Beweise Supremum < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Do 04.09.2008 | | Autor: | csak1162 |
| Aufgabe | | Satz. Die Teilmenge [mm] A=\{a\in: a \ge 0, a²\le 2\} [/mm] der rationalen zahlen besitzt kein Supremum (in [mm] \IQ [/mm] ) |
wei geht der Beweis?? wie geht man da heran???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 Do 04.09.2008 | | Autor: | abakus |
> Satz. Die Teilmenge [mm]A=\{a\in: a \ge 0, a²\le 2\}[/mm] der
> rationalen zahlen besitzt kein Supremum (in [mm]\IQ[/mm] )
> wei geht der Beweis?? wie geht man da heran???
Kleiner Tipp: Die größte Zahl, die [mm] a^2\le [/mm] 2 erfüllt, ist [mm] \wurzel{2}. [/mm] Und die ist nicht rational.
Wenn es ein Supremum gäbe, müsste es eine größte rationalen Zahl geben, die gerade noch kleiner als [mm] \wurzel{2} [/mm] ist.
Gruß Abakus
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:01 Do 04.09.2008 | | Autor: | pelzig |
> Kleiner Tipp: Die größte Zahl, die [mm]a^2\le[/mm] 2 erfüllt, ist
> [mm]\wurzel{2}.[/mm] Und die ist nicht rational.
> Wenn es ein Supremum gäbe, müsste es eine größte
> rationalen Zahl geben, die gerade noch kleiner als
> [mm]\wurzel{2}[/mm] ist.
Ich fürchte fast bei dieser Aufgabe wird erwartet, dass man nur die Eigenschaften von [mm] $\IQ$ [/mm] benutzen darf. Also insbesondere keine Rechnungen mit [mm] $\sqrt{2}$, [/mm] dieser Ausdruck ergibt innerhalb von [mm] $\IQ$ [/mm] keinen Sinn. Man muss sich schon was besseres einfallen lassen, z.B. könnte man zeigen, dass es zu jeder oberen Schranke von A eine kleinere obere Schranke gibt, nur wie macht man das am besten? 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Fr 05.09.2008 | | Autor: | csak1162 |
ja, das warm mir auch klar, ich bin nur beim beweisen schlecht? wie mach ich das??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 Fr 05.09.2008 | | Autor: | Merle23 |
Zeige zuerst, dass wenn diese Menge ein Supremum s hätte, dann müsste [mm] s^2=2 [/mm] sein.
Dazu zeigst du, dass jede Zahl p mit [mm]p^2 < 2[/mm] keine obere Schranke ist und dass jede Zahl q mit [mm]q^2 > 2[/mm] nicht die kleinste obere Schranke ist.
Und erst jetzt musst du zeigen, dass es keine rationale Zahl r gibt, die [mm] r^2=2 [/mm] erfüllt.
Und hüte dich davor Wurzelzeichen im Beweis zu benutzen, denn in [mm] \IQ [/mm] ist [mm] \sqrt{} [/mm] nicht für jede Zahl definiert.
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