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| Aufgabe | Seien $f : U [mm] \to [/mm] V$, $g : V [mm] \to [/mm] W$ und $h : W [mm] \to [/mm] Z$ lineare ABbildungen.
i) Zeige, dass $ h [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ [/mm] f) = (h [mm] \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] f$.
ii) Sei $A [mm] \in M_{m \times n}(\IR)$, [/mm] $B [mm] \in M_{n \times p}(\IR)$ [/mm] und $C [mm] \in M_{p \times r}(\IR)$. [/mm] Leite aus i) her, dass $A(BC)=(AB)C$. |
Hallo, eine weitere Frage.
Es wäre nett, wenn jemand hier mal schauen könnte, ob ich auf dem richtigen Weg bin.
Teilaufgabe i)
Wir rechnen einfach nach:
$h [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ [/mm] f) = h [mm] \circ [/mm] (g(f(u)) = h [mm] \circ [/mm] g(v) = h(g(v)) = h(w) = z$
und
$ (h [mm] \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] f = (h [mm] \circ [/mm] g) (f(u))=(h [mm] \irc [/mm] g)(v)=h(g(v))=h(w)=z$,
für alle $u [mm] \in [/mm] U$, $v [mm] \in [/mm] V$ und $z [mm] \in [/mm] Z$. Wir sehen also, dass
$h [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ [/mm] f) = (h [mm] \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] f$.
Teilaufgabe ii)
Wir wollen zeigen, dass [mm] $(A(BC))_j [/mm] = [mm] ((AB)C)_j$ [/mm] für alle $j$ gilt, wobei [mm] $A_j$ [/mm] die j-te Spalte einer Matrix $A$ bezeichnet. Wir rechnen also [mm] ($e_j$ [/mm] ist der j-te Basisvektor des jeweiligen Vektorraums und [mm] $L_A$ [/mm] ist die lineare Abbildung [mm] $L_A [/mm] : [mm] \IR^{\text{(Anzahl der Spalten)}} \to \IR^{\text{(Anzahl der Zeilen)}}$ [/mm] mit [mm] $L_A(x)=Ax$, [/mm] $x [mm] \in \IR^{\text{(Anzahl der Zeilen)}}$):
[/mm]
$ [mm] ((AB)C)_j [/mm] = [mm] (AB)C_j [/mm] = [mm] (AB)Ce_j [/mm] = [mm] (AB)L_C(e_j) [/mm] = [mm] (ABe_j) L_C(e_j) [/mm] = (A * [mm] L_B(e_j)) \circ L_C(e_j) [/mm] = [mm] L_A(L_B(e_j)) \circ L_C(e_J) [/mm] = [mm] (L_A(L_B(L_C(e_j)))) [/mm] = [mm] L_A \circ (L_B \circ L_C)$
[/mm]
Laut i) folgt jetzt:
$ [mm] L_A \circ (L_B \circ L_C) [/mm] = [mm] (L_A \circ L_B) \circ L_C [/mm] = [mm] (L_A(L_B(e_j)))\circ L_C [/mm] = [mm] L_A(L_B(L_C(e_j))) [/mm] = [mm] L_A(L_B(Ce_j)) [/mm] = [mm] L_A(BC)_j=(A(BC))_j$
[/mm]
Dies soll zeigen, dass [mm] $(A(BC))_j=((AB)C)_j$ [/mm] für alle $j$, also $A(BC)=(AB)C$.
Ist das so einigermaßen in Ordnung?
Liebe Grüße.
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Hi MeMeansMe,
Der erste Teil sieht von der Idee her richtig aus, formal allerdings etwas unschön.
Du kannst nicht sagen, dass eine Funktion gleich einem Funktionswert ist, also
> [mm]h \circ (g \circ f) = h \circ (g(f(u))[/mm]
ist einfach nur falsch.
Wenn wir schon an dieser Stelle sind:
[mm] $h\circ [/mm] (g(f(u))$
ist nicht definiert.
[mm] $\circ$ [/mm] kann nur Funktionen miteinander verbinden, $g(f(u))$ ist aber ein Funktionswert, keine Funktion.
Also hier entweder
[mm] $(h\circ [/mm] g)(f(u))$ oder $h(g(f(u)))$ schreiben.
Das Problem tritt an anderen Stellen auch noch auf, achte darauf, dass du ganz klar unterscheidest was eine Funktion ist und was ein Funktionswert.
Davon abgesehen wäre es schön zu sagen was $u$ und die anderen Variablen sind, bevor du anfängst damit zu rechnen. :)
Beim zweiten Teil scheinst du eine richtige Idee gehabt zu haben, aber hier geht einiges schief, zum Beispiel taucht auf einmal ein [mm] $e_j$ [/mm] hinter dem $B$ auf und ich hab keine Ahnung wo das herkommen soll.
Davon abgesehen hier wieder das gleiche Problem: Du setzt eine Funktion mit einer Spalte einer Matrix gleich.
Also guck den zweiten Teil am besten nochmal ganz in Ruhe durch und korrigiere den Fehler, dann können wir ja nochmal darüber reden.
lg
Schadow
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Hallo,
> Hi MeMeansMe,
>
> Der erste Teil sieht von der Idee her richtig aus, formal
> allerdings etwas unschön.
> Du kannst nicht sagen, dass eine Funktion gleich einem
> Funktionswert ist, also
>
> > [mm]h \circ (g \circ f) = h \circ (g(f(u))[/mm]
>
> ist einfach nur falsch.
> Wenn wir schon an dieser Stelle sind:
> [mm]h\circ (g(f(u))[/mm]
> ist nicht definiert.
> [mm]\circ[/mm] kann nur Funktionen miteinander verbinden, [mm]g(f(u))[/mm]
> ist aber ein Funktionswert, keine Funktion.
Ok, neuer Versuch.
Seien $u [mm] \in [/mm] U$, $v [mm] \in [/mm] V$ und $z [mm] \in [/mm] Z$ gegeben. Dann können wir schreiben:
$ h [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ [/mm] f) = h(g(f(u))) = h(g(v)) = h(w) = z = h(w) = h(g(v)) = (h [mm] \circ [/mm] g)(v) = (h [mm] \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] f$,
für alle $u, v$ und $z$. Ist das so besser?
>
> Beim zweiten Teil scheinst du eine richtige Idee gehabt zu
> haben, aber hier geht einiges schief, zum Beispiel taucht
> auf einmal ein [mm]e_j[/mm] hinter dem [mm]B[/mm] auf und ich hab keine
> Ahnung wo das herkommen soll.
> Davon abgesehen hier wieder das gleiche Problem: Du setzt
> eine Funktion mit einer Spalte einer Matrix gleich.
> Also guck den zweiten Teil am besten nochmal ganz in Ruhe
> durch und korrigiere den Fehler, dann können wir ja
> nochmal darüber reden.
>
Alles klar, was [mm] $Ae_j$ [/mm] bedeutet, ist dass man die Matrix $A$ mit dem Einheitsvektor $e$ multipliziert, der an der $j$-ten Stelle eine $1$ hat. So erhält man die $j$-te Spalte der Matrix $A$, was ich schreibe als [mm] $A_j$. [/mm] Wir haben außerdem die lineare Abbildung [mm] $L_A [/mm] : [mm] \IR^n \times \IR^m$ [/mm] mit [mm] $L_A(x) [/mm] = Ax$, $x [mm] \in \IR^n$. [/mm] Das heißt, dass [mm] $A_j [/mm] = [mm] Ae_j [/mm] = [mm] L_A(e_j)$. [/mm] Ich hoffe, jetzt ist es deutlicher :)
Ich versuch's also nochmal:
Wir haben die drei Matrizen, wie wir sie in der Aufgabenstellung vorgestellt haben. Ich will jetzt zeigen, dass gilt
$ [mm] ((AB)C)_j=(A(BC))_j$
[/mm]
für alle $j$. Das heißt, die $j$-te Spalte von $(AB)C$ ist gleich der $j$-ten Spalte von $A(BC)$ und das gilt für alle Spalten, sodass die beiden Matrizen gleich sind. Also:
$ [mm] ((AB)C)_j [/mm] = [mm] (AB)C_j [/mm] = [mm] (AB)*Ce_j [/mm] = [mm] (AB)*L_C(e_j) [/mm] = [mm] (AB_j)*L_C(e_j) [/mm] = [mm] (A*Be_j)*L_C(e_j) [/mm] = [mm] (A*L_B(e_j))*L_C(e_j) [/mm] = [mm] (A_j*L_B(e_j))*L_C(e_j) [/mm] = [mm] (Ae_j*L_B(e_j))*L_C(e_j) [/mm] = [mm] (L_A(e_j)*L_B(e_j))*L_C(e_j) [/mm] $
$ = [mm] (L_A \circ L_B) \circ L_C [/mm] = [mm] L_A \circ (L_B \circ L_C) [/mm] = [mm] L_A(L_B \circ L_C) [/mm] = [mm] L_A(L_B(L_C(e_j))) [/mm] = [mm] L_A(L_B(Ce_j)) [/mm] = [mm] L_A(L_B(C_j)) [/mm] = [mm] L_A(BC_j) [/mm] = [mm] A(BC_j) [/mm] = [mm] A(BC)_j [/mm] = [mm] (A(BC))_j [/mm] $
Wenn ich jetzt noch Fehler gemacht habe mit den [mm] $\circ$, [/mm] gerne korrigiere, weil ich auch irgendwann nicht mehr den Blick habe, zu sehen, was falsch ist.
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 25.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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