Beweise zu Inversen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:09 Do 09.01.2014 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Gleichungen.
a) (A^-1)^-1 = A
b) [mm] (A^T)^-1 [/mm] = [mm] (A^-1)^T
[/mm]
c) Sind B und C inverse Matrizen zu A, so folgt B=C |
Hallo,
ich habe mich mal an die Beweise versucht und bisschen was zusammengebracht:
a) A*A^-1 = A^-1 * A = E --> Damit sind sowohl A als auch A^-1 invertierbar, sodass (A^-1)^-1 = A (hier bin ich mir sehr unsicher?)
b) A^-1*A = E
[mm] (A^-1*A)^T [/mm] = [mm] E^T
[/mm]
[mm] A^T [/mm] * [mm] (A^-1)^T [/mm] = E
[mm] (A^T)^-1 [/mm] * [mm] A^T [/mm] * [mm] (A^-1)^T [/mm] = [mm] (A^T)^-1 [/mm] * E
[mm] (A^-1)^T [/mm] = [mm] (A^T)^-1
[/mm]
(hier hab ich einen Tipp von einem Kumpel bekommen wie man anfängt, gibt es Tricks, um von selbst auf diese Ansätze zu kommen?)
c) AB = BA = E = AC = CA --> C = CE = C(AB) = (CA)B = EB = B
Mein Problem ist es, den richtigen Ansatz zu finden und da wollte ich fragen, ob es da hilfreiche Tipps und Tricks zu gibt?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:21 Do 09.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie folgende Gleichungen.
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> a) (A^-1)^-1 = A
> b) [mm](A^T)^-1[/mm] = [mm](A^-1)^T[/mm]
> c) Sind B und C inverse Matrizen zu A, so folgt B=C
> Hallo,
>
> ich habe mich mal an die Beweise versucht und bisschen was
> zusammengebracht:
>
> a) A*A^-1 = A^-1 * A = E --> Damit sind sowohl A als auch
> A^-1 invertierbar,
In diesem Aufgabenteil ist doch A als invertierbar vorausgesetzt (steht zwar nich oben, aber ohne diese Vor. ist die Aufgabe sinnlos)
> sodass (A^-1)^-1 = A (hier bin ich mir
> sehr unsicher?)
Zurecht, denn gezeigt hast Du nix !
Setze [mm] B:=(A^{-1})^{-1}. [/mm] Zu zeigen ist B=A.
Dazu berechne mal [mm] B*A^{-1} [/mm] und zeige dann:
B= [mm] B*A^{-1}A=A.
[/mm]
>
> b) A^-1*A = E
> [mm](A^-1*A)^T[/mm] = [mm]E^T[/mm]
> [mm]A^T[/mm] * [mm](A^-1)^T[/mm] = E
Hier bist Du doch schon fertig !
Aus [mm] A^T*(A^{-1})^T=E [/mm] folgt doch das Gewünschte !
> [mm](A^T)^-1[/mm] * [mm]A^T[/mm] * [mm](A^-1)^T[/mm] = [mm](A^T)^-1[/mm] * E
> [mm](A^-1)^T[/mm] = [mm](A^T)^-1[/mm]
>
> (hier hab ich einen Tipp von einem Kumpel bekommen wie man
> anfängt, gibt es Tricks, um von selbst auf diese Ansätze
> zu kommen?)
>
> c) AB = BA = E = AC = CA --> C = CE = C(AB) = (CA)B = EB =
> B
Ja, so kann man das machen.
>
>
> Mein Problem ist es, den richtigen Ansatz zu finden und da
> wollte ich fragen, ob es da hilfreiche Tipps und Tricks zu
> gibt?
Ein Kochrezept gibt es nicht.
FRED
>
>
>
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 Do 09.01.2014 | | Autor: | Mathics |
> Zurecht, denn gezeigt hast Du nix !
>
> Setze [mm]B:=(A^{-1})^{-1}.[/mm] Zu zeigen ist B=A.
>
> Dazu berechne mal [mm]B*A^{-1}[/mm] und zeige dann:
>
> B= [mm]B*A^{-1}A=A.[/mm]
Das wäre dann B = [mm] (A^{{-1}})^{-1} *A^{-1} [/mm] * A = E*A = A
Wieso kann man denn B = (A^-1)^-1 setzen?
Kann man c) noch anders beweisen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:47 Do 09.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Zurecht, denn gezeigt hast Du nix !
> >
> > Setze [mm]B:=(A^{-1})^{-1}.[/mm] Zu zeigen ist B=A.
> >
> > Dazu berechne mal [mm]B*A^{-1}[/mm] und zeige dann:
> >
> > B= [mm]B*A^{-1}A=A.[/mm]
>
> Das wäre dann B = [mm](A^{{-1}})^{-1} *A^{-1}[/mm] * A = E*A = A
Ja
>
> Wieso kann man denn B = (A^-1)^-1 setzen?
Warum nicht ? Ich hab nur der Übersicht wegen eine Abkürzung eingeführt.
Wenn Du willst kannst Du auch setzen:
$ PAULHEINRICHVONUNDZUGRAFHUBERAUFHOHENFELZEN:= [mm] (A^{-1})^{-1}$.
[/mm]
Das kannst Du machen, nur ist das dann keine Abkürzung mehr für Schreibfaule und die Übersicht leidet gewaltig.
>
>
> Kann man c) noch anders beweisen?
Ja: Aus AB=E=AC folgt durch Multiplikation von links mit [mm] A^{-1}:
[/mm]
B= [mm] A^{-1}=C.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 Do 09.01.2014 | | Autor: | Mathics |
> > Setze [mm]B:=(A^{-1})^{-1}.[/mm] Zu zeigen ist B=A.
> >
> > Dazu berechne mal [mm]B*A^{-1}[/mm] und zeige dann:
> >
> > B= [mm]B*A^{-1}A=A.[/mm]
>
> Das wäre dann B = [mm](A^{{-1}})^{-1} *A^{-1}[/mm] * A = E*A = A
Okey, das mann [mm] B:=(A^{-1})^{-1} [/mm] definieren kann, ist mir klar geworden.
Wie kommt man aber auf B= [mm]B*A^{-1}A=A.[/mm]
Ich versuch mir das grad irgendwie in der Form "Wenn ich links was ändere, muss ich auch rechts dasselbe ändern" vorzustellen aber blick da nicht so ganz durch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:29 Do 09.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > Setze [mm]B:=(A^{-1})^{-1}.[/mm] Zu zeigen ist B=A.
> > >
> > > Dazu berechne mal [mm]B*A^{-1}[/mm] und zeige dann:
> > >
> > > B= [mm]B*A^{-1}A=A.[/mm]
> >
> > Das wäre dann B = [mm](A^{{-1}})^{-1} *A^{-1}[/mm] * A = E*A = A
>
>
> Okey, das mann [mm]B:=(A^{-1})^{-1}[/mm] definieren kann, ist mir
> klar geworden.
>
> Wie kommt man aber auf B= [mm]B*A^{-1}A=A.[/mm]
>
> Ich versuch mir das grad irgendwie in der Form "Wenn ich
> links was ändere, muss ich auch rechts dasselbe ändern"
> vorzustellen aber blick da nicht so ganz durch.
Ist [mm]B:=(A^{-1})^{-1}[/mm], so ist doch B die zu [mm] A^{-1} [/mm] inverse Matrix. Also ist
[mm] E=B*A^{-1}.
[/mm]
Dann folgt:
[mm] $A=E*A=(B*A^{-1})*A=B*(A^{-1}*A)=B*E=B$
[/mm]
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:41 Do 09.01.2014 | | Autor: | Mathics |
Aaah okey, jetzt verstehe ich. Echt vielen vielen Dank!! :)
Hast du vielleicht noch weitere Gleichungen mit Determinanten und Inversen, die ein Erstsemester-Student in Lineare Algebra 1 beweisen können sollte?
Ich denke, ich benötige vor der Klausur noch etwas Training darin und würde sehr gern den Tag mit dem Beweisen von solchen Gleichungen verbringen.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Sa 11.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hi,
> Mein Problem ist es, den richtigen Ansatz zu finden und da
> wollte ich fragen, ob es da hilfreiche Tipps und Tricks zu
> gibt?
Fred schrieb dass es keine Kochrezepte gibt. Damit hat er Recht. Dennoch gibt es so ein paar kleine Sachen, die man manchmal anwenden kann.
Bspw. hattest du zu zeigen: [mm] (A^{-1})^{-1}=A
[/mm]
Vielleicht erinnert dich das an Eigenschaften von Gruppen? Da ist meist auch zu zeigen: G sei Gruppe und [mm] a\in{G}. [/mm] Dann gilt: [mm] (a^{-1})^{-1}=a.
[/mm]
Naja, nun ist das nicht verwunderlich. Denn es gibt ja die allgemeine lineare Gruppe ("Matrizengruppe").
Wenn du allgemein den Beweis für die Gruppe schon einmal gemacht hast, dann ist es nicht schwer das ganze noch einmal auf eine spezielle Gruppe anzuwenden.
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> LG
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