Beweise um Abbildungen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | f: X -> Y und g: Y -> Z seien Abbildungen. Beweisen oder wiederlegen Sie folgende Aussagen:
a) Sind f und g injektiv, so ist g ° f injektiv
b) Ist g ° f injektiv, so ist f injektiv
c) Ist g ° f injektiv, so ist g injektiv |
Hallo Forum,
ich rechne gerade Übungen und haben oben genannte Aufgabe.
a) habe ich wie folgt gelöst:
a, b [mm] \varepsilon [/mm] X, a [mm] \not= [/mm] b
=> f(a),f(b) [mm] \varepsilon [/mm] Y, f(a) [mm] \not= [/mm] f(b)
=> g(f(a), g(f(b) [mm] \varepsilon [/mm] Z
g(f(a)) [mm] \not= [/mm] g(f(b))
=> g ° f: X -> Z ist somit injektiv
b) habe ich wie folgt gelöst:
g°f, x -> Z injektiv gegeben
d.h.
g(f(a) [mm] \not= [/mm] g(f(b) und das ist nur erfüllt,
wenn [mm] a\not= [/mm] b ist und [mm] f(a)\not= [/mm] f(b),also muss f injektiv sein.
c) hier habe ich leider keine Idee.
Meine Frage:
Kann ich a) und b) wie oben beschrieben lösen bzw. ist der Beweis ok, oder kann man das nicht so schreiben?
Weiterhin brauche ich für c) einen Ansatz, da ich keine Idee habe, wie ich beweisen kann, dass g nicht injektiv sein muss.
Gruss
|
|
| |
|
Hat niemand eine Idee oder kann mir Feedback geben?
|
|
|
| |
|
> f: X -> Y und g: Y -> Z seien Abbildungen. Beweisen oder
> wiederlegen Sie folgende Aussagen:
>
> a) Sind f und g injektiv, so ist g ° f injektiv
> b) Ist g ° f injektiv, so ist f injektiv
> c) Ist g ° f injektiv, so ist g injektiv
> Hallo Forum,
> ich rechne gerade Übungen und haben oben genannte
> Aufgabe.
>
> a) habe ich wie folgt gelöst:
> a, b [mm]\varepsilon[/mm] X, a [mm]\not=[/mm] b
> => f(a),f(b) [mm]\varepsilon[/mm] Y, f(a) [mm]\not=[/mm] f(b)
> => g(f(a), g(f(b) [mm]\varepsilon[/mm] Z
> g(f(a)) [mm]\not=[/mm] g(f(b))
> => g ° f: X -> Z ist somit injektiv
Hallo,
im Prinzip kannst Du es so machen, ich sehe nichts Falsches.
Du arbeitest mit
h injektiv <==> [mm] (a\not=b [/mm] ==> [mm] f(a)\not=f(b) [/mm] ).
In der Anwendung ist oft eine andere Formulierung "geschmeidiger":
h injektiv <==> ( f(a)=f(b) ==> a=b).
Du müßtest Deinen Beweis aber noch ein bißchen kommentieren.
Ein paar Worte sind erlaubt und auch erwünscht, und sie machen Deinem Korrektor das Lesen um Klassen angenehmer.
Ich lasse Deinen Beweis jetzt mit Deiner Idee und schreibe auf, wie in etwa man das machen sollte.
Seien f und g injektiv.
Zu zeigen: dann ist [mm] g\circ [/mm] f injektiv.
Bew.: Seien a,b [mm] \in [/mm] X mit [mm] a\not=b.
[/mm]
Da f n.V. injektiv ist, folgt hieraus
[mm] f(a)\not=f(b).
[/mm]
Da n.V. g injektiv ist, folgt
[mm] g(f(a))\not=g(f(b)).
[/mm]
<==> [mm] (g\circ f)(a)\not=(g\circ [/mm] f)(b) (Nach Def. der Verkettung)
Insgesamt gilt also [mm] a\not=b [/mm] ==> [mm] (g\circ f)(a)\not=(g\circ [/mm] f)(b) ,
und somit ist [mm] g\circ [/mm] f injektiv.
>
> b) habe ich wie folgt gelöst:
> g°f, x -> Z injektiv gegeben
> d.h.
> g(f(a) [mm]\not=[/mm] g(f(b) und das ist nur erfüllt,
> wenn [mm]a\not=[/mm] b ist und [mm]f(a)\not=[/mm] f(b),also muss f injektiv
> sein.
Hier führst Du einen Beweis durch Widerspruch, es ist mir nicht ganz klar, ob Dir das klar ist.
Auf jeden Fall mußt Du, wenn Du hiermit einen Blumentopf gewinnen willst, die Argumentation deutlich herausarbeiten.
Der informierte Leser darf nicht großartig nachdenken müssen.
Versuch' das mal.
Wenn Du ein bißchen Zeit hast, solltest Du unbedingt auch mal den Weg über f(a)=f(b) ==> a=b versuchen, denn diese Argumentation wird oft verwendet:
Voraussetzung: g ° f injektiv
Zu zeigen: dann ist f injektiv.
Beweis: Seien a,b [mm] \in [/mm] X und sei
f(a)=f(b).
Hieraus mußt Du nun irgendwe folgern, daß dann a=b ist. Damit wäre die Injektivität gezeigt.
Los geht's.
Sei f(a)=f(b)
Nun wende mal g darauf an und berücksichtige, daß [mm] g\circ [/mm] f injektiv ist.
>
> c) hier habe ich leider keine Idee.
Hast Du schonmal in Erwägung gezogen, daß die Aussage nicht stimmt?
Wenn [mm] g\circ [/mm] f injektiv ist, ist f injektiv, das wissen wir.
Es muß aber f nicht surjektiv sein.
Und die Abbildung g darf ja auch auf solche Elemente angewendet werden,die nicht im Bild f(X) liegen.
Vielleicht reichen diese Hinweise schon.
>
> Meine Frage:
> Kann ich a) und b) wie oben beschrieben lösen bzw. ist der
> Beweis ok, oder kann man das nicht so schreiben?
Wie bereits gesagt: spendiere ein paar Worte!
Gruß v. Angela
|
|
|
|
