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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:14 Sa 27.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | a) Es sei 1 [mm] \not= [/mm] z [mm] \varepsilon \IC. [/mm] Zeigen Sie dass
Re(z) < 0 [mm] \gdw |\bruch{1+z}{1-z}| [/mm] < 1
b) Es sei z [mm] \varepsilon \IC [/mm] und h [mm] \varepsilon \IR, [/mm] h > 0. Zeigen Sie, dass
|1 + hz| < 1 [mm] \gdw h|z|^{2} [/mm] < -2 Re(z) |
Kann mir auch da jemand helfen. Ich möchte echt nur Ansätze.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:51 Sa 27.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib einfach z=x+iy und rechne aus, und dann was ist für x<0
bzw [mm] -2x>h*(x^2+y^2)
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 Sa 27.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Muss ich denn nicht bei jeder Teilaufgabe beide Richtungen zeigen. Also z.B. beim ersten, von Re(z) < 0 zum anderen und umgekehrt?
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Hallo SolRakt,
> Muss ich denn nicht bei jeder Teilaufgabe beide Richtungen
> zeigen. Also z.B. beim ersten, von Re(z) < 0 zum anderen
> und umgekehrt? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, es ist ja jeweils eine Äquivalenz zu zeigen.
Alternativ kannst du mit lauter Äquivalenzumformungen arbeiten.
Da musst du aber immer höllisch aufpassen, ob die entsprechende Umformung auch in beide Richtungen gilt.
Also "sicherer": [mm][\Rightarrow][/mm] und [mm][\Leftarrow][/mm] getrennt zeigen.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Sa 27.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ja, aber wie könnte ich das beim ersten Fall machen? Ich mein, ich muss ja von der Prämisse Re(z) < 0 ausgehn und daraus die Konklusion schließen. Aber was folgt denn aus Re(z) < 0?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 Sa 27.11.2010 | | Autor: | abakus |
> Ja, aber wie könnte ich das beim ersten Fall machen? Ich
> mein, ich muss ja von der Prämisse Re(z) < 0 ausgehn und
> daraus die Konklusion schließen. Aber was folgt denn aus
> Re(z) < 0?
Das siehst du, wenn du es getan hast (leduard hat dir geraten, z durch x+iy zu ersetzen. Der so entstehende neuen Term kann dann vereinfacht werden.)
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Sa 27.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Wie meinst du das genau? Sry xD Wenn man z durch x + iy ersetzt, bedeutet das, dass x (also der Realteil) < 0 sein soll. Aber wirklich weiter bringt mich das nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:56 Sa 27.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib doch erst mal die Ungl mit x und y auf. Wenn man nicht losrechnet kommt man zu keinem Erfolg. dann zeig, was du gerechnet hast, und wo du nicht weiterkommst. Nur selbermachen bringt dich weiter.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Sa 27.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Moment, irgendwie bin ich grad blöd xD
Das steht doch für "=>"
x < 0 [mm] \gwd |\bruch{1+ x + iy}{1- x+iy}| [/mm] < 1
Soll ich den Bruch noch so erweitern, dass da eine Reelle Zahl im Nenner steht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Sa 27.11.2010 | | Autor: | abakus |
> Moment, irgendwie bin ich grad blöd xD
>
> Das steht doch für "=>"
>
> x < 0 [mm]\gwd |\bruch{1+ x + iy}{1- x+iy}|[/mm] < 1
>
> Soll ich den Bruch noch so erweitern, dass da eine Reelle
> Zahl im Nenner steht?
Das ist hier nicht unbedingt erforderlich, da es nur um die Beträge geht.
Der Betrag des Zählers ist [mm] \wurzel{(1+x)^2+y^2}.
[/mm]
Ermittle noch den Betrag des Nenners und versuche nachzuweisen, dass der entstehende Bruchterm für x<0 zwischen 0 und 1 liegt.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Sa 27.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Da steht dann doch folgendes:
[mm] \bruch{\wurzel{(1+x)^{2} +iy}}{\wurzel{(1-x)^{2} + iy}}
[/mm]
So, wenn x nun < 0, gilt:
1-x > 1+x
Reicht das als Begründung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Sa 27.11.2010 | | Autor: | abakus |
> Da steht dann doch folgendes:
>
> [mm]\bruch{\wurzel{(1+x)^{2} +iy}}{\wurzel{(1-x)^{2} + iy}}[/mm]
>
> So, wenn x nun < 0, gilt:
>
> 1-x > 1+x
>
> Reicht das als Begründung?
Ich habe dir doch den Zähler schon richtig aufgeschrieben. Warum ersetzt du dieses richtige Teilergebnis durch dein falsches?
Deine Anwendung von Wurzeln ist übrigens sehr abenteuerlich.
[mm] (1+x)^{2} +y^2 [/mm] ist [mm] 1+2x+x^2+y^2, [/mm] und die Wurzel daraus ist [mm] \wurzel{1+2x+x^2+y^2}.
[/mm]
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Sa 27.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ah sry ich hab das falsch aufgeschrieben. ;) Hab was ganz anderes aufgeschrieben als ich wollte xD Ich schau jetzt mal. Mit der binomischen Formel folgt aber auch, dass der untere Wurzelterm (im Nenner) wegen x < 0 größer ist oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Sa 27.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib einfach erstmal alles richtig auf und versuch den Beweis, führ ihn vor, und frag nicht nach jedem mini Zwischenschritt.
so sieht man ja nicht, über was du redest.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Sa 27.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ok, ich versuchs mal. Also, es gilt ja die Prämisse x < 0
Dann soll gelten:
[mm] |\bruch{1+x+iy}{1-x+iy}|<1
[/mm]
Wenn man die Konklusion umformt:
[mm] \bruch{\wurzel{1+2x+x^{2}+y^{2}}}{\wurzel{1-2x+x^{2}+y^{2}}} [/mm] <1
Jetzt bringt man eine Wurzel auf die andere Seite und quadriert das Ganze:
[mm] 1+2x+x^{2}+y^{2} [/mm] < 1-2x + [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2}
[/mm]
Weiter umgeformt kommt dann raus:
4x < 0
Mit Bezug zur Prämisse stimmt diese Aussage.
Ist das so richtig? Ich formulier das natürlich noch genauer aus ;)
Kann mir jemand vllt auch bei der anderen Richtung helfen. Obwohl, wenn man doch jetzt von 4x <0 ausgeht, kann man doch wiederum folgern, dass x < 0 gelten muss. Die Richtung <= ist doch dann quasi schon gezeigt. Muss man doch nur nochmal hinschreiben oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Sa 27.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst von jedem Schritt in der Umformung zeigen, dass er auch in Rückwärtsrichtung geht! also , dass du nur Äquivalenzumformungen hast. das hatte aber schonmal jemand gesagt!
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Sa 27.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Aber war die eine Richtung, also => jetzt richtig? Und was meinst du genau bzgl. der Richtugn <=. Verstehe nicht genau, was du meinst. Kannst du es vllt nochmal erklären. Sry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Sa 27.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die eine richtung ist richtig. dabei hast du ne Reihe von Umformungen gemacht A=>B=>C wenn du bei jeder den Schritt auch rückgängig machen kannst dann ist auch die andere Richtung bewiesen. also muss zwischen deinen umformungen (nachgeprüft!) immer A<=>B<=>C usw stehen das letzte ist dann <=> x<0
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Sa 27.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Aber das ist in dem Fall doch gegeben, da ich ja bei der Termumformung prinzipiell eine Äquivalenzumformung mache oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Sa 27.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
quadrieren ist i.A, keine Äquivalenzumformung!
da gehören zusätzliche Vors. dazu die man überprüfen muss bzw sagen dass oder warum sie erfüllt sind., entsprechend beim Wurzelziehen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 So 28.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Und was kann ich jetzt machen? Soll ich jetzt zeigen, dass man diese Umformung auch rückwärts machen kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 So 28.11.2010 | | Autor: | leduart |
Ja, geh es einfach von hinten bach vorne durch.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 So 28.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Also, nur zur Sicherheit. Ich starte nun von 4x<0?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 So 28.11.2010 | | Autor: | leduart |
hallo
genauer bei x<0
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 So 28.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Hab das jetzt gemacht. Kann mir denn jemand bei der b) helfen. Wie kann man da vorgehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 So 28.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
losrechnen wie bei a)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 So 28.11.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ja aber ich weiß gar nicht genau wie ich anfangen soll.
Also ich könnte zuerst |1 + hz| < 1 umformen. das ist ja jetzt noch die Prämisse.. Aber ich muss die Konklusion ja auch im Auge behalten, also sehn wie ich darauf kommen könnte. Oder soll ich bei beiden unabhängig umformen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 Di 30.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo SolRakt!
Wie Dir bereits schon gesagt wurde: beginne wie bei Teilaufgabe a.).
Setze [mm]z \ := \ a+i*b[/mm] und forme entweder ausschließlich mit Äquivalenzumformungen um, oder zeige beide Richtungen separat.
Gruß
Loddar
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