Beweise: Wachstum von Potenzen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 So 23.11.2008 | | Autor: | frost- |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Aussagen über das Wachstum von Potenzen:
Sei b [mm] \in \IR, [/mm] b > 0, dann folgt:
i) b > 1 [mm] \Rightarrow \forall [/mm] K [mm] \in \IR \exists [/mm] n [mm] \in \IN: b^{n} [/mm] > K,
ii) 0 < b < 1 [mm] \Rightarrow \forall \varepsilon \in \IR, \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : [mm] b^{n} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] |
i) Dazu bin ich folgendermaßen vorgegangen:
Die Aussage meint ja in anderen Worten, dass [mm] b^{n} [/mm] nicht durch ein K nach oben beschränkt ist.
Also habe ich die Unbeschränktheit von [mm] b^{n} [/mm] durch Induktion gezeigt:
Aussage: [mm] b^{n} [/mm] ist unbeschränkt
Induktionsannahme: [mm] b^{n+1} [/mm] > [mm] b^{n}
[/mm]
Induktionsanfang: n = 1 : [mm] b^{2} [/mm] > [mm] b^{1} [/mm] da wir b > 1 haben stimmt das
Induktionsschritt:
[mm] b^{n+2} [/mm] > [mm] b^{n+1}
[/mm]
[mm] \gdw b^{n}*b^{2} [/mm] > [mm] b^{n}*b
[/mm]
[mm] \gdw b^{2} [/mm] > b
Kann ich das so stehen lassen, fehlt noch was, oder ist es ein komplett falscher Ansatz? Mir kommts irgendwie so vor, als sei das noch nicht ganz das was gefragt ist...
bei ii) will ich versuchen, zu zeigen, dass [mm] b^{n} [/mm] gegen 0 konvergiert
[mm] b^{n} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] n < [mm] \bruch{ln \varepsilon}{ln b}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \bruch{ln b}{ln \varepsilon}
[/mm]
Auch hier die gleiche Fragestellung wie zu i)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 So 23.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dass die Glieder einer Folge monoton wachsen, heisst nicht , dass die folge unbeschraenkt ist.
Du muss schon zeigen, dass du jedes beliebige k ueberschreiten kannst.
ii) kannst du dann i direkt benutzen fuer b=1/a, a>1
benutze dass b>1 bedeutet b=1+r, r>0 dann kennst du sicher ne Ungleichung fuer [mm] (1+r)^n? [/mm] oder die binomische Formel, von der du nur den anfang brauchst?
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Mo 24.11.2008 | | Autor: | frost- |
Okay, Versuch Nummer 2. Diesmal finde ich es eigentlich ganz plausibel, wäre nett wenn jemand sagen könnte ob das jetzt tatsächlich stimmt :)
zu zeigen: [mm] b^{n} [/mm] > K
setze b = 1+r
[mm] \Rightarrow (1+r)^{n} [/mm] > K
[mm] (1+r)^{n} [/mm] = [mm] 1^{n} [/mm] + [mm] n*r^{1} [/mm] + ... + [mm] n*r^{n-1} [/mm] + [mm] r^{n}
[/mm]
Davon betrachte ich jetzt nur 1+n*r, denn
( 1+ r [mm] )^{n} \ge [/mm] 1+n*r > K
[mm] \gdw [/mm] n > [mm] \bruch{K}{r} [/mm] - 1
[mm] \Rightarrow [/mm] n [mm] \ge \bruch{K}{r} [/mm]
Setzt man nun n nun in 1+n*r ein ergibt sich
1 + [mm] \bruch{K}{r} [/mm] * r > K
1 + K > K q.e.d.
Sollte das nun richtig sein, stellt sich mir aber die Frage, ob ich [mm] b^{n} [/mm] nicht gleich [mm] \ge [/mm] n*b hätte abschätzen können, sodass ich zu n [mm] \ge \bruch{K}{b} [/mm] gekommen wäre.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 Mo 24.11.2008 | | Autor: | k-s |
Wenn du nicht weiter kommst, dann erinnere dich an das Buch, was vor 2 Wochen in der Vorlesung empfohleh wurde :)
Für die Lösung brauchst du Bernoullische Ungleichung und das Archimedische Axiom
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Mo 24.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst doch wohl nicht beweisen, dass n unbeschraenkt ist?
Dann sind deine letzten Schritte unnoetig, da ist auch ein Fehler drin!
> Okay, Versuch Nummer 2. Diesmal finde ich es eigentlich
> ganz plausibel, wäre nett wenn jemand sagen könnte ob das
> jetzt tatsächlich stimmt :)
>
> zu zeigen: [mm]b^{n}[/mm] > K
> setze b = 1+r
>
> [mm]\Rightarrow (1+r)^{n}[/mm] > K
>
> [mm](1+r)^{n}[/mm] = [mm]1^{n}[/mm] + [mm]n*r^{1}[/mm] + ... + [mm]n*r^{n-1}[/mm] + [mm]r^{n}[/mm]
>
> Davon betrachte ich jetzt nur 1+n*r, denn
>
> ( 1+ r [mm])^{n} \ge[/mm] 1+n*r > K
> [mm]\gdw[/mm] n > [mm]\bruch{K}{r}[/mm] - 1
hier bist du fertig , wegen n unbeschraenkt. Fuer nen richtigen Beweis faengt man jetzt hinten an und kommt bei [mm] b^n>K [/mm] an.
der naechst Schritt ist falsch ! aus a<b folgt nicht a<b-1
> [mm]\Rightarrow[/mm] n [mm]\ge \bruch{K}{r}[/mm]
>
> Setzt man nun n nun in 1+n*r ein ergibt sich
>
> 1 + [mm]\bruch{K}{r}[/mm] * r > K
> 1 + K > K q.e.d.
>
>
>
> Sollte das nun richtig sein, stellt sich mir aber die
> Frage, ob ich [mm]b^{n}[/mm] nicht gleich [mm]\ge[/mm] n*b hätte abschätzen
> können, sodass ich zu n [mm]\ge \bruch{K}{b}[/mm] gekommen wäre.
Nein, mit dem 1+r hast du ausgenutz dass b echt groesser 1 ist! wie kannst du denn zeigen dass [mm] b^n>n*b [/mm] ist? fuer welche n soll das gelten. (wenn du das allerdings vorher zeigst , dass es ab irgendeinem n gilt waer es ok.)
nimm b=1.01 n=10 etwa?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:30 Mo 24.11.2008 | | Autor: | frost- |
Okay, ich glaub ich habs jetzt soweit. Danke für die Hilfe
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