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| Aufgabe | Beweisen Sie die folgenden Aussagen für eine Matrix A [mm] \varepsilon [/mm] M (m x n, K):
a) [mm] rang(A)=rang(A^{t})
[/mm]
b) A hat ein Rechtsinverses [mm] \gdw [/mm] rang (A) = m
c) A hat ein Linksinverses [mm] \gdw [/mm] rang (A) = n |
Guten Abend liebes matheforum.net Forum,
ich hänge bei meinem Übungsblatt an zwei Aufgaben fest (diese und eine weitere die ich hier im Forum gepostet habe) und brauche eure Hilfe. Unser Übungsgruppenleiter hat uns schonmal vorgewarnt, dass diese beiden Aufgaben es in sich haben :).
Und ich häng irgendwie total auf dem Schlauch, was vielleicht auch an der Uhrzeit liegen könnte.
Zu Aufgabe a:
Mir ist klar, dass der rang die Anzahl der Zeilen angibt, die nicht Null werden. Aber hier handelt es sich ja um eine allgemeine Matrix ohne Angaben von Dimensionen und Einschränkungen und deswegen bin ich irgendwie überfordert.
Wie zeige ich also bei einer allgemeinen Matrix, dass der Rang dieser Matrix gleich der Rang dieser transpornierten Matrx ist? Normalerweise bringe ich ja die Matritzen in ZSF, um die Anzahl der Nichtnullzeilen herauszubekommen. Muss ich das hier auch machen, und wenn ja wie?
Zu b und c) Klar ist, es sind zwei Richtungen zu zeigen, soweit bin ich schonmal gekommen :).
b) A hat Rechtsinverses, d.h. [mm] A*B=I_{m} [/mm] und weiter, wie komme ich jetzt zum Rang. Muss ich dieses Rechtsinverses ausrechnen und wenn ja wie? Bringt mich das weiter?
rang (A) = m Die Anzahl der Nichtnullzeilen entspricht der Zeilenanzahl der Matrix, wieso muss es dann ein Rechtsinverses geben? Hier habe ich keine Ahnung wie weiterkomme.
c) Ähnlich wie bei b: A hat ein Linksinverses, d.h. [mm] A*B=I_{n}.
[/mm]
rang (A) = n, die gleichen Fragen wie bei b.
Deswegen würde ich gerne wissen, ob ihr mir helfen könnt und mir entscheidene Tipps zum weiteren Vorgehen geben könntet. Welche Vorüberlegungen habe ich vergessen, was wäre ein möglicher Ansatz?
Wäre um jede Hilfe dankbar.
Gute Nacht wünscht euch ein neues Mitglied hier im Forum :).
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Beweisen Sie die folgenden Aussagen für eine Matrix A
> [mm]\varepsilon[/mm] M (m x n, K):
> a) [mm]rang(A)=rang(A^{t})[/mm]
> b) A hat ein Rechtsinverses [mm]\gdw[/mm] rang (A) = m
> c) A hat ein Linksinverses [mm]\gdw[/mm] rang (A) = n
>
> Zu Aufgabe a:
>
> Mir ist klar, dass der rang die Anzahl der Zeilen angibt,
> die nicht Null werden.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Der Rang ist nicht "die Anzahl der Zeilen, die nicht Null werden", so habt Ihr das doch nicht definiert, oder?
Wir brauchen hier Eure ganz genaue Definition des Ranges, denn danach wird der Beweis sich richten müssen.
Gruß v. Angela
> Aber hier handelt es sich ja um eine
> allgemeine Matrix ohne Angaben von Dimensionen und
> Einschränkungen und deswegen bin ich irgendwie
> überfordert.
> Wie zeige ich also bei einer allgemeinen Matrix, dass der
> Rang dieser Matrix gleich der Rang dieser transpornierten
> Matrx ist? Normalerweise bringe ich ja die Matritzen in
> ZSF, um die Anzahl der Nichtnullzeilen herauszubekommen.
> Muss ich das hier auch machen, und wenn ja wie?
>
> Zu b und c) Klar ist, es sind zwei Richtungen zu zeigen,
> soweit bin ich schonmal gekommen :).
>
> b) A hat Rechtsinverses, d.h. [mm]A*B=I_{m}[/mm] und weiter, wie
> komme ich jetzt zum Rang. Muss ich dieses Rechtsinverses
> ausrechnen und wenn ja wie? Bringt mich das weiter?
> rang (A) = m Die Anzahl der Nichtnullzeilen entspricht der
> Zeilenanzahl der Matrix, wieso muss es dann ein
> Rechtsinverses geben? Hier habe ich keine Ahnung wie
> weiterkomme.
>
> c) Ähnlich wie bei b: A hat ein Linksinverses, d.h.
> [mm]A*B=I_{n}.[/mm]
> rang (A) = n, die gleichen Fragen wie bei b.
>
> Deswegen würde ich gerne wissen, ob ihr mir helfen könnt
> und mir entscheidene Tipps zum weiteren Vorgehen geben
> könntet. Welche Vorüberlegungen habe ich vergessen, was
> wäre ein möglicher Ansatz?
> Wäre um jede Hilfe dankbar.
>
> Gute Nacht wünscht euch ein neues Mitglied hier im Forum
> :).
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo angela,
danke für dein Hinweis. Stimmt, das, was ich hingeschrieben habe, erklärt den Rang nur anschaulich.
Unsere genaue Definition für Rang lautet:
Sei A [mm] \varepsilon [/mm] M (m x n, K). Dann heißen dim(ZR(A)) bzw. dim(SR(A)) der Zeilenrang bzw. Spaltenrang von A.
ZR(A):=span [mm] (z_{1},...,z_{m})
[/mm]
SR(A):=span [mm] (s_{1},...,s_{n})
[/mm]
d.h. also zu a) Z.z: [mm] dim(z_{1},...,z_{m})=dim(s_{1},...,s_{n})?
[/mm]
Und wie gehe ich dann hier weiter vor?
zu b) [mm] A*B=I_{m} [/mm]
dim(ZR(A))=n
zu c) [mm] A*B=I_{n}
[/mm]
dim(SR(A))=n
Ok das macht das ganze ein wenig klarer, trotzdem weiß ich leider nicht, wie ich hier bei a,b,c weiterkommen soll. Was könnte ich jetzt machen?
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> Hallo angela,
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> danke für dein Hinweis. Stimmt, das, was ich hingeschrieben
> habe, erklärt den Rang nur anschaulich.
>
> Unsere genaue Definition für Rang lautet:
>
> Sei A [mm]\varepsilon[/mm] M (m x n, K). Dann heißen dim(ZR(A)) bzw.
> dim(SR(A)) der Zeilenrang bzw. Spaltenrang von A.
Hallo,
bleibt aber immer noch die Frage,
1. wie Ihr "Rang" definiert habt
2. Ob Ihr schon gezeigt habt, daß Zeilen- und Spaltenrang gleich sind.
Gruß v. Angela
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Hallo,
das ging ja fix:
1) Ich glaube, ich habe gefunden, was du meinst:
Für A [mm] \varepsilon [/mm] M (m x n, K) definieren wir den Rang durch
Rang (A):= Spaltenrang(A)(= Zeilenrang(A)).
2) Ja haben wir :).
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> Beweisen Sie die folgenden Aussagen für eine Matrix A
> [mm]\varepsilon[/mm] M (m x n, K):
> a) [mm]rang(A)=rang(A^{t})[/mm]
Hallo,
fangen wir mal hiermit an:
wenn Ihr schon wißt, daß Zeilenrang=Spaltenrang=:Rang, dann ist bei dieser Aufgabe sehr wenig zu tun, denn es sind doch die Spalten von A die Zeilen von [mm] A^t [/mm] und bei den Spalten entsprechend.
Zu dem anderen evtl. spaäter, ich bin auf dem Sprung.
Gruß v. Angela
> b) A hat ein Rechtsinverses [mm]\gdw[/mm] rang (A) = m
> c) A hat ein Linksinverses [mm]\gdw[/mm] rang (A) = n
> Guten Abend liebes matheforum.net Forum,
>
> ich hänge bei meinem Übungsblatt an zwei Aufgaben fest
> (diese und eine weitere die ich hier im Forum gepostet
> habe) und brauche eure Hilfe. Unser Übungsgruppenleiter hat
> uns schonmal vorgewarnt, dass diese beiden Aufgaben es in
> sich haben :).
> Und ich häng irgendwie total auf dem Schlauch, was
> vielleicht auch an der Uhrzeit liegen könnte.
>
> Zu Aufgabe a:
>
> Mir ist klar, dass der rang die Anzahl der Zeilen angibt,
> die nicht Null werden. Aber hier handelt es sich ja um eine
> allgemeine Matrix ohne Angaben von Dimensionen und
> Einschränkungen und deswegen bin ich irgendwie
> überfordert.
> Wie zeige ich also bei einer allgemeinen Matrix, dass der
> Rang dieser Matrix gleich der Rang dieser transpornierten
> Matrx ist? Normalerweise bringe ich ja die Matritzen in
> ZSF, um die Anzahl der Nichtnullzeilen herauszubekommen.
> Muss ich das hier auch machen, und wenn ja wie?
>
> Zu b und c) Klar ist, es sind zwei Richtungen zu zeigen,
> soweit bin ich schonmal gekommen :).
>
> b) A hat Rechtsinverses, d.h. [mm]A*B=I_{m}[/mm] und weiter, wie
> komme ich jetzt zum Rang. Muss ich dieses Rechtsinverses
> ausrechnen und wenn ja wie? Bringt mich das weiter?
> rang (A) = m Die Anzahl der Nichtnullzeilen entspricht der
> Zeilenanzahl der Matrix, wieso muss es dann ein
> Rechtsinverses geben? Hier habe ich keine Ahnung wie
> weiterkomme.
>
> c) Ähnlich wie bei b: A hat ein Linksinverses, d.h.
> [mm]A*B=I_{n}.[/mm]
> rang (A) = n, die gleichen Fragen wie bei b.
>
> Deswegen würde ich gerne wissen, ob ihr mir helfen könnt
> und mir entscheidene Tipps zum weiteren Vorgehen geben
> könntet. Welche Vorüberlegungen habe ich vergessen, was
> wäre ein möglicher Ansatz?
> Wäre um jede Hilfe dankbar.
>
> Gute Nacht wünscht euch ein neues Mitglied hier im Forum
> :).
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Aufgabe | Beweisen Sie die folgenden Aussagen für eine Matrix A [mm] \varepsilon [/mm] M (m x n, K):
a) [mm] rang(A)=rang(A^{t})
[/mm]
b) A hat ein Rechtsinverses [mm] \gdw [/mm] rang (A) = m
c) A hat ein Linksinverses [mm] \gdw [/mm] rang (A) = n |
Hallo Angela,
stimmt da hast du Recht. Mit dieser Defintion ist es recht praktisch. D.h. meine Argumentation müsste dann so aussehen?:
Rang (A):= [mm] Zeilenrang(A)=Spaltenrang(A)=Zeilenrang(A^{t})=Spaltenrang(A^{t})=Rang(A^{t})
[/mm]
Denn wir wissen, dass der Spaltenrang(A)=Zeilenrang(A). Das bedeutet, dass der [mm] Rang(A^{t} [/mm] dem Rang (A) entspricht. Denn Rang(A):=Spaltenrang(A)=Zeilenrang(A). Wird die Matrix tranponiert, dann ist [mm] Spaltenrang(A)=Zeilenrang(A^{t}). [/mm] Und der ist nach Definition [mm] =Spaltenrang(A^{t})=Rang(A^{t})
[/mm]
Ist diese Argumentation soweit richtig? Fehlt etwas?
zu b und c hätte ich nun auch eine konkrete Idee:
b) [mm] "\Rightarrow" [/mm] Sei A "rechts-"invertierbar. Es gibt eine rechtsinverse Matrix B, so dass A*B Zeilenstufenform hat und [mm] =I_{m} [/mm] ist. Wir wissen, eine nxn Matrix ist genau invertierbar wenn Rang(A)=n, d.h. eine mxn Matrix ist rechtsinvertierbar wenn der der Zeilenrang dim(ZR(A))=m. Da der Zeilenrang(A)=Rang(A) ist, gilt Rang(A)=m. Kann man das hier so sagen, ist das mathematisch schlüssig? Oder fehlt etwas entscheidenes?
[mm] "\Leftarrow" [/mm] Sei m=rang(A)=Zeilenrang(A)=dim(ZR(A))=m. Dann gibt es eine invertiebare Matix B, so dass A*B reduzierte Zeilensufenform hat. Da aus 1 [mm] \le i_{1} [/mm] < .... < [mm] i_{m}=m [/mm] folgt [mm] i_{1}=1, i_{2}=2,..., i_{m}=n, [/mm] erhalten wir AB=I{m}. Also hat A ein Rechtsinverses.
Auch hier die Frage, ist das logisch, kann man das so sagen. Vor allem, habe ich bei beiden Richtungen bei Zeilen(Spalten)rang/raum nicht durcheinander geworfen?. Sollte das soweit richtig sein, ist ja dann c nicht mehr schwer.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Di 16.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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