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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Beweise/Widerlege Implikation
Beweise/Widerlege Implikation < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Beweise/Widerlege Implikation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:01 Mo 02.04.2012
Autor: Schapka

Aufgabe
Seien n [mm] \ge [/mm] 1 eine natürliche Zahl und x = [mm] (x_1 +x_2+...+x_n), [/mm] y= [mm] (y_1 +y_2+...+y_n) [/mm] beliebige vom Nullvektor verschiedene Vektoren des [mm] \IR^n. [/mm] Beweisen oder widerlegen Sie die Gültigkeit folgender Implikation:

(a) cos(x,y) = cor(x,y) [mm] \wedge \bar{x} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \bar{y} [/mm] = 0

Also ich bin schon mal soweit:

cos(x,y) = cor(x,y)
[mm] \gdw [/mm]
[mm] \bruch{}{||x||*||y||} [/mm]  =  cos [mm] (x-\bar{x} [/mm] , [mm] y-\bar{y}) [/mm]  
[mm] \gdw [/mm]
[mm] \bruch{}{||x||*||y||} [/mm]  =  [mm] \bruch{}{||x-\bar{x}||*||y-\bar{y}||} [/mm]

wenn ich da [mm] \bar{x} [/mm] = 0 einsetze, erhalte ich:

[mm] \bruch{}{||x||*||y||} [/mm]  =  [mm] \bruch{}{||x||*||y-\bar{y}||} [/mm]

Und das * ||x|| ergibt

[mm] \bruch{}{||y||} [/mm]  =  [mm] \bruch{}{||y-\bar{y}||} [/mm]
[mm] \gdw [/mm]
[mm] \bruch{}{||y||} [/mm]  =  [mm] \bruch{-}{||y-\bar{y}||} [/mm]


Ist das soweit alles richtig? Weil jetzt stecke ich fest!

Jetzt würde ich rein logisch denken [mm] \bar{y} [/mm] muss 0 sein da sonst der Nenner auf beiden Seiten nicht gleich wäre?!

        
Bezug
Beweise/Widerlege Implikation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:14 Mo 02.04.2012
Autor: fred97

Nimm mal n=2, [mm] x=\vektor{1 \\ 0}, y=\vektor{0 \\ 1}, \bar{y}=\vektor{0 \\ 2} [/mm]

FRED

Bezug
                
Bezug
Beweise/Widerlege Implikation: x quer = Mittelwert(vektor)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:27 Mo 02.04.2012
Autor: Marc

Hallo Fred,

> Nimm mal n=2, [mm]x=\vektor{1 \\ 0}, y=\vektor{0 \\ 1}, \bar{y}=\vektor{0 \\ 2}[/mm]

Mit [mm] $\bar{x}$ [/mm] ist der Mittelwert des Vektors gemeint [mm] ($\bar{x}=\frac1n(x_1+\ldots+x_n)$), [/mm] der dann auch noch mit dem Mittelwertvektor identifiziert wurde [mm] $\bar{x}=(\bar{x},\ldots,\bar{x})$. [/mm]
Verwirrend, aber wahr (ich kenne zufällig die Vorlesung).

Viele Grüße
Marc

Bezug
        
Bezug
Beweise/Widerlege Implikation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:32 Mo 02.04.2012
Autor: Marc

Hallo Schapka,

> Seien n [mm]\ge[/mm] 1 eine natürliche Zahl und x = [mm](x_1 +x_2+...+x_n),[/mm]

Hier meinst du sicher Kommata statt Pluszeichen...

> y= [mm](y_1 +y_2+...+y_n)[/mm] beliebige vom Nullvektor verschiedene
> Vektoren des [mm]\IR^n.[/mm] Beweisen oder widerlegen Sie die
> Gültigkeit folgender Implikation:
>  
> (a) cos(x,y) = cor(x,y) [mm]\wedge \bar{x}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow \bar{y}[/mm]
> = 0
>  Also ich bin schon mal soweit:
>  
> cos(x,y) = cor(x,y)
> [mm]\gdw[/mm]
>  [mm]\bruch{}{||x||*||y||}[/mm]  =  cos [mm](x-\bar{x}[/mm] , [mm]y-\bar{y})[/mm]
>  
> [mm]\gdw[/mm]
>  [mm]\bruch{}{||x||*||y||}[/mm]  =  
> [mm]\bruch{}{||x-\bar{x}||*||y-\bar{y}||}[/mm]
>  
> wenn ich da [mm]\bar{x}[/mm] = 0 einsetze, erhalte ich:
>  
> [mm]\bruch{}{||x||*||y||}[/mm]  =  
> [mm]\bruch{}{||x||*||y-\bar{y}||}[/mm]
>  
> Und das * ||x|| ergibt
>  
> [mm]\bruch{}{||y||}[/mm]  =  
> [mm]\bruch{}{||y-\bar{y}||}[/mm]
>  [mm]\gdw[/mm]
>  [mm]\bruch{}{||y||}[/mm]  =  
> [mm]\bruch{-}{||y-\bar{y}||}[/mm]
>  
>
> Ist das soweit alles richtig? Weil jetzt stecke ich fest!

Das ist auch gut so, weil die Aussage nicht stimmt ;-).
Versuche lieber ein Gegenbeispiel zu finden, es gibt eines für $n=2$.

Viele Grüße
Marc

Bezug
                
Bezug
Beweise/Widerlege Implikation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:50 Mo 02.04.2012
Autor: Schapka

Ja habe , anstelle von + gemeint :D Sorry!

Wäre es dann richtig, wenn ich

x= (1,-1) y= (-1,1) setzen würde?
Dann wäre [mm] \bar{x} [/mm] und [mm] \bar{y} [/mm] = 0

Einsetzen in die Gleichung

[mm] \bruch{}{||y||} [/mm] = [mm] \bruch{-}{||y-\bar{y}||} [/mm]

Erhalte ich auf der linken Seite [mm] \bruch {-2}{\wurzel{2}} [/mm] und auf der rechten Seite  [mm] \bruch {-2}{\wurzel{2}} [/mm]

Damit würde das doch stimmen?! Ach ich steh voll auf dem Schlauch!

Oder muss ich beim Gegenbeispiel annehmen dass [mm] \bar{x} [/mm] = 0 und für [mm] \bar{y} [/mm] etwas finden dass nicht 0 ist, aber trotzdem LS und RS erfüllt? O.O?

Bezug
                        
Bezug
Beweise/Widerlege Implikation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:52 Mo 02.04.2012
Autor: fred97


> Ja habe , anstelle von + gemeint :D Sorry!
>  
> Wäre es dann richtig, wenn ich
>  
> x= (1,-1) y= (-1,1) setzen würde?
> Dann wäre [mm]\bar{x}[/mm] und [mm]\bar{y}[/mm] = 0
>  
> Einsetzen in die Gleichung
>  
> [mm]\bruch{}{||y||}[/mm] =
> [mm]\bruch{-}{||y-\bar{y}||}[/mm]
>  
> Erhalte ich auf der linken Seite [mm]\bruch {-2}{\wurzel{2}}[/mm]
> und auf der rechten Seite  [mm]\bruch {-2}{\wurzel{2}}[/mm]
>  
> Damit würde das doch stimmen?! Ach ich steh voll auf dem
> Schlauch!
>  
> Oder muss ich beim Gegenbeispiel annehmen dass [mm]\bar{x}[/mm] = 0
> und für [mm]\bar{y}[/mm] etwas finden dass nicht 0 ist, aber
> trotzdem LS und RS erfüllt?

Genau das


FRED


> O.O?


Bezug
                                
Bezug
Beweise/Widerlege Implikation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:09 Mo 02.04.2012
Autor: Schapka

Und ich finde einfach kein Gegenbeispiel O.O

Ich habe jetzt x=(2,-2) (damit [mm] \bar{x}=0) [/mm] und y=(2,2) (damit [mm] \bar{y}=2) [/mm] eingesetzt dabei ist LS nicht der RS

und bei x=(1,-1) (damit [mm] \bar{x}=0) [/mm] und y=(0,1) (damit [mm] \bar{y}=\bruch{1}{2}) [/mm] ist dies ebenso nicht der Fall?

Aber ich möchte doch ein Beispiel finden für das

[mm] \bar{x}=0 [/mm]  und  [mm] \bar{y} \not= [/mm] 0   und dafür LS=RS ? Ist das so schwer ein Gegenbeispiel zu finden ...

Oder setze ich das in die falsche Gelichung ein, wenn ich es in

[mm] \bruch{}{||y||} [/mm] = [mm] \bruch{-}{||y-\bar{y}||} [/mm]
einsetze?  

Bezug
                                        
Bezug
Beweise/Widerlege Implikation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:21 Mo 02.04.2012
Autor: Marc

Hallo Schapka,

> Und ich finde einfach kein Gegenbeispiel O.O
>  
> Ich habe jetzt x=(2,-2) (damit [mm]\bar{x}=0)[/mm] und y=(2,2)
> (damit [mm]\bar{y}=2)[/mm] eingesetzt dabei ist LS nicht der RS

Doch das müsste eines sein, allerdings muss man dazu vereinbart haben, dass [mm] $\cos(0,y)=\cos(x,0)=0$ [/mm] gilt (das habt ihr meines Wissens nach gemacht, obwohl ich es für nicht sehr sinnvoll halte).

> und bei x=(1,-1) (damit [mm]\bar{x}=0)[/mm] und y=(0,1) (damit
> [mm]\bar{y}=\bruch{1}{2})[/mm] ist dies ebenso nicht der Fall?
>  
> Aber ich möchte doch ein Beispiel finden für das
>
> [mm]\bar{x}=0[/mm]  und  [mm]\bar{y} \not=[/mm] 0   und dafür LS=RS ? Ist
> das so schwer ein Gegenbeispiel zu finden ...
>  
> Oder setze ich das in die falsche Gelichung ein, wenn ich
> es in
>
> [mm]\bruch{}{||y||}[/mm] =
> [mm]\bruch{-}{||y-\bar{y}||}[/mm]
>   einsetze?    

Ich würde es immer mit den Ausgangsaussagen überprüfen, und nicht mit den schon von dir umformulierten Aussagen. Mit obiger Vereinbarung ist es auch nicht nötig, sich diese Gleichung anzusehen.

Viele Grüße
Marc

Bezug
                                                
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Beweise/Widerlege Implikation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:23 Mo 02.04.2012
Autor: Schapka

Ich habe mich an Lösungen von anderen orientiert und bei denen wurde es nicht gemacht - ich probier es einfach mal aus :) Danke!

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