die Behauptung auch schnell.
>
> Lg,
> Imbecile
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:13 Sa 14.07.2012 | | Autor: | Imbecile |
Hallo!
Vielen Dank für deine Hilfe! Ohne dich hätte ich das Beispiel nicht lösen können!
Lg,
Imbecile
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