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Beweise das Symmetriegesetz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:59 Mi 06.10.2004
Autor: Moechte-gern-Mathe-genie

Hallo!
Ich gruebel hier gerade, wie man dies beweisen koennte:
(n ueber (n-k)) = (n ueber k)
[mm] \vektor{n\\ n-k} [/mm] =  [mm] \vektor{n \\ k} [/mm]
haette dazu einer eine Idee? Ich haette eine Idee, bin mir jedoch nicht sicher, ob dies als beweis akzeptabel ist, oder ueberhaupt als Beweis gilt...
Meine Ueberlegung:
Urnenmodellvorstellung: Man zieht k - mal aus einer Urne mit n Kugeln.
Da bei jedem k-ten ziehen n-Kugeln gezogen werden und als Vorraussetzung ohne Zuruecklegen vorgegeben ist, kann nur noch n-k mal gezogen werden. Die Formel n ueber k hat ebenfalls als Vorraussetzung: ohne Zuruecklegen! somit ist n ueber n-k = n ueber k....
naja, war ein Versuch! Danke fuer die Hilfe!
Gruesse!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Beweise das Symmetriegesetz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:12 Mi 06.10.2004
Autor: Hugo_Sanchez-Vicario

hi Genie,

wie berechnet man den Binomialkoeffizienten [mm]\pmat{n\\k}[/mm]?

Bezug
        
Bezug
Beweise das Symmetriegesetz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:19 Mi 06.10.2004
Autor: Moechte-gern-Mathe-genie

Hey! Danke fuer dein Interesse!
es gibt die Urnenmodellvorstellung! wenn man k-mal aus einer Urne mit n-Kugeln zieht --> ist die Wahrscheinlichkeit n ueber k. (das sind die moeglichen Faelle)

Bezug
        
Bezug
Beweise das Symmetriegesetz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:48 Mi 06.10.2004
Autor: informix

Hallo,
[willkommenmr]

>  Ich gruebel hier gerade, wie man dies beweisen koennte:
>   [mm]\vektor{n\\ n-k}[/mm] =  [mm]\vektor{n \\ k} [/mm]
>  haette dazu einer
> eine Idee? Ich haette eine Idee, bin mir jedoch nicht
> sicher, ob dies als beweis akzeptabel ist, oder ueberhaupt
> als Beweis gilt...
>  Meine Ueberlegung:
>  Urnenmodellvorstellung: Man zieht k - mal aus einer Urne
> mit n Kugeln.
> Da bei jedem k-ten ziehen n-Kugeln gezogen werden und als
> Vorraussetzung ohne Zuruecklegen vorgegeben ist, kann nur
> noch n-k mal gezogen werden. Die Formel n ueber k hat
> ebenfalls als Vorraussetzung: ohne Zuruecklegen! somit ist
> n ueber n-k = n ueber k....

Du wechselst bei deinen Überlegungen nur die Sichtweise:
mal beachtest du die k Kugeln der "eine Farbe",
mal die (n-k) Kugeln der "anderen Farbe".
Dadurch entsteht die Symmetrie.
Andererseits schlägt Hugo dir die Rechnung mit der Definiton der MBBinomialkoeffizienten vor, schau mal im Lexikon nach!

>  naja, war ein Versuch! Danke fuer die Hilfe!
>  Gruesse!

gar nicht so schlecht.


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Bezug
Beweise das Symmetriegesetz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:10 Mi 06.10.2004
Autor: Moechte-gern-Mathe-genie

cool, ok!!! danke fuer eure hilfe! echt saunett von euch!!!

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Bezug
Beweise das Symmetriegesetz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:29 Mi 06.10.2004
Autor: Moechte-gern-Mathe-genie

so, hab mir deine Antwort nun mal zu gemuete gefuehrt und stosse auf ein Problem:
k sind nich die kugeln in der Urne, sondern die MALE, DIE MAN ZIEHT. nach deiner erklaerung sehe ich dass dann so: wir haben n kugeln (nehmen wir an, wir betrachten die weissen kugeln) und die werden k mal gezogen. auf der anderen seite betrachten wir nun die schwarzen kugeln. nun verstehe ich das n ueber n-k so, dass wir also n kugeln (schwarze UND weisse minus der gezogenen male nehmen). das ergibt fuer mich nicht wirklich sinn... koenntest du deine Verfahrensweise bitte ein wenig genauer darlegen und erklaeren, wie man dies beweisen kann. Danke!
P.S.: wie gesagt: MOECHTE GERN Mathe genie ;)

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Beweise das Symmetriegesetz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:51 Mi 06.10.2004
Autor: Hugo_Sanchez-Vicario

Stell der folgendes vor:

Du ziehst k mal eine Kugel ohne Zurücklegen von aus einer Urne in der ursprünglich n Stück drin waren.

Wenn du damit fertig bis schreibst du dir die gezogenen Kugeln auf (du weißt natürlich nicht mehr, in welcher Reihenfolge du die Kugeln gezogen hast, du siehst wie beim Lotto nur noch die Nummern auf den Kugeln, weil die Kugeln ja unterscheidbar sind).

OK in eine möglicherweise lange Liste schreibst du jetzt untereinander alle Möglichkeiten, die es gibt, k aus n Kugeln zu ziehen, das macht genau [mm]\pmat{n\\k}[/mm] Zeilen. In deiner Liste schreibst du in eine zweite Spalte noch mal zur Kontrolle in jede Zeile die (n-k) nicht gezogenen Kugeln um sicherzugehen, dass nichts schief geht.

Wenn du die Spalten vertauscht hast du eine Auflistung aller Möglichkeiten (n-k) aus n Kugeln zu ziehen und die ursprünglich wichtige Spalte ist jetzt zur Kontrollspalte geworden.

Aber durchs Vertauschen der Spalten ändert sich ja die Länge deiner Liste nicht, oder?

Also ist es egal, ob du k aus n Kugeln ziehst, und dir diese k Kugeln notierst, ODER, ob du n-k Kugeln aus dem Pott nimmst und dir die k Stück aufschreibst die Übrigbleiben.

Deshalb ist [mm] \pmat{n\\k}=\pmat{n\\(n-k)} [/mm]

Es wäre übrigens eine interessante Lottoziehung, wenn nicht 6 'gute' aus 49, sondern 43 'schlechte' aus 49 gespielt werden würde.

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Beweise das Symmetriegesetz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:09 Mi 06.10.2004
Autor: Moechte-gern-Mathe-genie

hab mir auch gerade nochmal den kopf drueber zerborchen und mir is aufgefallen, dass ich einen denkfehler hatte und bin dann auch auf deine idee gekommen:
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm]
bedeutet einfach, dass von n kugeln k gezogen werden. Das Ergebnis ist gleichbedeutend wie wenn ich alle Kugeln bis auf die k's betrachte ( [mm] \vektor{n \\ n-k}. [/mm]
dein beispiel mit dem Lotto war gut! Wenn ich weiss welche Nummern nicht gezogen wurden, kenne ich auch die Nummern fuer den lucky winner....
zaehlen diese Ueberlegungen bereits als beweis?

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Beweise das Symmetriegesetz: LOESUNG des Beweises
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:44 Mi 06.10.2004
Autor: Moechte-gern-Mathe-genie

so, hab's geschafft und ich dachte, diejenigen, die jetzt diese Unterhaltung mitverfolgt haben und sich sogar daran beteiligt haben, interessiert das auch: also hier der druckfaehige ( ;) ) Beweis:

Menge mit n Elementen
Es gilt zu beweisen: [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] =  [mm] \vektor{n \\ n-k} [/mm]


[mm] \vektor{n \\ 0} [/mm] +  [mm] \vektor{n \\ 1} [/mm] +  [mm] \vektor{n \\ 2} [/mm] + ... +  [mm] \vektor{n \\ n-2} [/mm] +  [mm] \vektor{n \\ n-1} [/mm] +  [mm] \vektor{n \\ n} [/mm]
=  [mm] \vektor{n \\ n-0} [/mm] +  [mm] \vektor{n \\ n-1} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ n-2} [/mm] + ... +
     [mm] \vektor{n \\ n-(n-2)} [/mm] +  [mm] \vektor{n \\ n-(n-1)} [/mm] +  [mm] \vektor{n \\ n-n} [/mm]

= [mm] \vektor{n \\ n} [/mm] +  [mm] \vektor{n \\ n-1} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ n-2} [/mm] + ... +
     [mm] \vektor{n \\ 2} [/mm] +  [mm] \vektor{n \\ 1} [/mm] +  [mm] \vektor{n \\ 0} [/mm]

und dies ist nach dem Kommutativgesetz dasselbe, wie es vor dem Gleichheitszeichen
( [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] ).
--> [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ n-k} [/mm] !!!!!!!

so, geschafft!!! Vielen, vielen Dank fuer eure Hilfe!!! Waer bestimmt nicht selber auf meinen Denkfehler gekommen!





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Beweise das Symmetriegesetz: LOESUNG des Beweises
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:57 Mi 06.10.2004
Autor: Julius

Hallo!

Also, der Beweis ist jetzt bestimmt nicht richtig. Da hat mir der andere kombinatorische Beweis schon besser gefallen.

Du kannst doch aus

$a+b+c+d = a' + b' + c' + d'$

nicht folgern, dass $a=a'$, $b=b'$, $c=c'$ und $d=d'$ ist!

Richtig geht (neben dem kombinatorischen Beweis, der auch richtig ist) der Beweis so:

${n [mm] \choose [/mm] {n-k}} = [mm] \frac{n!}{(n-k)! \cdot (n-(n-k))!} [/mm] = [mm] \frac{n!}{(n-k)! \cdot k!} [/mm] = [mm] \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} [/mm] = {n [mm] \choose [/mm] k}$.

Liebe Grüße
Julius

Bezug
        
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Beweise das Symmetriegesetz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:39 Mo 05.01.2009
Autor: bmaya

Hallo. Ich hätte gerne gewusst bei welchen Gelegenheiten man denn dieses Symmetriegesetz anwendet und ob mir da jemand ein paar Beispiele nennen könnte. Danke.

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Beweise das Symmetriegesetz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:54 Di 06.01.2009
Autor: leduart

Hallo
Immer wenn k gross ist, vereinfacht das schnell.
also weisst du etwa direkt :
[mm] \vektor{n \\ n-1}=\vektor{n\\ 1} [/mm]
im übrigen ist das halt eine Übungsauggabe um mit den Ausdrücken umgehen zu lernen!
wenn du [mm] (a+b)^n [/mm] ansiehst, zeigt es, dass der Ausdruck in a,b symmetrisch ist, mehr nicht. Das weisst du auch vorher, aber jetzt denkst du auch dran, dass du nur die Hälfte der Koeff. ausrechnen musst.
In welchem Zusammenhang willst du das denn wissen?
gruss leduart

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Beweise das Symmetriegesetz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:10 Do 22.01.2009
Autor: bmaya

Vielen Dank leduart. Ich muss in ein paar Tagen ein Referat über Binomialkoeffizienten und das Pascalsche Dreieck halten und dabei den Beweis für das Symmetriegesetz und die Additionsformel vorrechnen. Daher wollte ich noch dies Unklarheit meinerseits aus dem Weg räumen 8-]

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