Beweis zu "konforme Inversion" < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 So 16.05.2010 | | Autor: | jukjuk |
| Aufgabe | | Die Inversion x -> x* ist konform auf [mm] \IR^n \setminus [/mm] {0} |
Das soll nun bewiesen werden. Ich hab zwar die Beschreibung eines Beweises auf Englisch, aber damit komm ich leider nicht weiter.
Fest steht, dass ich zeigen muss, dass [mm] \varphi(x)=x \*=\bruch{x}{ \left| x \right| ^2 } [/mm] winkel- und orientierungstreu ist und damit, dass die Jacobi-Determinante [mm] \varphi' [/mm] das Vielfache einer orthogonalen Transformation ist.
Der Beweis geht nun laut Buch folgendermaßen:
Sei [mm] \varphi(x)=x\*=\bruch{x}{ (\left| x \right| ) ^2 } [/mm] und sei y [mm] \in \IR^n \setminus [/mm] {0}.
Wähle eine orthogonale Transformation T aus [mm] \IR^n, [/mm] so dass [mm] Ty=(\left| y \right|, [/mm] 0,...0)
[mm] \Rightarrow \varphi [/mm] = T^(-1) [mm] \cdot \varphi \cdot [/mm] T,
so dass [mm] \varphi'(y) [/mm] = T^(-1) [mm] \cdot \varphi'(T(y)) \cdot [/mm] T
Jetzt müsste man noch zeigen, dass [mm] \varphi'(T(y)) [/mm] ein Vielfaches einer orthogonalen Transformation ist. (Wieso eigentlich nicht [mm] \varphi'(x) [/mm] ?)
Hier ist der Link zu dem Buch http://www.axler.net/HFT.pdf (Seite 70 unten im pdf bzw. S.60 im Buch)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Und warum berechnest du [mm]\varphi'(x)[/mm] nicht direkt? Wenn man [mm]x[/mm] als Spalte schreibt, mit [mm]x^t[/mm] die daraus durch Transponieren entstehende Zeile und mit [mm]E[/mm] die [mm]n[/mm]-reihige Einheitsmatrix bezeichnet, gilt:
[mm]\varphi'(x) = \frac{1}{|x|^2} \cdot \underbrace{ \left( E - \frac{2}{|x|^2} \cdot xx^t \right)}_{A}[/mm]
Durch ein bißchen Fleißarbeit mit partiellen Ableitungen bekommt man das. Die Matrix [mm]A[/mm] ist dabei symmetrisch, denn es gilt:
[mm]A^t = \left( E - \frac{2}{|x|^2} \cdot xx^t \right)^t = E^t - \frac{2}{|x|^2} \cdot \left( xx^t \right)^t = E - \frac{2}{|x|^2} \cdot \left( x^t \right)^t x^t = E - \frac{2}{|x|^2} \cdot xx^t = A[/mm]
Und sie ist auch orthogonal:
[mm]AA^t = A^2 = \left( E - \frac{2}{|x|^2} \cdot xx^t \right)^2 = E - \frac{4}{|x|^2} xx^t + \frac{4}{|x|^4} x \underbrace{x^t x}_{|x|^2} x^t = E[/mm]
Also ist [mm]\varphi'(x)[/mm] ein Vielfaches der orthogonalen Matrix [mm]A[/mm].
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:18 Do 27.05.2010 | | Autor: | jukjuk |
Hm...ich kann's irgendwie nicht so richtig nachvollziehen. Ich glaube aber, dass das ähnlich ist zu der Rechnung, die ich inzwischen gemacht habe.
Erstmal noch eine Frage zu dem Schritt
[mm] \varphi [/mm] = T^(-1) [mm] \cdot \varphi \cdot [/mm] T,
so dass [mm] \varphi'(y) [/mm] = T^(-1) [mm] \cdot \varphi'(T(y)) \cdot [/mm] T
Das müsste doch mit der Kettenregel gehen und damit, dass die Ableitung der linearen Abbildung T gleich t ist!?
Nur kenne ich die Kettenregel nur für zwei Abbildungen bzw. Matrizen.
Geht der Schritt folgendermaßen:
[mm] \varphi'(y) [/mm] = (T^(-1) [mm] \cdot \varphi(y) \cdot [/mm] T)' = T^(-1) [mm] \cdot \varphi'(T(y)) \cdot [/mm] T' = [mm] \varphi'(y) [/mm] = T^(-1) [mm] \cdot \varphi'(T(y)) \cdot [/mm] T
Dann würde sich die Kettenregel ja aber nur auf [mm] \varphi(y) \cdot [/mm] T beziehen!?
Und jetzt zu dem Rest...ich hab mir Folgendes überlegt (dabei definiere ich im zweiten Schritt T(y) als x):
[mm] J_\varphi [/mm] = [mm] \varphi'(T(y)) [/mm] = [mm] \bruch{\partial \varphi(x)}{\partial x_j} [/mm] = [mm] \partial \varphi(x) [/mm] = [mm] \partial_i (\bruch{x}{\left| x \right|^2 \cdot e_i} [/mm] = [mm] \bruch{e_i \left| x \right|^2 - x2x_i}{\left| x \right|^4} [/mm] = [mm] \bruch{e_i}{\left| x \right|^2}-\bruch{x2x_i}{\left| x \right|^4}=\bruch{e_i}{\left| y \right|^2}-\bruch{\left| y \right|e_i \cdot 2\delta_i_1\left| y \right|}{\left| y \right|^4} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\left| y \right|^2} \cdot (1-2\delta_i_1 )e_i
[/mm]
und das ist jetzt entweder [mm] -\bruch{1}{\left| y \right|^2} [/mm] für i=1 oder gleich [mm] \bruch{1}{\left| y \right|^2} [/mm] für [mm] i\not=1
[/mm]
Damit ergibt sich dann die Matrix mit - [mm] \bruch{1}{\left| y \right|^2} [/mm] am ersten Diagonaleintrag und [mm] \bruch{1}{\left| y \right|^2} [/mm] für alle anderen und sonst alle Einträge =0. Damit ist [mm] \varphi'(T(y)) [/mm] eine Diagonalmatrix.
Stimmt das so? Stimmt die Schreibweise?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Fr 04.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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