Beweise bzgl. Bild/Urbild < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Mo 14.11.2005 | | Autor: | Leoric |
Hi @ll,
folgende nette Aufgabe will ishc einfach mal wieder nicht von mir lösen lassen (aka: ich habe keinen Schimmer ^_^ )
Es sei gegeben:
--------------------
f: A -> B
N [mm] \subseteq [/mm] B
Urbild von N unter f: [mm] f^{-1}(N)
[/mm]
M1, M2 [mm] \subseteq [/mm] A
N1, N2 [mm] \subseteq [/mm] B
Beweisen Sie folgende Behauptungen:
a) f( M1 [mm] \cup [/mm] M2 ) = f( M1 ) [mm] \cup [/mm] f( M2 )
b) f( M1 [mm] \cap [/mm] M2 ) [mm] \subseteq [/mm] f( M1 ) [mm] \cap [/mm] f( M2 )
c) [mm] f^{-1}( [/mm] N1 [mm] \cup [/mm] N2 ) = [mm] f^{-1}( [/mm] N1 ) [mm] \cup f^{-1}( [/mm] N2 )
d) [mm] f^{-1}( [/mm] N1 [mm] \cap [/mm] N2 ) = [mm] f^{-1}( [/mm] N1 ) [mm] \cap f^{-1}( [/mm] N2 )
Finden Sie ein Beispiel, so daß unter b) eine echte Inklusion gilt.
Für Hinweise, Lösungsansätze oder alles andere Hilfreiche wäre ich sehr dankbar.
Ciao,
Leoric
|
|
| |
|
> Hi @ll,
>
> folgende nette Aufgabe will ishc einfach mal wieder nicht
> von mir lösen lassen (aka: ich habe keinen Schimmer ^_^ )
Hallo,
zumindest einen blassen Schimmer kann man sich verschaffen, indem man sich zunächst die Bestandteile der Aufgaben klar macht.
Hier muß man über folgendes nachdenken, bevor man anfängt, die Aufgabe zu lösen:
wie ist das Bild einer Menge unter einer Abbildung definiert? Wie das Urbild? Was bedeutet das anschaulich?
> Es sei gegeben:
> --------------------
> f: A -> B
> N [mm]\subseteq[/mm] B
> Urbild von N unter f: [mm]f^{-1}(N)[/mm]
>
> M1, M2 [mm]\subseteq[/mm] A
> N1, N2 [mm]\subseteq[/mm] B
>
> Beweisen Sie folgende Behauptungen:
>
> a) f( M1 [mm]\cup[/mm] M2 ) = f( M1 ) [mm]\cup[/mm] f( M2 )
In Worten: das Bild der Vereinigungsmenge ist die Vereinigung der Bildmengen.
Hier ist die Gleichheit zweier Mengen zu zeigen, also
i)f( M1 [mm]\cup[/mm] M2 ) [mm] \subseteq [/mm] f( M1 ) [mm]\cup[/mm] f( M2 )
und
ii))f( M1 ) [mm]\cup[/mm] f( M2 ) [mm] \subseteq [/mm] f( M1 [mm]\cup[/mm] M2 )
Wie zeigt man Teilmengenbeziehungen? (Def. der Teilmenge?)
Indem man zeigt, daß jedes y aus der ersten Menge auch in der zweiten liegt.
Der beweis zu i) startet also so:
Sei y [mm] \in f(M_1 \cup M_2)
[/mm]
==> es gibt ein x [mm] \in [/mm] M_! [mm] \cup M_2 [/mm] mit ...
...
...
==> f( M1 ) [mm] \cup [/mm] f( M2 )
Also, leg' los!
Die anderen Aufgaben sind dann so ähnlich.
Gruß v. Angela
> b) f( M1 [mm]\cap[/mm] M2 ) [mm]\subseteq[/mm] f( M1 ) [mm]\cap[/mm] f( M2 )
> c) [mm]f^{-1}([/mm] N1 [mm]\cup[/mm] N2 ) = [mm]f^{-1}([/mm] N1 ) [mm]\cup f^{-1}([/mm] N2 )
> d) [mm]f^{-1}([/mm] N1 [mm]\cap[/mm] N2 ) = [mm]f^{-1}([/mm] N1 ) [mm]\cap f^{-1}([/mm] N2 )
>
> Finden Sie ein Beispiel, so daß unter b) eine echte
> Inklusion gilt.
>
> Für Hinweise, Lösungsansätze oder alles andere Hilfreiche
> wäre ich sehr dankbar.
>
> Ciao,
> Leoric
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Di 15.11.2005 | | Autor: | Mitch |
zu a)
Behauptung : f( M1 $ [mm] \cup [/mm] $ M2 ) = f( M1 ) $ [mm] \cup [/mm] $ f( M2 )
Beweis: " [mm] \subset\ [/mm] " [mm] y \in\ [/mm] f( M1 $ [mm] \cup [/mm] $ M2 ) beliebig [mm] \Rightarrow\ [/mm] es gibt ein x [mm] \in\ M_1 \cup\ M_2 [/mm] sodass f(x)=y
[mm] \Rightarrow\ \left( x \in M_1 \wedge f(x) = y \right) \vee \left( x \in M_2 \wedge f(x) = y \right) [/mm]
[mm] \Rightarrow y \in f(M_1) \vee y \in f(M_2) [/mm]
[mm] \Rightarrow y \in f(M_1) \vee f(M_2) [/mm]
" [mm] \supset [/mm] " [mm] y \in f(M_1) \vee f(M_2) d.h. y \in f(M_1) \vee y \in f(M_2) [/mm]
[mm] d.h. \left( x \in M_1 sodass f(x) = y \right) \vee \left( x \in M_2 sodass f(x) = y \right) [/mm]
[mm] \Rightarrow x \in M_1 \vee M_2 s.d. f(x) = y \Rightarrow y \in f(M_1 \vee M_2) \Rightarrow [/mm] " = " [mm] \Box [/mm]
zu c)
Behauptung: $ [mm] f^{-1}( [/mm] $ N1 $ [mm] \cup [/mm] $ N2 ) = $ [mm] f^{-1}( [/mm] $ N1 ) $ [mm] \cup f^{-1}( [/mm] $ N2 )
Beweis: [mm] f^{-1} \left( N_1 \cup N_2 \right) = \left\{ a \in A | f(a) \in N_1 \cup N_2 \right\} [/mm]
[mm] \gdw \left\{ a \in A | f(a) \in N_1 \vee f(a) \in N_2 \right\} [/mm]
[mm] = f^{-1}(N_1) \cup f^{-1}(N_2) [/mm] [mm] \Box [/mm]
b) und d) sind ähnlich lösbar...
Gruß Mitch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Do 01.11.2007 | | Autor: | k-s |
Mit welcher Beweistechnik kann man die Aussage "b" widerlegen, wenn da statt "Teilmenge"-zeichen ein Gleichheitszeichen steht?
|
|
|
| |
|
> Mit welcher Beweistechnik kann man die Aussage "b"
> widerlegen, wenn da statt "Teilmenge"-zeichen ein
> Gleichheitszeichen steht?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Widerlegen tut man durch ein Gegenbeispiel.
Du brauchst eine konkrete Funktion f und zwei Mengen [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2, [/mm] für die die Aussage nicht gilt.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Do 01.11.2007 | | Autor: | k-s |
Hi =)
Ich hab ein Gegenbeispiel gefunden. Aber wie geht man vor, wenn man noch gar nicht weiß, ob die Aussage wahr oder falsch ist, wenn ich also noch nicht weiß, ob ich es beweisen oder widerlegen muss?
Kann man vll im Fall b (mit Gleichheitszeichen) eine Annahme treffen, um zu sehen, ob sie zu einem Widerspruch führt oder nicht, um dann zu entschaeiden, ob man die Aussage noch beweiswen muss?
|
|
|
| |
|
> Hi =)
>
> Ich hab ein Gegenbeispiel gefunden. Aber wie geht man vor,
> wenn man noch gar nicht weiß, ob die Aussage wahr oder
> falsch ist, wenn ich also noch nicht weiß, ob ich es
> beweisen oder widerlegen muss?
Tja, dann wird's schwierig.
Dann stellt man Plausibilitätsüberlegungen an - u.U. durch Betrachtung interessanter und verschiedener Beispiele - versucht zu beweisen, versucht, ein Gegenbeispiel zu konstruieren.
Ein Patentrezept habe ich hier nicht.
> Kann man vll im Fall b (mit Gleichheitszeichen) eine
> Annahme treffen, um zu sehen, ob sie zu einem Widerspruch
> führt oder nicht, um dann zu entschaeiden, ob man die
> Aussage noch beweiswen muss?
Wenn Du die Aussage wirklich äquivalent (!) umformen kannst in eine, die erwiesenermaßen wahr ist, ist sie wahr.
Wenn Du die Aussage wirklich äquivalent (!) umformen kannst in eine, die erwiesenermaßen falsch ist, ist sie falsch.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:47 Do 01.11.2007 | | Autor: | k-s |
Danke Angela
|
|
|
|
