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Beweise: Umfrage (beendet)
Status: (Umfrage) Beendete Umfrage Status 
Datum: 08:19 Mo 28.08.2017
Autor: rabilein1

Aufgabe
Vor einiger Zeit schrieb ich hier mal:
Allein Aufgaben vom Typ "Beweisen Sie, dass ..." bedeuten doch so viel wie "Machen Sie genau das, was schon Tausende anderer Leute vor Ihnen gemacht haben", was mir einen Rüffel von Fred97 einbrachte.

Nun fand ich in der aktuellen Ausgabe der Zeitung ZEIT einen Artikel über das "P-NP-Problem", in dem unter anderem der Satz stand:
"Manchmal werden Beweise sogar jahrzehntelang als korrekt akzeptiert - bis jemand dann doch einen Fehler findet"


Hmmm??? - Da frage ich mich jetzt natürlich, ob denn "Beweise" für die Ewigkeit gelten oder nur so lange, bis sie widerlegt werden.

Wenn ich eingangs schrieb "... was schon Tausende anderer Leute vor Ihnen gemacht haben", kann das auch bedeuten, dass der Tausendunderste auf eine gegenteilige Lösung kommt, die den "Beweis" ad absurdum führt?

Oder gibt es unterschiedliche "Beweise" - von denen die einen für die Ewigkeit gelten, die anderen nur so lange, bis sie widerlegt sind.

Dazu muss ich allerdings sagen, dass der ZEIT-Autor auch etwas skurril schreibt. Zum Beispiel den Satz:
"Der dänische Mathematiker Keld Helsgaun hält seit 2013 den Rekord für die schnellste Rundroute durch 1,9 Millionen Städte auf der ganzen Erdkugel."

Da frage ich mich:  Gibt es überhaupt so viele Städte auf der Erde? Selbst wenn man jedes kleines Dorf als Stadt bezeichnet: Wie hat Herr Helsgaun die Orte bereist? Mit dem Finger auf der Landkarte? Selbst dafür braucht es eine ziemlich große Landkarte und einen sehr schnellen Finger. Zählt so ein Rokord überhaupt für das Guiness Buch? Oder gelten für Mathematiker andere Kriterien?

Fragen über Fragen...    

        
Bezug
Beweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:55 Mo 28.08.2017
Autor: Herby

Hallo Rabilein,

> Vor einiger Zeit schrieb ich hier mal:
>  Allein Aufgaben vom Typ "Beweisen Sie, dass ..." bedeuten
> doch so viel wie "Machen Sie genau das, was schon Tausende
> anderer Leute vor Ihnen gemacht haben", was mir einen
> Rüffel von Fred97 einbrachte.
>
> Nun fand ich in der aktuellen Ausgabe der Zeitung ZEIT
> einen Artikel über das "P-NP-Problem", in dem unter
> anderem der Satz stand:
>  "Manchmal werden Beweise sogar jahrzehntelang als korrekt
> akzeptiert - bis jemand dann doch einen Fehler findet"
>  
> Hmmm??? - Da frage ich mich jetzt natürlich, ob denn
> "Beweise" für die Ewigkeit gelten oder nur so lange, bis
> sie widerlegt werden.

[meinemeinung]

Wenn in einem Beweis ein Fehler ist, heißt das ja nicht, dass das zu Beweisende falsch ist. Ich denke, man muss hier differenzieren. Eine Aussage kann ja auf verschiedene Weise bewiesen werden (egal ob nun als 'richtig' oder 'falsch'). Von daher, auch wenn ich den Rüffel von Fred nicht kenne, ist ein Beweis auch nach bereits mehreren tausend formulierten Beweisen immer noch ok. Zumal es ja bei der Forderung nach einem Beweis im Studium eher weniger um die zu beweisende Aussage selbst geht, als viel mehr um das Erlernen einen Beweis zu führen.


Viele Grüße
[Dateianhang nicht öffentlich] Herby




Bezug
                
Bezug
Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:43 Mo 28.08.2017
Autor: rabilein1


> Wenn in einem Beweis ein Fehler ist, heißt das ja nicht,
> dass das zu Beweisende falsch ist.

Das stimmt. Es heißt dann gar nichts - weder dass das zu Beweisende falsch noch dass es richtig ist.


> Eine Aussage kann ja auf verschiedene Weise
> bewiesen werden (egal ob nun als 'richtig' oder 'falsch').

Das finde ich auch in Ordnung [meinemeinung]. Und es wäre sicherlich spannend, wenn tausend Wege nach Rom führen und jemand findet den tausendundersten...
  

> Von daher, auch wenn ich den Rüffel von Fred nicht kenne,
> ist ein Beweis auch nach bereits mehreren tausend
> formulierten Beweisen immer noch ok. Zumal es ja bei der
> Forderung nach einem Beweis im Studium eher weniger um die
> zu beweisende Aussage selbst geht, als viel mehr um das
> Erlernen einen Beweis zu führen.

Genau darin lag wohl auch der Rüffel - weil ich mich darüber "amüsiert" hatte, dass das Rad zum tausendsten Mal erfunden wird, obwohl dadurch keine neuen Erkenntnisse für die Menschheit gewonnen und keine neuen Werte geschaffen werden - außer eben "das Erlernen eines Beweises".


In dem ZEIT-Artikel ging es aber vielmehr darum, etwas Neues zu beweisen bzw. zu widerlegen, also um die zu beweisende Aussage selbst.    


Bezug
        
Bezug
Beweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:05 Mo 28.08.2017
Autor: leduart

Hallo
dein post hat eine Unterhaltung am Familientisch ausgelöst.
das Ergebnis:
Der Mathematiker Thurston hat  die Meinung vertreten: Beweise in Mathematik sind im Allgemeinen selbstkorrigierend .
a) jemand beweist einen Satz, der aber uninteressant ist, der wartet sehr lange auf eine Korrektur, bis vielleicht jemand eine interessante Verallgemeinerung des Satzes findet, den Beweis  versucht nachzuvollziehen und auf einen Fehler stößt
b) der Satz ist interessant, dann wird er so lange in anderen Beweisen verwendet, bis man fast immer auf einen Widerspruch stößt, und dann den Fehler findet.
c) der Satz ist richtig  und interessant , aber der Beweis falsch , hier wird der Fehler erst gefunden, wenn jemand eine Verallgemeinerung des Satzes zu beweisen versucht und dabei auf den Fehler trifft.
insbesondere b) ist wohl schon häufiger vorgekommen.
Allerdings tritt das wohl nicht in Beweisen auf, die in Anfängervorlesungen vorkommen,
Gruß leduart

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Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:15 Mo 28.08.2017
Autor: rabilein1


>  Allerdings tritt das wohl nicht in Beweisen auf, die in Anfängervorlesungen vorkommen...

... was wohl daran liegen mag, dass der Beweis "auf einen Bierdeckel passt".

Auch wenn ich von Beweisen absolut keine Ahnung habe, so fällt mir doch auf, dass hier im Matheraum die Beweise doch relativ kurz sind, während ich andernorts von Beweisen gelesen habe, die mehrere hundert Seiten umfassen und wo sich selbst ein "Expertenteam" nicht sicher ist, ob der Beweis nun richtig ist oder nicht - und dass für das Finden mancher Beweise Unsummen an Geld ausgelobt werden.

Für mich als blutigen Laien ergibt sich daraus die Schlussfolgerung, dass es "solche und solche Beweise" geben muss, leichte und schwere.

Wobei ich mich frage, welchen "praktischen Nutzen" Beweise haben.
Außer vielleicht: Man braucht gar nicht erst etwas versuchen, wenn bereits bewiesen ist, dass es nicht funktioniert (z.B. sein Leben mit dem Bau eines Pepetuum Mobile zu verbringen - aber das gehört wohl eher in das Gebiet der Physik)      


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Bezug
Beweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:08 Mo 28.08.2017
Autor: HJKweseleit

Ein mathematischer Beweis stellt sicher, dass eine mathematische Aussage für alle Zeiten richtig ist, weil er von einer Voraussetzung durch logische Schlüsse zu dem gewünschten Ergebnis kommt.

Das setzt aber voraus, dass er logisch korrekt durchgeführt wird. Wenn er einen Fehler enthält, ist er wertlos und beweist gar nichts. Die Aussage kann dann falsch oder trotzdem richtig sein.

Und wenn man erst nach Jahren in einem Beweis, den schon zig Leute wiederholt haben, einen logischen Fehler entdeckt, beweist das nur, das eben genau das passiert ist, was du kritisierst: Alle wiederholen nur das, was schon viele vor ihnen gemacht haben. Aber warum hat dann nicht einer den Fehler bemerkt?

Es gibt Beweise, die so schwierig sind, dass man ihre Struktur nicht recht durchschaut und glaubt, alles bedacht zu haben, aber man hat doch etwas übersehen. Hier ein typisches Beispiel:

Behauptung: Es gibt unendlich viele Primzahlen.

Beweis: Wir nehmen an, es gäbe nur endlich viele Primzahlen [mm] p_1
[mm] x=p_1*p_2*p_3...*p_n. [/mm] Diese Zahl x kann man durch alle existierenden Primzahlen ohne Rest teilen.

Nun betrachten wir die Zahl z=x+1. Sie ist sicher größer als die letzte Primzahl [mm] p_n [/mm] ( weil [mm] p_1=2 [/mm] ist mindestens doppelt so groß) und damit keine der existierenden Primzahlen. Diese Zahl lässt jetzt aber beim teilen durch eine der Primzahlen jeweils den Rest 1. Sie ist also durch keine der existierenden Primzahlen teilbar, also nicht aus ihnen zusammengesetzt und damit selber eine Primzahl.

Also gibt es doch noch eine Primzahl mehr als angenommen. Nehmen wir diese noch hinzu, können wir den Beweis wiederholen und noch eine weitere Primzahl finden usw.

Alles richtig, aber der Beweis enthält einen logischen Fehler. Siehst du ihn? Das ganze ist doch sehr übersichtlich...

Bezug
                
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Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:58 Mo 28.08.2017
Autor: rabilein1


> Behauptung: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
>  
> Beweis: Wir nehmen an, es gäbe nur endlich viele
> Primzahlen [mm]p_1
> letzten Primzahl [mm]p_n[/mm] wären zusammengesetzt. Dann bilden
> wir die Zahl
>
> [mm]x=p_1*p_2*p_3...*p_n.[/mm] Diese Zahl x kann man durch alle
> existierenden Primzahlen ohne Rest teilen.
>  
> Nun betrachten wir die Zahl z=x+1. Sie ist sicher größer
> als die letzte Primzahl [mm]p_n[/mm] ( weil [mm]p_1=2[/mm] ist mindestens
> doppelt so groß) und damit keine der existierenden
> Primzahlen. Diese Zahl lässt jetzt aber beim teilen durch
> eine der Primzahlen jeweils den Rest 1. Sie ist also durch
> keine der existierenden Primzahlen teilbar, also nicht aus
> ihnen zusammengesetzt und damit selber eine Primzahl.
>  
> Also gibt es doch noch eine Primzahl mehr als angenommen.
> Nehmen wir diese noch hinzu, können wir den Beweis
> wiederholen und noch eine weitere Primzahl finden usw.
>  
> Alles richtig, aber der Beweis enthält einen logischen
> Fehler. Siehst du ihn? Das ganze ist doch sehr
> übersichtlich...


Mir fällt dabei auf, dass du "nur" [mm]x=p_1*p_2*p_3...*p_n.[/mm] berücksichtigst,
aber nicht z.B.  [mm]y=p_1*p_2*p_2*p_2*p_3...*p_n.[/mm].

Auch dein x+1 könnte durch Mehrfach-Multiplikation eines Faktors entstanden sein und somit gar keine Primzahl sein.

Ich weiß nicht, ob du darauf hinaus wolltest.


Bezug
                        
Bezug
Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:36 Mo 28.08.2017
Autor: Al-Chwarizmi


Bezug
                        
Bezug
Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:40 Mo 28.08.2017
Autor: Al-Chwarizmi


>
> > Behauptung: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
>  >  
> > Beweis: Wir nehmen an, es gäbe nur endlich viele
> > Primzahlen [mm]p_1
> > letzten Primzahl [mm]p_n[/mm] wären zusammengesetzt. Dann bilden
> > wir die Zahl
> >
> > [mm]x=p_1*p_2*p_3...*p_n.[/mm] Diese Zahl x kann man durch alle
> > existierenden Primzahlen ohne Rest teilen.
>  >  
> > Nun betrachten wir die Zahl z=x+1. Sie ist sicher größer
> > als die letzte Primzahl [mm]p_n[/mm] ( weil [mm]p_1=2[/mm] ist mindestens
> > doppelt so groß) und damit keine der existierenden
> > Primzahlen. Diese Zahl lässt jetzt aber beim teilen durch
> > eine der Primzahlen jeweils den Rest 1. Sie ist also durch
> > keine der existierenden Primzahlen teilbar, also nicht aus
> > ihnen zusammengesetzt und damit selber eine Primzahl.
>  >  
> > Also gibt es doch noch eine Primzahl mehr als angenommen.
> > Nehmen wir diese noch hinzu, können wir den Beweis
> > wiederholen und noch eine weitere Primzahl finden usw.
>  >  
> > Alles richtig, aber der Beweis enthält einen logischen
> > Fehler. Siehst du ihn? Das ganze ist doch sehr
> > übersichtlich...
>
>
> Mir fällt dabei auf, dass du "nur" [mm]x=p_1*p_2*p_3...*p_n.[/mm]
> berücksichtigst,
> aber nicht z.B.  [mm]y=p_1*p_2*p_2*p_2*p_3...*p_n.[/mm].


Um zu zeigen, dass die Menge  $\ P\ =\ [mm] \{p_1,p_2,p_3, ..... ,p_n\}$ [/mm]  nicht alle Primzahlen enthalten kann, würde es genügen, eine einzige natürliche Zahl q  vorzulegen, welche in der Menge P nicht vorkommt und nachweislich eine Primzahl ist.  So etwas wie dein Produkt y (und andere aus den [mm] p_i [/mm] gebildete Produkte) sind deshalb gar nicht nötig, wenn wir schon mittels x  zu einem solchen Ziel kommen können.

> Auch dein x+1 könnte durch Mehrfach-Multiplikation eines
> Faktors entstanden sein und somit gar keine Primzahl sein.

Genau. Die Zahl $\ z:=\ x+1\ =\ [mm] p_1*p_2*p_3...*p_n$ [/mm]  muss nicht unbedingt eine Primzahl sein.  Falls es aber keine ist, so muss sie (das wird anderweitig bewiesen) in Primfaktoren zerlegbar sein. Keiner dieser Primfaktoren von z  kann aber schon in P enthalten sein - also gibt es (mindestens eine) "neue" Primzahl, die in P noch nicht verzeichnet war.

Ein kleines Rechenbeispiel zum Schluss:

Sei P die Menge der ersten 7 Primzahlen:

     $\ P\ =\ [mm] \{2,3,5,7,11,13,17 \}$ [/mm]

Der dazu berechnete Wert von z   wäre   $\ z\ =\ 2*3*5*7*11*13*17+1\ =\ 510511$

Diese Zahl ist keine Primzahl, sie lässt sich in Faktoren zerlegen:

$\ 510511\ =\ 19*97*277$

Diese drei Faktoren sind Primzahlen, welche die in P enthaltenen Primzahlen übertreffen.

LG ,   Al

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Beweise: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:50 Mo 28.08.2017
Autor: X3nion


> Genau. Die Zahl [mm]\ z:=\ x+1\ =\ p_1*p_2*p_3...*p_n[/mm]  muss
> nicht unbedingt eine Primzahl sein.  Falls es aber keine
> ist, so muss sie (das wird anderweitig bewiesen) in
> Primfaktoren zerlegbar sein. Keiner dieser Primfaktoren von
> z  kann aber schon in P enthalten sein - also gibt es
> (mindestens eine) "neue" Primzahl, die in P noch nicht
> verzeichnet war.



Hallo!
Hier muss ich des Verständnisses halber kurz nachhaken beim Punkt:
"Keiner der Primfaktoren kann bereits in P:= [mm] \{p_{1}, p_{2}, ..., p_{n}\} [/mm] enthalten sein"

Ist es, weil [mm] p_{1} [/mm] x teilt und es ein Widerspruch wäre, wenn [mm] p_1 [/mm] auch x+1 teilen würde, da eine Zahl a nicht Teiler einer Zahl b und gleichzeitig des Nachfolgers von b sein kann?
Denn dies würde ja bedeuten, dass b und b+1 durch a ohne Rest teilbar wären, was ja nicht funktionieren kann.

Und dies gilt für alle [mm] p_{1}, p_{2}, [/mm] ..., [mm] p_{n} [/mm] und deshalb kann keiner dieser Primzahlen Teiler von x+1 sein?


Viele Grüße,
X3nion

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Beweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:56 Mo 28.08.2017
Autor: leduart

Hallo
ja wenn n durch k teilbar ist, ist n+1 nicht durch k teilbar
k|n heisst n=k*m ->n+1=k*m+1 d. h die Division lässt einen Rest von 1. jede Division, die einen Rest <k lässt sagt nicht teilbar. aber eigentlich war dir das ja klar. wieder dein fehlendes Selbsbewußsein bzw Selbstkontrolle. das musst du dringend ändern.

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Bezug
Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:49 Di 29.08.2017
Autor: X3nion


> Hallo
>   ja wenn n durch k teilbar ist, ist n+1 nicht durch k
> teilbar
> k|n heisst n=k*m ->n+1=k*m+1 d. h die Division lässt einen
> Rest von 1. jede Division, die einen Rest <k lässt sagt
> nicht teilbar. aber eigentlich war dir das ja klar. wieder
> dein fehlendes Selbsbewußsein bzw Selbstkontrolle. das
> musst du dringend ändern.

Ja da hast du Recht, das sollte ich ändern, wenn ich könnte :-)


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Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:05 Mi 30.08.2017
Autor: Marcel

Hallo Al,

> >
> > > Behauptung: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
>  >  >  
> > > Beweis: Wir nehmen an, es gäbe nur endlich viele
> > > Primzahlen [mm]p_1
> > > letzten Primzahl [mm]p_n[/mm] wären zusammengesetzt. Dann bilden
> > > wir die Zahl
> > >
> > > [mm]x=p_1*p_2*p_3...*p_n.[/mm] Diese Zahl x kann man durch alle
> > > existierenden Primzahlen ohne Rest teilen.
>  >  >  
> > > Nun betrachten wir die Zahl z=x+1. Sie ist sicher größer
> > > als die letzte Primzahl [mm]p_n[/mm] ( weil [mm]p_1=2[/mm] ist mindestens
> > > doppelt so groß) und damit keine der existierenden
> > > Primzahlen. Diese Zahl lässt jetzt aber beim teilen durch
> > > eine der Primzahlen jeweils den Rest 1. Sie ist also durch
> > > keine der existierenden Primzahlen teilbar, also nicht aus
> > > ihnen zusammengesetzt und damit selber eine Primzahl.
>  >  >  
> > > Also gibt es doch noch eine Primzahl mehr als angenommen.
> > > Nehmen wir diese noch hinzu, können wir den Beweis
> > > wiederholen und noch eine weitere Primzahl finden usw.
>  >  >  
> > > Alles richtig, aber der Beweis enthält einen logischen
> > > Fehler. Siehst du ihn? Das ganze ist doch sehr
> > > übersichtlich...
> >
> >
> > Mir fällt dabei auf, dass du "nur" [mm]x=p_1*p_2*p_3...*p_n.[/mm]
> > berücksichtigst,
> > aber nicht z.B.  [mm]y=p_1*p_2*p_2*p_2*p_3...*p_n.[/mm].
>
>
> Um zu zeigen, dass die Menge  [mm]\ P\ =\ \{p_1,p_2,p_3, ..... ,p_n\}[/mm]
>  nicht alle Primzahlen enthalten kann, würde es genügen,
> eine einzige natürliche Zahl q  vorzulegen, welche in der
> Menge P nicht vorkommt und nachweislich eine Primzahl ist.  
> So etwas wie dein Produkt y (und andere aus den [mm]p_i[/mm]
> gebildete Produkte) sind deshalb gar nicht nötig, wenn wir
> schon mittels x  zu einem solchen Ziel kommen können.
>
> > Auch dein x+1 könnte durch Mehrfach-Multiplikation eines
> > Faktors entstanden sein und somit gar keine Primzahl sein.
>  
> Genau. Die Zahl [mm]\ z:=\ x+1\ =\ p_1*p_2*p_3...*p_n[/mm]  muss
> nicht unbedingt eine Primzahl sein.  Falls es aber keine
> ist, so muss sie (das wird anderweitig bewiesen) in
> Primfaktoren zerlegbar sein. Keiner dieser Primfaktoren von
> z  kann aber schon in P enthalten sein - also gibt es
> (mindestens eine) "neue" Primzahl, die in P noch nicht
> verzeichnet war.

in Praxi sieht das genau so aus, wie Du es sagst. In der Theorie ist es aber
doch weniger kompliziert, und der Beweis war an sich nicht fehlerhaft:
Jede natürliche Zahl, die keine Primzahl ist, hat einen Primteiler. Das kann
man vorneweg beweisen und sollte auch nicht schwer sein.

Wenn nun [mm] $P=\{p_1,...,p_n\}$ [/mm] die n-elementige Menge aller Primzahlen ist,
so hat die Zahl

     [mm] $z=x+1=p_1*...*p_n+1$ [/mm]

(Man beachte: Wegen $z > [mm] p_\ell$ [/mm] für alle [mm] $\ell=1,...,n$ [/mm] ist $z [mm] \notin [/mm] P$. Übrigens kann
man auch o.E. [mm] $p_1=2 [/mm] < [mm] p_2 [/mm] < [mm] p_3 [/mm] < ... < [mm] p_n$ [/mm] annehmen, dann gilt natürlich
$z > [mm] p_n$ [/mm] und auch damit ist $z [mm] \notin [/mm] P$ klar.)


mit Sicherheit auch einen Primteiler, wenn sie keine Primzahl ist. Also gibt
es ein $j [mm] \in \{1,...,n\}$ [/mm] mit [mm] $p_{j} \mid [/mm] z$ bzw. $z [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \mod p_j$. [/mm]

Wegen $z [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \mod p_\ell$ [/mm] für [mm] $\ell=1,...,n$ [/mm] kann das aber nicht sein!

Übrigens eine kleine Sache: Ein Beweis kann auch einen Fehler enthalten,
und trotzdem richtig sein - nämlich, wenn der Fehler gar nicht entscheidend
für den Beweis ist. ;-)
[Ich hatte mal einen formalen Fehler gesehen, der sich zusammen mit einem
anderen formalen Fehler zu einer richtigen Aussage ergänzte, die für den
Beweis gebraucht wurde. Die "Herleitung" dieser Aussage musste natürlich
korrigiert werden, aber der Beweis an sich war stimmig; das zeigte sich,
nachdem die andere Aussage auch anderweitig korrekt bewiesen werden
konnte!]

Und was rabilein hier noch nicht sieht: Man lernt, nach gewissen Schemata
zu denken. Damit erarbeitet man sich Prinzipien, um neue Aufgaben zu
lösen. Beweise werden immer so als "und wir hatten nun die Erkenntnis,
die wollen wir auch belegen" verkauft.
In Praxi ist es eher so, dass man eine Aufgabe/ein Anliegen hat, und dann
guckt, wie man diese am Schnellsten/am Effizientesten löst. Oder wie man
andere Erkenntnisse verbraten kann.

Ein einfaches Beispiel:
Die Summe der ersten n natürlichen Zahlen heiße [mm] $s:=s_n$. [/mm]
Klar:
(A)    $1+2+...+n = s$

Ebenfalls klar:

(B)     $n+(n-1)+...+2+1=s$

(A)+(B):

    [mm] $\{1+n\}+\{2+(n-1)\}+...+\{(n-1)+2\}+\{n+1\}=s+s$ [/mm]

Okay: $2s=n*(n+1)$ (das Klammernpaar [mm] $\{\}$ [/mm] kommt n Mal vor und enthält immer n+1 als Wert)

Das war jetzt der "spielerische" Weg.

Formaler schreibt man dann etwa (Kommutativität der Addition genutzt)

    [mm] $2s=\left(\sum_{k=1}^n k\right)+\sum_{\ell=1}^n [/mm] (n+1-l)$

    [mm] $=\sum_{k=1}^n (k+n+1-k)=\sum_{k=1}^n (n+1)=n*(n+1)\,.$ [/mm]

Man macht im Prinzip das gleiche, man versteckt es nur ein wenig. Und man
sagt vor dem Beweis auch schon, was man beweisen will. Was man
natürlich hier durchaus "mit iterativen Tests" hätte herleiten können.
Und die Formel auch etwa per Induktion beweisen können (und gerade
Beweise per Induktion sind nicht selten solche, bei der man erstmal etwas
"erraten" muss, was man dann zu beweisen versucht... insbesondere
Ungleichungen...).

P.S. Mir gefällt Dein Beweis, dass es nicht unendlich viele Primzahlen gibt,
dennoch besser, da er einfach etwas ist, was man "in Praxi" "sieht".
Bei meinem braucht man erstmal die (leicht zu beweisende) Aussage, dass
jede natürliche Zahl, die keine Primzahl ist, wenigstens einen Primteiler hat
und der Rest ist dann nur ein "rein theoretisches Argument", was in Praxi
nicht wirklich sichtbar sein wird.
Nichtsdestotrotz reicht das, um zu zeigen, dass es unendlich viele
Primzahlen gibt (den Beweis findet man auf den ersten Seiten von
Müller-Stach/Piontkowski: Elementare und algebraische Zahlentheorie).

Gruß,
  Marcel

Bezug
                        
Bezug
Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:40 Mo 28.08.2017
Autor: HJKweseleit


>
> > Behauptung: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
>  >  
> > Beweis: Wir nehmen an, es gäbe nur endlich viele
> > Primzahlen [mm]p_1
> > letzten Primzahl [mm]p_n[/mm] wären zusammengesetzt. Dann bilden
> > wir die Zahl
> >
> > [mm]x=p_1*p_2*p_3...*p_n.[/mm] Diese Zahl x kann man durch alle
> > existierenden Primzahlen ohne Rest teilen.
>  >  
> > Nun betrachten wir die Zahl z=x+1. Sie ist sicher größer
> > als die letzte Primzahl [mm]p_n[/mm] ( weil [mm]p_1=2[/mm] ist mindestens
> > doppelt so groß) und damit keine der existierenden
> > Primzahlen. Diese Zahl lässt jetzt aber beim teilen durch
> > eine der Primzahlen jeweils den Rest 1. Sie ist also durch
> > keine der existierenden Primzahlen teilbar, also nicht aus
> > ihnen zusammengesetzt und damit selber eine Primzahl.
>  >  
> > Also gibt es doch noch eine Primzahl mehr als angenommen.
> > Nehmen wir diese noch hinzu, können wir den Beweis
> > wiederholen und noch eine weitere Primzahl finden usw.
>  >  
> > Alles richtig, aber der Beweis enthält einen logischen
> > Fehler. Siehst du ihn? Das ganze ist doch sehr
> > übersichtlich...
>
>
> Mir fällt dabei auf, dass du "nur" [mm]x=p_1*p_2*p_3...*p_n.[/mm]
> berücksichtigst,
> aber nicht z.B.  [mm]y=p_1*p_2*p_2*p_2*p_3...*p_n.[/mm].

Das muss ich auch gar nicht. Ich will ja nur beweisen, dass man immer, wenn man n Primzahlen gefunden hat, noch mindestens eine weitere findet. Ob es noch mehr gibt, ist egal.



>
> Auch dein x+1 könnte durch Mehrfach-Multiplikation eines
> Faktors entstanden sein und somit gar keine Primzahl sein.
>  
> Ich weiß nicht, ob du darauf hinaus wolltest.

Genau das. So ist z.B. 2*3+1=7 eine Primzahl, 2*3*5+1 ebenfalls ... , aber 2*3*5*7*11*13+1=30031=59*509 keine. Deshalb muss der Beweis richtig heißen:


... Sie ist also durch keine der existierenden Primzahlen teilbar, also nicht aus ihnen zusammengesetzt und damit selber eine Primzahl oder das Produkt von Primzahlen, die noch nicht zu den bisherigen gehören. Also gibt es doch noch eine Primzahl mehr als angenommen.

Jetzt ist der Beweis vollständig und richtig.


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Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:06 Mo 28.08.2017
Autor: rabilein1


> Behauptung: Es gibt unendlich viele Primzahlen.

>  2*3*5*7*11*13 + 1 = 30031 = 59*509

> Jetzt ist der Beweis vollständig und richtig.


Eines ist mir trotzdem nicht klar:  
Warum  man aus einem Phänomen, das "im kleinen Bereich" existiert  
2*3*5*7*11*13 + 1 = 30031 = 59*509
(kleine Prim * kleine Prim ... +1 = große Prim * große Prim ... )
darauf schließen kann, dass dieses Phänomen auch "im großen Bereich" / "im Unendlichen" auftritt.

"Rein intuitiv" würde ich das zwar auch denken, aber was bedeutet "Beweis"?    

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Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:51 Mo 28.08.2017
Autor: leduart

Hallo
insbesondere  in der Schule sollte man den Beweis für die unendlich vielen Primzahlen nicht so unvorbereitet machen.
schöner ist, wenn ich irgendeine Anzahl von Primzahlen habe, sie multipliziere, dann finde ich einen neue, entweder das Produkt +1 oder eine  (oder mehrere )Primzahl, die nicht unter den gegebenen ist
2*3*5+1 ist  prim aber 3*5*7+1 ist nicht Primzahlen  aber ich hab die neue Primzahl 2 entdeckt.
so kann man  Schüler mit endlichen Anzahlen von Primzahlen experimentieren lassen und dann erst den Beweis für die nicht endende Reihe selbst finden lassen ohne den häufigen Fehler.

Rabilein: Ausserdem, es tritt ja nicht bei unendlich vielen auf, man zeigt nur, dass es keine größte gibt, und das heisst dann es gibt beliebig viele, kurz unendlich viele. Und das ist wirklich ein Beweis.(durch Widerspruch)
Gruß leduart

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Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:21 Mo 28.08.2017
Autor: rabilein1

Gibt es denn ein Verfahren - außer "probieren" -, wie man die nächsthöhere Primzahl findet?

Also beispielsweise: Welches ist die nächste Primzahl nach 583.650.275.920 ?  (wobei die Zahl selbst natürlich nicht Prim ist)  

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Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:33 Di 29.08.2017
Autor: HJKweseleit


> > Behauptung: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
>  
> >  2*3*5*7*11*13 + 1 = 30031 = 59*509

>
> > Jetzt ist der Beweis vollständig und richtig.
>  
>
> Eines ist mir trotzdem nicht klar:  
> Warum  man aus einem Phänomen, das "im kleinen Bereich"
> existiert  
> 2*3*5*7*11*13 + 1 = 30031 = 59*509
> (kleine Prim * kleine Prim ... +1 = große Prim * große
> Prim ... )
>  darauf schließen kann, dass dieses Phänomen auch "im
> großen Bereich" / "im Unendlichen" auftritt.

Nein, entweder ist die neue Zahl eine Primzahl ODER aus noch nicht bekannten Primzahlen zusammengesetzt. Es kann sein, dass der 2. Fall ab irgendwann gar nicht mehr auftritt, das interessiert uns aber gar nicht, weil wir dann den 1. Fall haben.


>
> "Rein intuitiv" würde ich das zwar auch denken, aber was
> bedeutet "Beweis"?    




Der Beweis bedeutet:

Wenn jemand behauptet, dass die Primzahlen irgendwann "zu Ende gehen", sprich: jetzt kommt keine mehr, kann man dies widerlegen. Dann kann es nur endlich viele geben. Sagen wir mal 421315 Stück. Mehr nicht. (Natürlich kann die Zahl auch anders lauten.) Die multipliziert man miteinander und zählt 1 hinzu. Diese neue Zahl aber lässt sich durch keine der 421315 Primzahlen teile, weil immer der Rest 1 bleibt. Also ist sie selber eine (NEUE) Primzahl, ODERr sie ist durch eine andere Primzahl, die nicht zu den 421315 gehört, teilbar. Also gibt es mindestens eine weitere Primzahl. Auf deutsch: Egal, wie viele Primzahlen du schon kennst, du kannst daraus immer noch wieder eine neue konstruieren, die noch nicht dazu gehört. Also gibt es unendlich viele. Und das gilt auch "im Unendlichen".

Genau so beweist man auch: Zwischen den Primzahlen kann es beliebig große Lücken geben. Sagen wir mal: Nach einer bestimmten Primzahl kommen mindestens eine Millionen Zahlen, die keine Primzahl sind.

Beweis für dieses Beispiel:

Bilde das Produkt x=1000001!=1*2*3*4...*1000001.
von x+1 wissen wir nichts (es sei denn, wir rechnen nach).
x+2 ist teilbar durch 2, da x und 2 teilbar durch 2 sind.
x+3 ist teilbar durch 3, da x und 3 teilbar durch 3 sind.
x+4 ist teilbar durch 4, da x und 4 teilbar durch 4 sind.
x+5 ist teilbar durch 5, da x und 5 teilbar durch 5 sind.
x+6 ist teilbar durch 6, da x und 6 teilbar durch 6 sind.
...
x+1000001 ist teilbar durch 1000001, da x und 1000001 teilbar durch 1000001 sind.

Wir haben somit 1000000 Zahlen hintereinander, die keine Primzahl sein können. Ob die davor oder danach eine ist, wissen wir nicht, wenn wir nicht nachrechnen. Das ist auch nicht wichtig, da die Lücke mindestens und nicht genau  1000000 Zahlen umfassen soll.

Statt 1000000 kannst du das mit jeder beliebigen Zahl machen, und das gilt dann auch wieder "im Unendlichen".

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Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:04 Mi 30.08.2017
Autor: rabilein1


> Genau so beweist man auch:
> Zwischen den Primzahlen kann es  beliebig große Lücken geben
> Sagen wir mal: Nach einer bestimmten Primzahl kommen mindestens eine Millionen Zahlen, die keine Primzahl sind.
>  
> Beweis für dieses Beispiel:
>  
> Bilde das Produkt x=1000001!=1*2*3*4...*1000001.
>  von x+1 wissen wir nichts (es sei denn, wir rechnen
> nach).
>  x+2 ist teilbar durch 2, da x und 2 teilbar durch 2 sind.
>  x+3 ist teilbar durch 3, da x und 3 teilbar durch 3 sind.
>  ...
>  x+1000001 ist teilbar durch 1000001, da x und 1000001 teilbar durch 1000001 sind.
>  
> Wir haben somit 1000000 Zahlen hintereinander, die keine Primzahl sein können.


Danke. Das ist eine gute, verständliche Erklärung.
(Inwieweit eine "Erklärung" - nur weil sie auch einem Laien wie mir einleuchtet - als "Beweis" anerkannt wird, kann ich allerdings nicht beurteilen)


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Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:58 Mi 30.08.2017
Autor: HJKweseleit

Ich nenne das mal "Beweis durch Beispiel".

An manchen Beispielen erkennt man sofort den Beweis für diesen Fall und auch, dass man das für jede andere Zahl genau so durchführen kann.

Eigentlich müsste man das abstrakt tun, damit es allgemein ist, aber der Beweis wäre dann in vielen Fällen schwerer nachvollziehbar.

Die Gültigkeit eines Beweises hängt nicht davon ab, ob ein Laie oder ein Fachmann ihn versteht. Die schönsten Beweise sind die, die jeder verstehen kann...

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Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:01 Mi 30.08.2017
Autor: fred97


>  Die schönsten
> Beweise sind die, die jeder verstehen kann...

Ach ja .. ?

Zufällig habe ich gerade den genialen und schönen Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf vor mir. Genial und schön deswegen, weil hier ein Anfangswertproblem in eine Integralgleichung umgeschrieben wird, diese Integralgleichung führt auf einen Kontraktionsoperator auf einem geeigneten Banachraum und  auf diesen Operator lässt man den Fixpunktsatz von Banach los. Dies alles liefert dann, dass das Anfangswertproblem genau eine Lösung hat.

Mit Verlaub und ohne Überheblichkeit: diesen Beweis versteht nicht jeder (Laie).


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Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:56 Mi 30.08.2017
Autor: rabilein1


> Zufällig habe ich gerade den genialen und schönen Beweis
> des Satzes von Picard-Lindelöf vor mir. Genial und schön
> deswegen, weil hier ein Anfangswertproblem in eine
> Integralgleichung umgeschrieben wird, diese
> Integralgleichung führt auf einen Kontraktionsoperator auf
> einem geeigneten Banachraum und  auf diesen Operator lässt
> man den Fixpunktsatz von Banach los. Dies alles liefert
> dann, dass das Anfangswertproblem genau eine Lösung hat.
>  
> Mit Verlaub und ohne Überheblichkeit: diesen Beweis
> versteht nicht jeder (Laie).

Allein um viele der oben genannten Begriffe zu verstehen, müsste ein Laie diese erst einmal googlen:  
Satz von Picard-Lindelöf
Anfangswertproblem
Integralgleichung
Kontraktionsoperator
Banachraum
Operator
Fixpunktsatz

Sicherlich gibt es dann bei der Definition jedes dieser Begriff wieder neue unbekannte Begriffe, die wiederum gegoogelt werden müssen. Und dabei wieder neue Begriffe, die abermals gegoogelt werden...  

Und am Ende fragt ich der Laie, worum es eigentlich geht.
Vor allem aber fragt sich der Laie, wie die Lösung des Problems ihm in seinem normalen Alltag hilft, was ja immer die Kernfrage ist, weil man sich ansonsten mit dem Problem nur um seiner selbst willen beschäftigen würde.

Und genau das meine ich oft: Es steckt (angeblich) überall eine Menge Mathematik drin. Nur ist das für den Laien oft nicht erkennbar, weil in der Mathematik Begriffe verwendet werden, die in der Alltagssprache des Laien nicht vorkommen.  
  


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Beweise: weitergoogeln
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:04 Mi 30.08.2017
Autor: rabilein1

  
> Sicherlich gibt es dann bei der Definition jedes dieser
> Begriff wieder neue unbekannte Begriffe, die wiederum
> gegoogelt werden müssen. Und dabei wieder neue Begriffe,
> die abermals gegoogelt werden...  

Um diesen Satz zu beweisen untermauern, googelte ich "Kontraktionsoperator" und fand unter anderem den Satz:

"Eine Teilmenge U eines normierten Raumes X heißt  abgeschlossen, wenn sie alle Grenzelemente konvergenter Folgen aus U enthält."

Und nun könnte ich weitergoogeln:
normierter Raum
Grenzelement
konvergente Folgen



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Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:14 Mi 30.08.2017
Autor: derbierbaron

Hallo,

das kann man bei vielen esoterisch wirkenden Beweisen nicht einfach so sagen, dass sie wie in der Philosophie oftmals einfach nur um ihretwillen gemacht werden (bei einigen sicher). Was jetzt noch keine Anwendung findet, findet vielleicht in 200 Jahren eine. Ist schon oft passiert (siehe Lie Gruppen usw.), manchmal dann auch nur um andere Dinge zu beweisen (Teichmüller Theorie).  

Es gibt schon einige verschiedene "Klassen" von Beweisen, und man merkt auch sofort von den Art der Antworten der User hier, wer was macht im echten Leben. Zbsp fred97 Analysis, leduart (theor.) Physik+Analysis (aber weniger gut als fre97) also ist er wahrscheinlich theoretischer Physiker usw.

Man könnte übrigens jeden Beweis auch in Laiensprache schreiben, dann wird er einfach 1000 Seiten lang und unübersichtlich.




Gruss DBb (Knirps ohne Ahnung)

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Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:53 Mi 30.08.2017
Autor: rabilein1


> Man merkt auch sofort von den Art der Antworten der
> User hier, wer was macht im echten Leben.
> Z.B. fred97 Analysis, leduart (theor.) Physik+Analysis (aber weniger
> gut als fre97). Also ist er wahrscheinlich theoretischer Physiker usw.

Bei einigen Usern habe ich den Eindruck, dass sie zu nahezu jedem Thema etwas zu sagen haben. Das wundert mich manchmal schon. Auch wenn jemand Arzt ist, wird er sich nicht gleichzeitig in Gynokologie und Kardiologie bestens auskennen. Oder ist das bei Mathematik anders?


> Man könnte übrigens jeden Beweis auch in Laiensprache
> schreiben, dann wird er einfach 1000 Seiten lang und unübersichtlich.

Beweise sind sicherlich nicht für Laien geschrieben. Es wäre nur manchmal schön, wenn in kurzer verständlicher Form gesagt würde, worum es eigentlich im Kern geht.

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Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:09 Mi 30.08.2017
Autor: derbierbaron

Es gibt halt Bereiche, die sollte jeder Mathematiker (und theor. Physiker) sattelfest beherrschen: lineare Algebra, Analysis (grundlegende), einiges aus der Algebra usw. halt alles was so anfällt im Grundstudium.
Aber wenn du guckst, wer zBsp. bei spezialisierteren Fragestellung (zum Beispiel aus der Kryptographie) antwortet, dann sind das meistens Leute, die bei spezifischen Fragen aus der zBsp. Funktionalanalysis nicht antworten. Dann gibt es auch noch Lehrer (Sek, Gymnasial), die Analysis und Lineare Algebra beherrschen, aber auch vom Beantworten von (meistens) "komplexeren" Beweisen absehen.  

Ob das jetzt daran liegt dass die anderen kein Interesse daran haben, oder ob sie es nicht können, weiss ich natürlich nicht. Aber ich vermute Mal, dass schon die erste Spezialisierung ist für Mathematiker : Richtung Analysis oder Richtung Algebra (oder Richtung Numerik/angewandten Sachen).

Aber ein Profi kann dir sicher mehr dazu sagen als ich.


Gruss DBb (Knirps ohne Ahnung)

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Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:32 Mi 30.08.2017
Autor: Marcel

Hallo,

> > Zufällig habe ich gerade den genialen und schönen Beweis
> > des Satzes von Picard-Lindelöf vor mir. Genial und schön
> > deswegen, weil hier ein Anfangswertproblem in eine
> > Integralgleichung umgeschrieben wird, diese
> > Integralgleichung führt auf einen Kontraktionsoperator auf
> > einem geeigneten Banachraum und  auf diesen Operator lässt
> > man den Fixpunktsatz von Banach los. Dies alles liefert
> > dann, dass das Anfangswertproblem genau eine Lösung hat.
>  >  
> > Mit Verlaub und ohne Überheblichkeit: diesen Beweis
> > versteht nicht jeder (Laie).
>  
> Allein um viele der oben genannten Begriffe zu verstehen,
> müsste ein Laie diese erst einmal googlen:  
> Satz von Picard-Lindelöf
>  Anfangswertproblem
>  Integralgleichung
>  Kontraktionsoperator
>  Banachraum
>  Operator
>  Fixpunktsatz

deswegen werden Mathematikbücher auch anders geschrieben. Man
beginnt mit Definitionen und dann kommen "erste Erkenntnisse", und dann
"weitere Erkenntnisse" (unter Verwendung der ersten Erkenntnisse und
anderen Erkenntnisse, die man eventuell schon gelernt haben muss) usw.
Kennst Du aber auch aus der Schule: Wer das kleine Einmaleins noch nicht
kann, der braucht sich mit Kurvendiskussion wohl eher nicht in Praxi zu
befassen.
Achja: Was ist denn überhaupt eine Funktion und ein Funktionsgraph? Wir
wollen dabei ja "Funktionen ableiten" und vieles anhand von "Graphen"
"veranschaulichen".

> Sicherlich gibt es dann bei der Definition jedes dieser
> Begriff wieder neue unbekannte Begriffe, die wiederum
> gegoogelt werden müssen. Und dabei wieder neue Begriffe,
> die abermals gegoogelt werden...  
>
> Und am Ende fragt ich der Laie, worum es eigentlich geht.
> Vor allem aber fragt sich der Laie, wie die Lösung des
> Problems ihm in seinem normalen Alltag hilft,

Nein, das muss nichts mit "dem normalen Alltag von irgendeinem" zu tun
haben. Ein Quantenphysiker hat vielleicht bspw. eine Idee für eine
Modellerweiterung und merkt, dass sich da vieles geschickt oder einfacher
mithilfe der Sprache der Funktionalanalysis umsetzen läßt. Und dabei merkt
er vielleicht auch (nochmal), dass die Algebra auch das ein oder andere
vereinfacht.

Manchmal kann es auch sein, dass sich manche Dinge einfach "kompakter"
darstellen lassen oder recheneffizienter sind, oder es überhaupt erst
ermöglichen, manches sinnvoll mit dem Computer berechnen zu lassen.
Denke an periodische Funktionen und Fourierkoeffizienten...

> was ja immer
> die Kernfrage ist, weil man sich ansonsten mit dem Problem
> nur um seiner selbst willen beschäftigen würde.

Auch das kann interessant sein. So bringe ich mir immer mal wieder ein
wenig Algebra, Zahlentheorie und Kryptografie bei. Zwar nur rudimentär
und eigentlich viel zu langsam, aber ich habe eigentlich keine konkrete
Anwendung dafür, außer, dass ich mal das Wissen irgendwann habe und
es vielleicht doch mal gebrauchen könnte. Es interessiert mich einfach. ;-)

> Und genau das meine ich oft: Es steckt (angeblich) überall
> eine Menge Mathematik drin. Nur ist das für den Laien oft
> nicht erkennbar, weil in der Mathematik Begriffe verwendet
> werden, die in der Alltagssprache des Laien nicht
> vorkommen.  

In jedem Computer stecken heutzutage Unmengen von Mathematik mit
drin. Und irgendwie steckt heutzutage fast überall ein Computer mit
drin. ;-)

Gruß,
  Marcel

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Beweise: Eigenes Interesse
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:12 Do 31.08.2017
Autor: rabilein1


> Auch das kann interessant sein. So bringe ich mir immer mal wieder ein
> wenig Algebra, Zahlentheorie und Kryptografie bei. Zwar nur rudimentär
>  und eigentlich viel zu langsam, aber ich habe eigentlich keine konkrete
> Anwendung dafür, außer, dass ich mal das Wissen irgendwann habe und
> es vielleicht doch mal gebrauchen könnte. Es interessiert mich einfach. ;-)

Das könnte man so über jedes "Hobby" sagen.

Insofern hat auch keiner meiner Beiträge im Matheraum einen "tieferen Sinn", sprich einen "Nutzen für mich".  


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Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:24 Do 31.08.2017
Autor: Marcel

Hallo,

>
> > Auch das kann interessant sein. So bringe ich mir immer mal
> wieder ein
> > wenig Algebra, Zahlentheorie und Kryptografie bei. Zwar nur
> rudimentär
>  >  und eigentlich viel zu langsam, aber ich habe
> eigentlich keine konkrete
> > Anwendung dafür, außer, dass ich mal das Wissen
> irgendwann habe und
> > es vielleicht doch mal gebrauchen könnte. Es interessiert
> mich einfach. ;-)
>  
> Das könnte man so über jedes "Hobby" sagen.
>
> Insofern hat auch keiner meiner Beiträge im Matheraum
> einen "tieferen Sinn", sprich einen "Nutzen für mich".  

dann unterschätzt Du den Wert dieses "Hobbys". Nur, weil es momentan
ja für mich keinen erkennbaren Nutzen hat, heißt das ja nicht, dass es
nicht vielleicht irgendwann mal einen Nutzen haben wird.

Einfaches Beispiel: [mm] $\pi$ [/mm] dient zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Kreises.
Aber auch zur Umfangberechnung. Wenn ich nun die Anzahl der Umdrehungen
eines Reifens kenne, und den Radius, kann ich mit dieser Anzahl berechnen,
welche Strecke der Reifen zurückgelegt hat.

Natürlich kann es jetzt mehrere Ideen gegeben haben, wie man drauf kam,
dass man diese Zahl [mm] $\pi$ [/mm] "braucht"/gebrauchen kann.
Ein Physiker hatte vielleicht genau die Idee: Er nahm einen Reifen und hat
gemessen, welche Strecke dieser nach einer Umdrehung hinter sich
gebracht hat und hat gesagt: Strecke ist proportional zum Radius (oder
Durchmesser).

Jemand anderes wollte vielleicht, weil er viele Wände mit Kreisen bemalen
wollte, wissen, wieviel Farbe er im Idealfall benötigt und hat dann dafür
den Flächeninhalt eines jeden Kreises berechnen wollen.

Irgendjemand fand es einfach cool, herauszufinden, wie man Umkreis und
Flächeninhalt eines Kreises wohl "perfekt" berechnen kann... und das war
vielleicht sein Hobby.

Vielleicht übte der letzte zuerst einfach sein Hobby aus, und dann kam der
Physiker zu ihm, weil er den Zusammenhang zu seiner Aufgabe aus
irgendeinem Grund erkannte, und nutzte dann sein Wissen für seine
konkrete Fragestellung.

Es gibt viele Vorgehensweisen: Aus der Praxis heraus zu theoretischen
Fragestellungen gehen, oder die Ergebnisse der Theorie in Praxi anwenden
oder oder oder...

Es kann auch sein, dass Theorie und Praxis sich in einer gemeinsamen
Fragestellung "treffen" und sich dann erst ein wirklich gutes Zusammenspiel
entwickelt.

P.S. Ich bin übrigens manchmal auch froh, dass viele Pizzerien/Pizzalieferanten
gar nicht wissen, was sie eigentlich falsch machen, wenn sie den Preis
einer Pizza i.W. proportional zum Radius der Pizza festsetzen. ;-)

Gruß,
  Marcel

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Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:44 Do 31.08.2017
Autor: rabilein1


> Ich bin übrigens manchmal auch froh, dass viele Pizzerien/Pizzalieferanten
> gar nicht wissen, was sie eigentlich falsch machen, wenn  sie den Preis
> einer Pizza i.W. proportional zum Radius der Pizza festsetzen. ;-)

Das trifft nicht nur auf Pizzaboten zu.  

Ich habe neulich in Harvard Business gelesen, dass viele Manager nur lineares Wachstum kennen (... wenn ich doppelt so viel für Werbung ausgebe, dann mache ich doppelt so viel Umsatz und Gewinn ...) und deshalb oft Fehlentscheidungen treffen.



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Beweise: "Travelling Salesman Problem"
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:58 Mo 28.08.2017
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo rabilein

"Der dänische Mathematiker Keld Helsgaun hält seit 2013 den Rekord für die schnellste Rundroute durch 1,9 Millionen Städte auf der ganzen Erdkugel."

Ich kenne die Einzelheiten hinter diesem speziellen "Rekord" nicht. Es steckt allerdings ein berühmtes und auch für Laien leicht erklärbares mathematisches Problem dahinter, nämlich das sogenannte  []  "Problem des Handlungsreisenden".

Dieses kombinatorisch-topologische Problem ist vor allem aus theoretischen Gründen (eben etwa im Zusammenhang mit der  P / NP - Frage)  wichtig. Keld Helsgaun hat sich vor allem mit schnellen Computeralgorithmen beschäftigt, mit welchen man konkrete Aufgaben dieser Art möglicherweise nicht exakt, aber doch annähernd exakt lösen kann. Dabei wird vielleicht nicht der aller-aller-kürzeste Weg gefunden, aber doch solche Routen, die nur minimal "zu lang" und deshalb für praktische Zwecke allemal noch "gut genug" sind.
Das Beispiel mit den 1.9 Millionen Städten bzw. Ortschaften soll natürlich nur der anschaulichen Illustration der Komplexität der Aufgabe dienen und ist eher spielerisch gedacht.

LG ,   Al-Chwarizmi



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Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:42 Mo 28.08.2017
Autor: rabilein1


> Ich kenne die Einzelheiten hinter diesem speziellen
> "Rekord" nicht. Es steckt allerdings ein berühmtes und
> auch für Laien leicht erklärbares mathematisches Problem
> dahinter, nämlich das sogenannte "Problem des Handlungsreisenden"

Das wurde in dem ZEIT-Artikel auch so geschrieben.

Dabei ging es ferner darum, zu beweisen oder zu widerlegen, dass ein Computer-Algorithmus in annehmbarer Zeit den kürzesten Weg finden kann, unter der Bedingung, dass alle Orte angelaufen werden.  

Nun will der Bonner Mathematiker Norbert Blum angeblich bewiesen haben, dass [mm] P\not=NP [/mm]

Wenn das stimmt, dann bräuchte sich Keld Helsgaun gar nicht weiter zu bemühen, weil es die schnellen Computer-Algorithmen schlichtweg nicht gibt.

Von 116 Arbeiten, die sich mit der P-NP-Frage beschäftigten, ergaben übrigens
49: [mm] P\not=NP [/mm]
61: P=NP
6: unentschieden


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Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:55 Mo 28.08.2017
Autor: Al-Chwarizmi


> Von 116 Arbeiten, die sich mit der P-NP-Frage
> beschäftigten, ergaben übrigens
>  49: [mm]P\not=NP[/mm]
>  61: P=NP
>  6: unentschieden


Na, soweit kommt's noch, dass schwierige mathematische
(und physikalische?) Probleme durch Voting entschieden
werden, anstatt Millionen für Forschung zu investieren ...

LG ,   Al




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Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:09 Mo 28.08.2017
Autor: rabilein1


> > Von 116 Arbeiten, die sich mit der P-NP-Frage
> > beschäftigten, ergaben übrigens
>  >  49: [mm]P\not=NP[/mm]
>  >  61: P=NP
>  >  6: unentschieden
>
>
> Na, soweit kommt's noch, dass schwierige mathematische
> (und physikalische?) Probleme durch Voting entschieden
> werden, anstatt Millionen für Forschung zu investieren


Millionen für Forschung = Genau dass war der Grund, dass sich so viele an dem Problem versucht haben. Aber alle 116 Arbeiten enthielten irgendwelche Fehler.

Und ob es bei Beweisen auch ein "unentschieden" gibt, hmmmm, das wage ich jetzt mal zu bezweifeln.  

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Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:09 Mo 28.08.2017
Autor: ChopSuey

Hallo,

ich weiß nicht, ob das bei diesen 116 Beweisen ebenfalls der Fall war, aber ganz besonders die prominenten Probleme innerhalb der Mathematik (oder in diesem Fall der Informatik), auf die ein so hohes Preisgeld ausgesetzt ist, ziehen sehr oft "Nichtmathematiker" an, die dann irgendwelche Beweise meinen gefunden zu haben.

Und dann gibt es allerlei Beweise, die scheinbar sehr unverständlich und undurchsichtig geschrieben wurden, so dass keiner wirklich durchsteigt.

Und das scheint gerade das Besondere am Beweis von Norbert Blum zu sein. Er ist laut den Artikeln, die ich gelesen habe, sehr klar formuliert und greift auf erprobte Methoden zurück. Aber gerade deshalb sind ja auch einige skeptisch.

Ich denke, man darf gespannt sein.



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Beweise: Beweis wurde zurückgezogen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:34 So 03.09.2017
Autor: ChopSuey

Hallo,

Norbert Blum hat seinen Beweis zurückgezogen.

http://www.spektrum.de/news/der-angriff-auf-das-groesste-problem-der-informatik-ist-gescheitert/1498831

LG,
ChopSuey

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Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:51 So 03.09.2017
Autor: rabilein1

> Norbert Blum hat seinen Beweis zurückgezogen

Da bin ich mal gespannt, ob die ZEIT darüber genauso ausführlich berichten wird, wie über das Vorliegen des Beweises.
(oftmals sind Richtigstellungen einer ursprünglichen Sensationsmeldung ja nur einen Dreizeiler wert)


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Beweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:02 So 03.09.2017
Autor: Diophant

Hallo ChopSuey,

danke für die Information!

Gruß, Diophant

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