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Beweise/Widerlege 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:22 Mo 02.04.2012
Autor: Schapka

Aufgabe
Seien [mm] n\ge [/mm]  1 eine natürliche Zahl und x [mm] =(x_1 +x_2+...+x_n), [/mm]  y= [mm] (y_1 +y_2+...+y_n) [/mm] , z [mm] =(z_1 +z_2+...+z_n) [/mm] beliebige vom Nullvektor verschiedene Vektoren des  [mm] \IR^n. [/mm] Beweisen oder widerlegen Sie :

Aus x (senkrecht auf) y-z und ||x|| = ||y-z|| folgt ||x-y+z|| [mm] \le \bruch [/mm] {3}{2} ||x||

Als erstes setze ich v = y-z

||x||=||v||  [mm] \gdw [/mm] ||x||-||v|| = 0  [mm] \gdw [/mm] ||x-v|| = 0

Dann würde nämlich folgen:

<x-v,x-v> = 0
[mm] \gdw [/mm]
[mm] ||x||^2 [/mm] -2<x,v> + [mm] ||v||^2 [/mm] = 0
[mm] \gdw [/mm]
[mm] ||x||^2 [/mm] + [mm] ||v||^2 [/mm] = 2<x,v>

Und wenn ich zurück einsetze:

[mm] ||x||^2 [/mm] + [mm] ||y-z||^2 [/mm] =2<x,y-z>
[mm] \gdw [/mm]
[mm] ||x||^2 [/mm] + [mm] ||y-z||^2 [/mm] = 2<x,x>    , da ||x||=||y-z||
[mm] \gdw [/mm]
[mm] ||x-y+z||^2 [/mm] = [mm] 2||x||^2 [/mm] jetzt ziehe ich die Wurzel
[mm] \gdw [/mm]
||x-y+z|| = [mm] \wurzel{2}||x|| [/mm]  und das ist [mm] \le \bruch [/mm] {3}{2} ||x||



Mein Problem steckt in folgenden Teilen:

||x||=||v||  daraus folgt ||x||-||v|| = 0  und kann man daraus folgen lassen ||x-v|| = 0 ?

Wie wird aus [mm] ||x||^2 [/mm] + [mm] ||y-z||^2 [/mm] das hier [mm] ||x-y+z||^2? [/mm]

Würde mich über Hilfe freuen ^^

        
Bezug
Beweise/Widerlege 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:58 Mo 02.04.2012
Autor: Marc

Hallo Schapka,

> Seien [mm]n\ge[/mm]  1 eine natürliche Zahl und x [mm]=(x_1 +x_2+...+x_n),[/mm]

Auch hier keine Pluszeichen verwenden, sondern Kommas :-)

>  y= [mm](y_1 +y_2+...+y_n)[/mm] , z [mm]=(z_1 +z_2+...+z_n)[/mm] beliebige
> vom Nullvektor verschiedene Vektoren des  [mm]\IR^n.[/mm] Beweisen
> oder widerlegen Sie :
>
> Aus x (senkrecht auf) y-z und ||x|| = ||y-z|| folgt
> ||x-y+z|| [mm]\le \bruch[/mm] {3}{2} ||x||
>  Als erstes setze ich v = y-z
>  
> ||x||=||v||  [mm]\gdw[/mm] ||x||-||v|| = 0  [mm]\gdw[/mm] ||x-v|| = 0

Die letzte Folgerung ist falsch.

> Dann würde nämlich folgen:
>  
> <x-v,x-v> = 0

Auch das stimmt nicht. Hier hast du glaube ich versucht, die Voraussetzung [mm] $x\perp [/mm] v$ zu verwenden, aber das ist doch äquivalent zu [mm] $\langle x,v\rangle=0$. [/mm]

>  [mm]\gdw[/mm]
>  [mm]||x||^2[/mm] -2<x,v> + [mm]||v||^2[/mm] = 0

>  [mm]\gdw[/mm]
>  [mm]||x||^2[/mm] + [mm]||v||^2[/mm] = 2<x,v>
>  
> Und wenn ich zurück einsetze:
>  
> [mm]||x||^2[/mm] + [mm]||y-z||^2[/mm] =2<x,y-z>
>  [mm]\gdw[/mm]
>  [mm]||x||^2[/mm] + [mm]||y-z||^2[/mm] = 2<x,x>    , da ||x||=||y-z||
>  [mm]\gdw[/mm]
>  [mm]||x-y+z||^2[/mm] = [mm]2||x||^2[/mm] jetzt ziehe ich die Wurzel
>  [mm]\gdw[/mm]
>  ||x-y+z|| = [mm]\wurzel{2}||x||[/mm]  und das ist [mm]\le \bruch[/mm] {3}{2}
> ||x||
>  
>
>
> Mein Problem steckt in folgenden Teilen:
>  
> ||x||=||v||  daraus folgt ||x||-||v|| = 0  und kann man
> daraus folgen lassen ||x-v|| = 0 ?

Nee, das sieht man doch auch sofort mit einem Gegenspiel $x=(1,0)$ und $y=(0,1)$.

> Wie wird aus [mm]||x||^2[/mm] + [mm]||y-z||^2[/mm] das hier [mm]||x-y+z||^2?[/mm]
>  
> Würde mich über Hilfe freuen ^^

Deine Substitution mit $v$ war gut. Dann würde ich zunächst nochmal die komplette Aufgabenstellung mit diesem $v$ hinschreiben:

Aus $x [mm] \perp [/mm] v$ und [mm] $\|x\| [/mm] = [mm] \|v\|$ [/mm] folgt [mm] $\|x-v\| \le \bruch{3}{2} \|x\|$ [/mm]

Um diese Ungleichung zu beweisen, zeige zunächst, dass [mm] $\|x-v\|^2 \le \left(\bruch{3}{2}\right)^2 \|x\|^2$ [/mm] gilt:

[mm] $\|x-v\|^2=\langle \ldots,\ldots\rangle=\ldots\text{Voraussetzungen benutzen}\ldots=\ldots \cdot\|x\|^2\le \left(\bruch{3}{2}\right)^2 \|x\|^2$ [/mm]

Viele Grüße
Marc

Bezug
                
Bezug
Beweise/Widerlege 2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:20 Mo 02.04.2012
Autor: Schapka

Yeah ich habe es raus =) Vielen lieben Dank für die Hilfe!

Die Lösung wurde uns so gegeben und die wäre angeblich mit vollen Punkten zurück gekommen, aber ich bin über diese Fehler in der Lösung gestolpert und  war deswegen komplett von der Rolle :D


Bezug
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