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Forum "Proofs by induction" - Beweise vollständige Induktion
Beweise vollständige Induktion < Proofs by induction < Real Analysis (Single Variable) < Real Analysis < Uni-Calculus < University < Maths <
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Beweise vollständige Induktion: Hilfestellung
Status: (Question) answered Status 
Date: 15:13 Fr 19/10/2018
Author: ireallydunnoanything

Aufgabe 1
Finden Sie einen Ausdruck fur die folgende Summe und beweisen Sie die daraus entstehende Behauptung mit vollstaendiger Induktion:

[mm] \summe_{j=1}^{n} j^3 [/mm]

Aufgabe 2
Beweisen Sie die folgenden Behauptungen mittels vollstaendiger Induktion.

a) Es seien [mm] a_{1}, [/mm] . . . , [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{1}, [/mm] . . . , [mm] b_{n} [/mm] Zahlen mit [mm] a_{j} [/mm] < [mm] b_{j} [/mm] fuer ¨ j = 1, . . . , n. Dann ist a + · · · + [mm] a_{n} [/mm] < [mm] b_{1} [/mm] + · · · + [mm] b_{n} [/mm]


b) Es seien [mm] a_{1}, [/mm] . . . , [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{1}, [/mm] . . . , [mm] b_{n} [/mm] Zahlen mit 0 < [mm] a_{j} [/mm] < [mm] b_{j} [/mm] fur ¨ j = 1, . . . , n. Dann ist [mm] a_{1} [/mm] · · ·  [mm] a_{n} [/mm] < [mm] b_{1} [/mm] · · · [mm] b_{n} [/mm]


c) Es sei p [mm] \ge [/mm] 2 dann gilt für alle n [mm] \in \IN p^n [/mm] > n


d) Es sei p [mm] \ge [/mm] 3. Dann gilt für alle n [mm] \in \IN p^n [/mm] > [mm] n^2 [/mm]


e) Für alle n [mm] \in \IN, [/mm]  n [mm] \ge [/mm] 5 gilt 2n > [mm] n^2 [/mm]

Aufgabe 3
Beweisen Sie die folgenden Gleichungen per vollständiger Induktion.

a) [mm] \summe_{j=1}^{n} j^2 [/mm] = n*(n+1)*(2n+1)/6

Geben sie eine entsprechende Aussage für Teilmengen  von  [mm] \in [/mm] an, die alle bis auf endlich viele Zahlen enthalten.

Ich befinde mich momentan im ersten Semester Mathematik an der Universität Hamburg. Dies sind die ersten Aufgaben unseres ersten Übungsblattes in Analysis I. Da ich was Beweise betrifft ein absoluter Anfänger bin, bitte ich, zumindest für den Anfang um vollständige und anschauliche Lösungen, anhand derer es mir möglich ist, beweisen und die dafür nötigen Schritte, vor Allem für die vollständige Induktion, nachzuvollziehen.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Beweise vollständige Induktion: zu Aufgabe (1)
Status: (Answer) finished Status 
Date: 18:56 Fr 19/10/2018
Author: Loddar

Hallo ireallydunnoanything,

[willkommenmr] !!

Grundsätzlich wünschen wir uns hier schon etwas mehr an eigenen Lösungsansätzen (siehe z.B. auch hier in unseren Forenregeln).


Zu Aufgabe 1 kann ich Dir []diesen Link empfehlen.

Versuche diese Aufgabe anhand der dort genannten Lösung nachzuvollziehen und poste uns dann bitte Deine Ansätze zu den anderen Aufgaben.


Gruß
Loddar

Bezug
        
Bezug
Beweise vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 20:40 Fr 19/10/2018
Author: ChopSuey


> Da ich was
> Beweise betrifft ein absoluter Anfänger bin, bitte ich,
> zumindest für den Anfang um vollständige und anschauliche
> Lösungen


Wirf mal einen Blick in unsere Forenregeln.




Bezug
        
Bezug
Beweise vollständige Induktion: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 22:57 Fr 19/10/2018
Author: Valkyrion

Hallo;
Also bei der vollständige induktion geht es darum eine Behauptung zu beweisen, indem man zuerst mal überprüft ob die Behauptung für n=1 (bzw. für den ersten Wert für den die Behauptung gelten soll) gilt (Induktionsanfang). Das heißt Du setzt z. B. bei Aufgabe 3 für n den Wert 1 ein. Dadurch wirst Du feststellen, dass die Aussage für n=1 stimmt. Das heißt also der Induktionsanfang ist richtig und wir können den Induktionsschluss durchführen. Dazu setzen wir jetzt nicht mehr n ein, sondern für jedes n setzen wir (n+1) ein:

also lautet der Beginn des Induktionsschlusses:
[mm] \summe_{j=1}^{n+1}j^{2}=\bruch{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6} [/mm]

[mm] \summe_{j=1}^{n}j^{2}+(n+1)^{2}=\bruch{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6} [/mm]

Da wir beim Induktionsanfang ja gezeigt haben, dass gilt:
[mm] \summe_{j=1}^{n}j^{2}=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm]
können wir auch schreiben:

[mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^{2}=\bruch{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6} [/mm]

und jetzt muss man eine oder beide Seiten solange durch Ausklammern kürzen, usw. umformen, bis auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens dasselbe steht.


Bezug
                
Bezug
Beweise vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 00:11 Sa 20/10/2018
Author: ChopSuey

beim Induktionsschritt wird nicht $(n+1)$ für $n$ eingesetzt, sondern es wird die zu zeigende Aussage $A(n)$ durch Äquivalenzumformungen zu $A(n+1)$ erweitert und anschließend wird gezeigt, dass die Aussage, ausgehend von der Induktionsvoraussetzung, wahr bleibt.

$(n+1)$ einzusetzen hilft manchmal, zu sehen, wie $A(n+1)$ aussehen muss, aber ist nicht Bestandteil des Induktionsschrittes.

Bezug
                        
Bezug
Beweise vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 17:34 Di 23/10/2018
Author: fred97


> beim Induktionsschritt wird nicht [mm](n+1)[/mm] für [mm]n[/mm] eingesetzt,
> sondern es wird die zu zeigende Aussage [mm]A(n)[/mm] durch
> Äquivalenzumformungen zu [mm]A(n+1)[/mm] erweitert und
> anschließend wird gezeigt, dass die Aussage, ausgehend von
> der Induktionsvoraussetzung, wahr bleibt.

Mit Äquivalenzumformungen bin ich nicht einverstanden.

Es ist doch ganz einfach : im Induktionsschritt nimmt man an,  dass A(n) für ein natürliches n richtig  ist, und folgert daraus die Richtigkeit von A(n+1) .

>  
> [mm](n+1)[/mm] einzusetzen hilft manchmal, zu sehen, wie [mm]A(n+1)[/mm]
> aussehen muss, aber ist nicht Bestandteil des
> Induktionsschrittes.


Bezug
        
Bezug
Beweise vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 01:18 Sa 20/10/2018
Author: HJKweseleit



> 2 e) Für alle n [mm]\in \IN,[/mm]  n [mm]\ge[/mm] 5 gilt 2n > [mm]n^2[/mm]

Das ist falsch, vermutlich ein Verdreher, < statt > .



Bezug
                
Bezug
Beweise vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 14:49 Di 23/10/2018
Author: ireallydunnoanything

Entschuldigung, dafür, dass ich keinerlei eigene Ansätze habe, ich bin wie gesagt noch totaler Anfänger und komme mit Beweisen u.Ä. bis jetzt noch nicht wirklich zurecht.

Ich bitte deswegen erneut um Hilfe, falls ich Aufgaben ohne Ansätze poste, mir ist schon klar, dass das nicht gern gesehen ist, allerdings fehlt mir bis jetzt noch jeglicher Zugang zu Beweisstrukturen und Ähnlichem.

Grüße

ireallydunnoanything

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Bezug
Beweise vollständige Induktion: Hinweise anwenden
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 16:10 Di 23/10/2018
Author: Loddar

Hallo ireallydunnoanything,

Du hast doch oben schon zwei vollständige Beweise geliefert bekommen (einmal direkt, einmal per Link).

Versuche dies auf eine der anderen Aufgaben zu übertragen und poste mal, wie weit Du kommst.

Und dann schauen wir gemeinsam mal weiter ...


Gruß
Loddar

Bezug
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