Beweise geschickt < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Di 28.10.2008 | | Autor: | Hachiko8 |
| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN [/mm] (mit 0). Beweise geschickt:
[mm] \summe_{k=0}^{n} (-1)^k [/mm] * [mm] 2^k \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] (-1)^n
[/mm]
und
[mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{(-1)^k}{k+1} \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm]
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ich bin bei beiden gleichungen nur bis zur induktionsbehauptung gekommen, danach weiß ich leider nicht mehr weiter wie man was umformen bzw. zerlegen muss, um zum ergebnis zu kommen.
es wäre echt nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Induktionsanfang: n=0
linke seite: [mm] (-1)^0 [/mm] * [mm] 2^0 \vektor{0 \\ 0} [/mm] = 1
rechte Seite: [mm] (-1)^0 [/mm] = 1
Induktionsvoraussetzung: [mm] \summe_{k=0}^{n} (-1)^k [/mm] * [mm] 2^k \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] (-1)^n
[/mm]
Induktionsbehauptung: n -> n+1
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} (-1)^k [/mm] * [mm] 2^k \vektor{n+1 \\ k} [/mm] = [mm] (-1)^{n+1}
[/mm]
(dasselbe prinzip auch bei der anderen gleichung.)
so dann kommt der Induktionsschritt, wo ich halt nicht mehr weiter weiß...
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} (-1)^k [/mm] * [mm] 2^k \vektor{n+1 \\ k} [/mm] = [mm] (-2)^k [/mm] * [mm] \vektor{n+1 \\ k} [/mm] = [mm] (-2)^k [/mm] * [mm] \bruch{n+1 (n+1-1) (n+1-2)...((n+1)-k+2) ((n+1)-k+1)}{k!} [/mm]
joah, ich hab versucht das geschickt umzuformen, aber glaub kaum, dass das so sinnvoll ist. und den 2. beweis krieg ich erst recht nicht hin...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:40 Di 28.10.2008 | | Autor: | Steini |
Hi,
dein Ansatz führt auf jeden Fall zum Ziel, ich gebe dazu aber jetzt mal keinen Hinweis und verweise auf den Aufgabentext:
Beweise geschickt...
Die vollständige Induktion ist sicherlich eines der ersten Beweismittel, die einem einfallen, aebr ist das hier geschickt?
Ich würde es auf jeden Fall nicht damit machen!
Ihr habt ja warscheinlich in der Vorlesung die "allgemeine Binomische Formel" gehabt.
Wenn du damit ein wenig rumhantierst, dann wirst du das schon schaffen.
Tipp: Es lohnt sich fast immer die letzten Vorlesungen noch mal durchzugucken.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Di 28.10.2008 | | Autor: | Hachiko8 |
wir hatten nur mal eine vorlesung , wo der binomische lehrsatz erwähnt wurde, das wars...und selbst wenn, wüsste ich nicht, wo man da die binomische formel anwenden könnte o.o
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Hallo Hachiko8,
schreibe dir doch mal mit dem binom. Lehrsatz auf, was denn [mm] $(2-1)^n [/mm] \ [mm] \left(=1^n\right)$ [/mm] ist ...
Dann fällt der Groschen 
LG
schachuzipus
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