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| Aufgabe | Verbindet man die Seitenmittelpunkte eines Vierecks, so erhält man ein Parallelogramm.
Beweise mit Hilfe von vektoren. |
Hat jemand einen Tipp für mich, wie ich das beweisen kann?
ich habe ehct Probleme mit Vektoren was zu beweisen, wie schon bei der letzten aufgabe das Problem: es erscheint mir alles zu logisch!
MfG
Mathegirl
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> Verbindet man die Seitenmittelpunkte eines Vierecks, so
> erhält man ein Parallelogramm.
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> Beweise mit Hilfe von vektoren.
> Hat jemand einen Tipp für mich, wie ich das beweisen
> kann?
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> ich habe ehct Probleme mit Vektoren was zu beweisen, wie
> schon bei der letzten aufgabe das Problem: es erscheint mir
> alles zu logisch!
>
> MfG
> Mathegirl
Hello again !
1.) mach dir eine Zeichnung des Vierecks mit seinen Seiten-
mittelpunkten, führe Bezeichnungen für Punkte und für
die Seitenvektoren ein
2.) stelle die Seitenvektoren des neuen Vierecks (Seitenmitten-
viereck) durch jene des ursprünglichen Vierecks dar
3.) mach dir klar, wie man die Parallelogrammeigenschaft
vektoriell beschreibt
4.) versuche dann, die entsprechende Gleichung nachzuweisen
LG Al-Chw.
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aufgezeichnet habe ich es ja, aber ab Punkt 3 hängt es dann!!! da komme ich nicht weiter! ich weiß leider nicht genau welche Gleichung ich nutzen könnte um das zu zeigen!! es hat was mit der seitenverschiebung zu tun, aber ich kann es nicht aufschreiben.
MfG Mathegirl
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Hey,
das ist im wesentliche viel Rechnen! Wenn Du die Eckpunkte in karthesischen Koordinaten gewählt hast, berechnest Du erst die Seitenmittelpunkte und ihre Verbindungsvektoren, jetzt zeigst Du durch simples Nachrechnen, dass zwei gegenüberliegenden Vektoren linear abhängig sind und die gleiche Norm haben, das andere Paar von Vektoren ist dann notwendigerweise auch parallel - also muss es ein Parallelogramm sein!
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> aufgezeichnet habe ich es ja, aber ab Punkt 3 hängt es
> dann!!!
Hallo,
was hast Du denn jetzt zu Papier gebracht? Allein die Information, daß Du etwas aufgezeichnet hast, reicht nicht, um Dir gezielt weiter zuhelfen.
Ich gehe mal davon aus, daß Du ein Viereck ABCD vorliegen hast mit den 4 Seitenvektoren
[mm] \vec{a}:=\overrightarrow{AB}, \vec{b}:=\overrightarrow{BC}, \vec{c}:=\overrightarrow{CD}, \vec{d}:=\overrightarrow{DA}
[/mm]
Was kommt eigentlich heraus, wenn man die 4 Vektoren addiert? (/*)
Die Mittelpunkte der Seiten des Vierecks bezeichne ich wie folgt
[mm] M_1 [/mm] Mitte von AB
[mm] M_2 [/mm] Mitte von BC
[mm] M_3 [/mm] Mitte von CD
[mm] M_4 [/mm] Mitte von AD.
Das von ihnen gebildete Viereck [mm] M_1M_2M_3M_4 [/mm] hat die Seitenvektoren
[mm] \overrightarrow{M_1M_2}, \overrightarrow{M_2M_3}, \overrightarrow{M_3M_4}, \overrightarrow{M_4M_1}.
[/mm]
(Nicht ganz nebenbei: alles, was ich bis hierher getippt habe, wäre Dein Job gewesen.)
Wenn man zeigen will, daß das Viereck [mm] M_1M_2M_3M_4 [/mm] ein Parallelogramm ist, muß man die Parallelität welcher Seiten nachweisen?
Damit weißt Du, die Parallelität welcher Vektoren zu zeigen ist. Die welcher?
Woran erkennt man, daß zwei Vektoren parallel sind?
Schreibe nun beide Vekoren mithilfe der oben am Viereck ABCD eingeführten Bezeichnungen. Beachte [mm] (\*).
[/mm]
Was hast Du jetzt dastehen. Siehst Du die Parallelität schon?
Gruß v. Angela
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