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Forum "Zahlentheorie" - Beweis zur Teilbarkeit durch 7
Beweis zur Teilbarkeit durch 7 < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Beweis zur Teilbarkeit durch 7: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:23 So 20.05.2018
Autor: mathelernender

Aufgabe
Gegeben sei die natürliche Zahl a = [mm] (a_na_{n-1}...a_1a_0) \in \IN [/mm] mit den Ziffern [mm] a_n,...,a_1,a_0. [/mm]
Weiter sei a' die Zahl, die entsteht, wenn man die Einerziffer [mm] a_0 [/mm] von a streicht und anschließend [mm] 2a_0 [/mm] abzieht.
Zeigen Sie: a' ist ein Vielfaches von 7 [mm] \gdw [/mm] a ist ein Vielfaches von 7

Hallo,
ich versuche aktuell die oben beschriebene Aufgabe zu lösen. Allerdings kann ich nicht viel aus den Informationen gewinnen. Ich habe zunächst versucht, die Zahl im Dezimalsystem darzustellen ala [mm] a_n [/mm] * [mm] 10^n [/mm] + ... + [mm] a_0 [/mm] * [mm] 10^0. [/mm] Jetzt ist zumindest a 'mathematisiert'. Für a gilt jetzt noch, dass a = 7*x mit geeignetem x [mm] \in \IN [/mm] gilt, also ein Vielfaches von 7 ist. Jetzt hört es allerdings dann auch so langsam auf bei mir. Ich habe erfolglos versucht, die "Erzeugung" von a' mathematisch darzustellen. Allerdings weiß ich nicht so recht, wie ich das "streichen" einer Ziffer darstellen soll (mal davon abgesehen weiß ich nicht, ob mir das weiterhilft).

Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben?

        
Bezug
Beweis zur Teilbarkeit durch 7: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:41 So 20.05.2018
Autor: abakus

Wenn die Einerziffer gestrichen wird, ist sie erst einmal weg - du musst sie also subtrahieren.
Wenn sie weg ist, wird die vorletzte Ziffer zur letzten Ziffer, und auch jede andere Ziffer rückt eine Position nach hinten.
Aus Zehnern werden Einer, aus Hundertern werden Zehner usw.
Du musst also das nach dem Subtrahieren der letzten Ziffer erhaltene Zwischenergebnis noch durch 10 teilen.> Gegeben sei die natürliche Zahl a = [mm](a_na_{n-1}...a_1a_0) \in \IN[/mm]

> mit den Ziffern [mm]a_n,...,a_1,a_0.[/mm]
>  Weiter sei a' die Zahl, die entsteht, wenn man die
> Einerziffer [mm]a_0[/mm] von a streicht und anschließend [mm]2a_0[/mm]
> abzieht.
>  Zeigen Sie: a' ist ein Vielfaches von 7 [mm]\gdw[/mm] a ist ein
> Vielfaches von 7
>  Hallo,
>  ich versuche aktuell die oben beschriebene Aufgabe zu
> lösen. Allerdings kann ich nicht viel aus den
> Informationen gewinnen. Ich habe zunächst versucht, die
> Zahl im Dezimalsystem darzustellen ala [mm]a_n[/mm] * [mm]10^n[/mm] + ... +
> [mm]a_0[/mm] * [mm]10^0.[/mm] Jetzt ist zumindest a 'mathematisiert'. Für a
> gilt jetzt noch, dass a = 7*x mit geeignetem x [mm]\in \IN[/mm]
> gilt, also ein Vielfaches von 7 ist. Jetzt hört es
> allerdings dann auch so langsam auf bei mir. Ich habe
> erfolglos versucht, die "Erzeugung" von a' mathematisch
> darzustellen. Allerdings weiß ich nicht so recht, wie ich
> das "streichen" einer Ziffer darstellen soll (mal davon
> abgesehen weiß ich nicht, ob mir das weiterhilft).
>  
> Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben?


Bezug
                
Bezug
Beweis zur Teilbarkeit durch 7: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:47 So 20.05.2018
Autor: mathelernender

Okay. Stimmt.

also gilt:

a = [mm] a_n [/mm] * [mm] 10^n [/mm] + [mm] a_{n-1} [/mm] * 10 ^{n-1} + ... [mm] a_0 [/mm] * [mm] 10^0 [/mm]

a' = [mm] (a_n [/mm] * [mm] 10^{n-1} [/mm] + [mm] a_{n-1} [/mm] * [mm] 10^{n-2} [/mm] + ... + [mm] a_1 [/mm] * [mm] 10^0) [/mm] - [mm] 2*a_0 [/mm]

Oder ist es sinnvoller, was mit der PFZ der Zahlen zu versuchen? Ich finde nicht so richtig einen Ansatz zum Start.

Bezug
                        
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Beweis zur Teilbarkeit durch 7: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:28 So 20.05.2018
Autor: leduart

Hallo
du hattest einen guten Anfang mit [mm] sum_k=0)^n a_k10^k=7*n [/mm]
jetzt [mm] a_0 [/mm] weg ergibt [mm] 7n/10-a_0/10=(7n-a_0)/10 [/mm]
jetzt [mm] -2a_0=-20a_0/10 [/mm] damit insgesamt [mm] (7n-21a_0)/10=7(n-3a_0)/10 [/mm]
jetzt fhlt noch dass n-3a durch 10 tb sein sollte.
also muss man die Endziffern [mm] a_o [/mm] von 1 bis 9 von n ansehen
7n endet mit 1 (3*7=21 n muss mit 3 enden.endet mit 2 n muss mit 6  6*7=42 enden, endet mit 4 muss mit 2  enden  usw.
Gruß leduart


Bezug
                                
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Beweis zur Teilbarkeit durch 7: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:48 So 20.05.2018
Autor: donquijote


> Hallo
>  du hattest einen guten Anfang mit [mm]sum_k=0)^n a_k10^k=7*n[/mm]
>  
> jetzt [mm]a_0[/mm] weg ergibt [mm]7n/10-a_0/10=(7n-a_0)/10[/mm]
>  jetzt [mm]-2a_0=-20a_0/10[/mm] damit insgesamt
> [mm](7n-21a_0)/10=7(n-3a_0)/10[/mm]
>  jetzt fhlt noch dass n-3a durch 10 tb sein sollte.
>  also muss man die Endziffern [mm]a_o[/mm] von 1 bis 9 von n
> ansehen

Hallo,
dieser Schritt ist m.E. nicht nötig, da nach Konstruktion klar ist, dass [mm]a'=7(n-3a_0)/10[/mm] ganzzahlig ist und 7 und 10 teilerfremd sind.

>  7n endet mit 1 (3*7=21 n muss mit 3 enden.endet mit 2 n
> muss mit 6  6*7=42 enden, endet mit 4 muss mit 2  enden  
> usw.
> Gruß leduart
>  


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Bezug
Beweis zur Teilbarkeit durch 7: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:18 Mo 21.05.2018
Autor: mathelernender

Hiallo,

> > Hallo
>  >  du hattest einen guten Anfang mit [mm]sum_k=0)^n a_k10^k=7*n[/mm]
>  
> >  

> > jetzt [mm]a_0[/mm] weg ergibt [mm]7n/10-a_0/10=(7n-a_0)/10[/mm]
>  >  jetzt [mm]-2a_0=-20a_0/10[/mm] damit insgesamt
> > [mm](7n-21a_0)/10=7(n-3a_0)/10[/mm]

Bis hierhin komme ich klar, ist nachvollziehbar.

>  >  jetzt fhlt noch dass n-3a durch 10 tb sein sollte.
>  >  also muss man die Endziffern [mm]a_o[/mm] von 1 bis 9 von n
> > ansehen

Auch wenn dieser Schritt eventuell nicht nötig ist, würde ich ihn gerne ganz verstehen. Wir haben [mm] \bruch{7(n - a_0)}{10} [/mm] und wollen wissen, ob das n - [mm] a_0 [/mm] teilbar ist durch 10.

1. kurze Zwischenfrage: Das Produkt 7* [mm] \bruch{(n - a_0)}{10} [/mm] sollte doch bereits durch 7 tb sein, oder nicht? (wg. dem Faktor 7)

Wir betrachten jetzt alle möglichen Endziffern von [mm] a_0 [/mm] also 0,...,9.

Z.B. [mm] a_0 [/mm] = 1.
Dann gilt:
[mm] \bruch{n - 3*1}{10} \gdw [/mm] n = 3

Was nutzt diese Information jetzt oder was sagt mir das?

>  
> Hallo,
>  dieser Schritt ist m.E. nicht nötig, da nach Konstruktion
> klar ist, dass [mm]a'=7(n-3a_0)/10[/mm] ganzzahlig ist und 7 und 10
> teilerfremd sind.
>  
> >  7n endet mit 1 (3*7=21 n muss mit 3 enden.endet mit 2 n

> > muss mit 6  6*7=42 enden, endet mit 4 muss mit 2  enden  
> > usw.
> > Gruß leduart
>  >  
>  


Bezug
                                                
Bezug
Beweis zur Teilbarkeit durch 7: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:33 Mo 21.05.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> > > du hattest einen guten Anfang mit [mm]sum_k=0)^n a_k10^k=7*n[/mm]

>

> >
> > >
> > > jetzt [mm]a_0[/mm] weg ergibt [mm]7n/10-a_0/10=(7n-a_0)/10[/mm]
> > > jetzt [mm]-2a_0=-20a_0/10[/mm] damit insgesamt
> > > [mm](7n-21a_0)/10=7(n-3a_0)/10[/mm]

>

> Bis hierhin komme ich klar, ist nachvollziehbar.

>

> > > jetzt fhlt noch dass n-3a durch 10 tb sein sollte.
> > > also muss man die Endziffern [mm]a_o[/mm] von 1 bis 9 von n
> > > ansehen

>

> Auch wenn dieser Schritt eventuell nicht nötig ist, würde
> ich ihn gerne ganz verstehen. Wir haben [mm]\bruch{7(n - a_0)}{10}[/mm]
> und wollen wissen, ob das n - [mm]a_0[/mm] teilbar ist durch 10.

Der obige Ausdruck wird i.a. nicht durch 10 teilbar sein (und um diesen ging es auch nicht, Tippfehler?). Beachte, dass die von leduart eingeführte Variable n dafür steht, wie oft die 7 in a geht, für den Fall, dass 7|a.

Also hätte man nach der Subtraktion von [mm] a_0 [/mm] den Term [mm]7n-a_0[/mm], welcher durch 10 teilbar ist, da [mm] a_0 [/mm] die Endziffer von a ist. Also ist

[mm] \frac{7n-a_0}{10}[/mm]

eine natürliche Zahl.

Nach der nun erfolgenden Subtraktion von [mm]2a_0[/mm] hat man:

[mm] \frac{7n-a_0}{10}-2a_0= \frac{7n-21a_0}{10}= 7*\frac{n-3a_0}{10}[/mm]

Die Teilbarkeit den Zählers [mm]n-3a_0[/mm] durch 10 ist auch hier trivial, da der hintere Term ja einfach nur durch das Zusammenfassen der Differenz zustande kommt.


Gruß, Diophant

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