Beweis zu zyklischen Gruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:46 Do 27.03.2014 | | Autor: | havoc1 |
| Aufgabe | Seien a und b zwei ganze Zahlen und c=ggT(a, b)
Dann gilt: [mm] a*\IZ [/mm] mod [mm] b=c*\IZ [/mm] mod b |
Hallo,
ich habe dazu einen Beweis gelesen. Dabei wird angenommen:
a=c*m Wobei m teilerfremd zu b sein soll.
Ich frage mich nun wieso man dies annehmen kann, also ich sehe nicht, dass die Aussage für "d und b haben einen gemeinsamen Teiler" trivial wird.
Hätte jemand einen Tipp für mich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Do 27.03.2014 | | Autor: | hippias |
> Seien a und b zwei ganze Zahlen und c=ggT(a, b)
> Dann gilt: [mm]a*\IZ[/mm] mod [mm]b=c*\IZ[/mm] mod b
Was diese Behauptung bedeuten sollist mir vollkommen unklar.
> Hallo,
>
> ich habe dazu einen Beweis gelesen. Dabei wird angenommen:
> a=c*m Wobei m teilerfremd zu b sein soll.
Das ist im allgemeinen nicht moeglich: z.B. $a= 4$, $b=6$; dann ist $c=2$ und $m=2$. Jedoch ist $m$ nicht teilerfremd zu $b$.
> Ich frage mich nun wieso man dies annehmen kann,
s.o.
> also ich
> sehe nicht, dass die Aussage für "d und b haben einen
> gemeinsamen Teiler" trivial wird.
Was ist denn $d$? Und wieso sollte denn die Annahme
> a=c*m Wobei m teilerfremd zu b sein soll.
implizieren, dass
> die Aussage für "d und b haben einen
> gemeinsamen Teiler" trivial wird. ?
Fuer mich ergibt das keinen Sinn.
> Hätte jemand einen Tipp für mich?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Do 27.03.2014 | | Autor: | havoc1 |
| Aufgabe | Seien a und b ganze Zahlen und c:=ggT(a, b)
Dann gilt:
[mm] a*\IZ/b*\IZ=c*\IZ/b*\IZ [/mm] |
Ich meine statt d natürlich c.
Nun zur Bedeutung. Die Sache habe ich unglücklich (falsch) formuliert.
[mm] a*\IZ [/mm] mod b:= [mm] a*\IZ/b*\IZ
[/mm]
Ich hoffe alle Unklarheiten sind damit ausgeräumt! Oben noch einmal die korrigierte Ausgangslage.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:37 Do 27.03.2014 | | Autor: | hippias |
Ich kann nicht sagen, dass mir dadurch irgendetwas klarer geworden waere: was soll denn [mm] $a\cdot\IZ/b\cdot \IZ$ [/mm] sein: eine Menge von Bruechen, so eine Art Restklasse...? Aber das kann ja auch mein Fehler sein. An dem Gegenbeispiel, das ich zur behaupteten Existenz dieses $m$ gepostet habe, aendert das aber nichts.
Mein Tipp waere, dass Du nocheinmal ganz genau Behauptung und Beweis nachliest.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Do 27.03.2014 | | Autor: | havoc1 |
Naja, dein Gegenbeispiel stimmt, ja. Aber ich denke das die Behauptung dadurch trivial wird.
Was meine ich nun mit [mm] a*\IZ/b*\IZ.
[/mm]
Also [mm] \IZ/b*\IZ [/mm] Meint die Restklasse modulo b. Und [mm] a*\IZ/b*\IZ [/mm] die Restklassen modulo b bezüglich aller Vielfachen von a.
Also gerade das Bild von f:
f: [mm] \IZ/b*\IZ [/mm] -> [mm] \IZ/b*\IZ, [/mm] q mod b |-> a*q mod b.
Sorry das ich das nicht erläutert habe, ich dachte nicht, dass diese Formulierung so speziell ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:10 Do 27.03.2014 | | Autor: | hippias |
> Naja, dein Gegenbeispiel stimmt, ja. Aber ich denke das die
> Behauptung dadurch trivial wird.
Verstehe ich nicht.
> Was meine ich nun mit [mm]a*\IZ/b*\IZ.[/mm]
> Also [mm]\IZ/b*\IZ[/mm] Meint die Restklasse modulo b.
Du sollstest Dir dringend die Definition einer Restklasse modulo einer ganzen ansehen! [mm] $\IZ/b*\IZ$ [/mm] als
> die Restklasse modulo b
zu bezeichnen ist schlicht unsinnig.
> Und
> [mm]a*\IZ/b*\IZ[/mm] die Restklassen modulo b bezüglich aller
> Vielfachen von a.
s.o.
> Also gerade das Bild von f:
> f: [mm]\IZ/b*\IZ[/mm] -> [mm]\IZ/b*\IZ,[/mm] q mod b |-> a*q mod b.
>
> Sorry das ich das nicht erläutert habe, ich dachte nicht,
> dass diese Formulierung so speziell ist.
>
s.o.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Do 27.03.2014 | | Autor: | havoc1 |
> > Naja, dein Gegenbeispiel stimmt, ja. Aber ich denke das die
> > Behauptung dadurch trivial wird.
> Verstehe ich nicht.
Verstehst du das nicht, weil die Aufgabenstellung noch uneindeutig ist?
Falls es das nicht ist, ich meine damit, dass für den Fall, dass
a=c*m und "m und b haben einen gemeinsamen Teiler", ist die Aussage
[mm]a*\IZ/b*\IZ=c*\IZ/b*\IZ[/mm] trivial. (Und ich vermute, das ich das gerade irgendwie nicht sehe...)
> > Was meine ich nun mit [mm]a*\IZ/b*\IZ.[/mm]
> > Also [mm]\IZ/b*\IZ[/mm] Meint die Restklasse modulo b.
> Du sollstest Dir dringend die Definition einer Restklasse
> modulo einer ganzen ansehen! [mm]\IZ/b*\IZ[/mm] als
> > die Restklasse modulo b
> zu bezeichnen ist schlicht unsinnig.
Ja das ist wahr, es ist die Menge aller dieser Restklassen.
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Hallo,
mal als Zweit-/Drittmeinung:
> > > Naja, dein Gegenbeispiel stimmt, ja. Aber ich denke das die
> > > Behauptung dadurch trivial wird.
> > Verstehe ich nicht.
>
> Verstehst du das nicht, weil die Aufgabenstellung noch
> uneindeutig ist?
> Falls es das nicht ist, ich meine damit, dass für den
> Fall, dass
> a=c*m und "m und b haben einen gemeinsamen Teiler", ist
> die Aussage
> [mm]a*\IZ/b*\IZ=c*\IZ/b*\IZ[/mm] trivial. (Und ich vermute, das ich
> das gerade irgendwie nicht sehe...)
Ich versteh das auch nicht. Hippias hat doch bereits ein Gegnbsp. zu dieser Aussage geschrieben, d.h. sie ist falsch nicht trivial. Und wenn etwas wirklich trivial ist, dann kann man es auch schnell beweisen.
>
> > > Was meine ich nun mit [mm]a*\IZ/b*\IZ.[/mm]
> > > Also [mm]\IZ/b*\IZ[/mm] Meint die Restklasse modulo b.
> > Du sollstest Dir dringend die Definition einer Restklasse
> > modulo einer ganzen ansehen! [mm]\IZ/b*\IZ[/mm] als
> > > die Restklasse modulo b
> > zu bezeichnen ist schlicht unsinnig.
>
> Ja das ist wahr, es ist die Menge aller dieser Restklassen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:49 Sa 29.03.2014 | | Autor: | hippias |
> > > Naja, dein Gegenbeispiel stimmt, ja. Aber ich denke das die
> > > Behauptung dadurch trivial wird.
> > Verstehe ich nicht.
>
> Verstehst du das nicht, weil die Aufgabenstellung noch
> uneindeutig ist?
> Falls es das nicht ist, ich meine damit, dass für den
> Fall, dass
> a=c*m und "m und b haben einen gemeinsamen Teiler", ist
> die Aussage
> [mm]a*\IZ/b*\IZ=c*\IZ/b*\IZ[/mm] trivial. (Und ich vermute, das ich
> das gerade irgendwie nicht sehe...)
Nein, ich fand die Argumentationskette unverstaendlich.
Aber: mittlerweile habe ich die Aussage der Behauptung begriffen. Mein Beweis ginge so: Wegen [mm] $c\vert [/mm] a$ ist offensichtlich [mm] $a\cdot\IZ/b\IZ\subseteq c\cdot\IZ/b\IZ$. [/mm] Fuer die umgekehrte Inklusion nutze ich die Darstellung $c= ar+bs$, [mm] $r,s\in \IZ$.
[/mm]
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> > > Was meine ich nun mit [mm]a*\IZ/b*\IZ.[/mm]
> > > Also [mm]\IZ/b*\IZ[/mm] Meint die Restklasse modulo b.
> > Du sollstest Dir dringend die Definition einer Restklasse
> > modulo einer ganzen ansehen! [mm]\IZ/b*\IZ[/mm] als
> > > die Restklasse modulo b
> > zu bezeichnen ist schlicht unsinnig.
>
> Ja das ist wahr, es ist die Menge aller dieser Restklassen.
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