Beweise zu Polynom-Unterraum < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm]P_n[/mm] der [mm]\IR[/mm]-Vektorraum aller Polynome vom Grad höchstens [mm]n[/mm]. Man zeige, dass die folgenden Teilmengen von [mm]P_n[/mm] auch Unterräume von [mm]P_n[/mm] sind und bestimme jeweils eine Basis für diese Unterräume.
a) [mm]U_1 := \left \{ p \in P_n | \forall x \in \IR : p(x) = p(-x) \right \}[/mm]
b) [mm]U_2 := \left \{ p \in P_n | p(0)=0 \right \}[/mm]
c) [mm]U_3 := \left \{ p \in P_n | \mbox{p(x) hat eine waagerechte Tangente an der Stelle x = 0} \right \}[/mm] |
Hallo zusammen,
bzgl. a) habe ich bisher Folgendes gemacht:
zz.: [mm]U_1 \subset P_n[/mm] ist ein Unterraum von [mm]P_n[/mm]
Unterraum ist nicht leer
[mm]p(x) = 0*x^n + 0*x^{n-1} + \ldots + 0*x^0[/mm] ist Element von [mm]U_1[/mm], es gilt dabei für [mm]\forall x \in \IR[/mm]: [mm]p(x)=0=p(-x)[/mm].
Also ist [mm]0 \in U_1[/mm].
Abgeschlossenheit unter Vektoraddition
[mm]a := \vektor{a_n * x^n \\
\vdots \\
a_1*x \\
a_0}[/mm] , [mm]a := \vektor{b_n * x^n \\
\vdots \\
b_1*x \\
b_0}[/mm] [mm]\in U_1[/mm]
[mm](a+b)(x) = a_n * x^n + \ldots + a_1*x + a_0 + b_n*x^n + \ldots + b_1*x + b_0 = (a_n+b_n)*x^n + (a_1+b_1)*x + (a_0+b_0)[/mm]
[mm](a+b)(x) = a(x) + b(x) = a(-x) + b(-x) = (a+b)(-x)[/mm]
Abgeschlossenheit unter Skalarmultiplikation
sei [mm]k \in \IK[/mm] beliebig und a weiterhin Element von [mm]U_1[/mm]
[mm]k*a = k*\vektor{a_n * x^n \\
\vdots \\
a_1*x \\
a_0} = \vektor{k * a_n * x^n \\
\vdots \\
k * a_1*x \\
k * a_0}[/mm]
[mm]k*a(x) = k*a_n*x^n + k*a_1*x+k*a_0 = k*(a_n*x^n + a_1*x + a_0)[/mm]
Leider finde ich keine weiteren Umformungsschritt mehr, mit dem ich die Abgeschlossenheit unter der Skalarmultiplikation zeigen kann. Wie sollte ich hier weiter vorgehen?
Viele Grüße
Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:33 Fr 18.01.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin Patrick,
ich fand immer die folgende Argumentation hilfreich: [mm] $U\subset P_n$ [/mm] ist UR, wenn [mm] $\alpha p+\beta q\in [/mm] U$ fuer alle [mm] $\alpha,\beta\in\IR$ [/mm] und [mm] $p,q\in [/mm] U$.
Zu [mm] U_1: [/mm] Waehle [mm] $\alpha,\beta\in\IR$ [/mm] und [mm] $p,q\in [/mm] U$. Dann ist [mm] $r=\alpha p+\beta [/mm] q$ offenbar ein Polynom vom Grad höchstens $ n $. Ausserdem ist
[mm] $r(x)=\alpha p(x)+\beta q(x)=\alpha p(-x)+\beta [/mm] q(-x)=r(-x)$
fuer alle [mm] $x\in\IR$. [/mm] Also ist [mm] $\alpha p+\beta q\in [/mm] U$.
vg Luis
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Hallo Luis,
> ich fand immer die folgende Argumentation hilfreich:
> [mm]U\subset P_n[/mm] ist UR, wenn [mm]\alpha p+\beta q\in U[/mm] fuer alle
> [mm]\alpha,\beta\in\IR[/mm] und [mm]p,q\in U[/mm].
das ist ja interessant. Die mir bekannte Definition (angewandt auf die Aufgabe) ist folgende:
---
[mm]U_1 \subseteq P_n[/mm] ist genau dann ein Unterraum des Vektorraums [mm]P_n[/mm], wenn [mm]U_1[/mm] abgeschlossen unter Vektoraddition und Skalarmultiplikation ist, d. h. wenn [mm]\forall a,b \in U_1[/mm] und [mm]\forall k \in \IK[/mm] gilt:
(1) [mm]a,b \in U_1 \Rightarrow a+b \in U_1[/mm]
(2) [mm]a \in U_1 \Rightarrow k*a \in U_1[/mm]
Insbesondere muss der Teilraum [mm]U_1[/mm] den Nullvektor [mm]0[/mm] enthalten.
---
Sehe ich es richtig, dass Du (1) und (2) einfach zusammengefasst hast?
> Zu [mm]U_1:[/mm] Waehle [mm]\alpha,\beta\in\IR[/mm] und [mm]p,q\in U[/mm]. Dann ist
> [mm]r=\alpha p+\beta q[/mm] offenbar ein Polynom vom Grad
> höchstens [mm]n [/mm]. Ausserdem ist
>
> [mm]r(x)=\alpha p(x)+\beta q(x)=\alpha p(-x)+\beta q(-x)=r(-x)[/mm]
>
> fuer alle [mm]x\in\IR[/mm]. Also ist [mm]\alpha p+\beta q\in U[/mm].
Wo stellst Du hier sicher, dass [mm]0 \in U_1[/mm] ist?
Viele Grüe
Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 Sa 19.01.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo Patrick,
>
> > ich fand immer die folgende Argumentation hilfreich:
> > [mm]U\subset P_n[/mm] ist UR, wenn [mm]\alpha p+\beta q\in U[/mm] fuer alle
> > [mm]\alpha,\beta\in\IR[/mm] und [mm]p,q\in U[/mm].
>
> das ist ja interessant. Die mir bekannte Definition
> (angewandt auf die Aufgabe) ist folgende:
>
> ---
>
> [mm]U_1 \subseteq P_n[/mm] ist genau dann ein Unterraum des
> Vektorraums [mm]P_n[/mm], wenn [mm]U_1[/mm] abgeschlossen unter
> Vektoraddition und Skalarmultiplikation ist, d. h. wenn
> [mm]\forall a,b \in U_1[/mm] und [mm]\forall k \in \IK[/mm] gilt:
>
> (1) [mm]a,b \in U_1 \Rightarrow a+b \in U_1[/mm]
>
> (2) [mm]a \in U_1 \Rightarrow k*a \in U_1[/mm]
Es fehlt noch [mm] $U\ne\emptyset\,.$
[/mm]
>
> Insbesondere muss der Teilraum [mm]U_1[/mm] den Nullvektor [mm]0[/mm]
> enthalten.
>
Mit dem Wort "Insbesondere" leitet man eine Folgerung ein. Dies ist aber nur dann der Fall, wenn Du noch [mm] $U\ne\emptyset$ [/mm] zu Deiner Definition des Begriffs Unterraum hinzunimmst.
Luis hatte einen Satz formuliert, der Unterräume charackterisiert:
U ist genau dann ein Unterraum, wenn:
1. [mm] $U\ne \emptyset\,.$
[/mm]
2. Für alle [mm] $\alpha, \beta\in\IR$ [/mm] und $u, [mm] v\in [/mm] U$ ist [mm] $\alpha [/mm] u + [mm] \beta [/mm] v [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
Luis hatte, wie Du auch, die erste Voraussetzung vergessen.
Wenn in der Vorlesung diese Charakterisierung gezeigt wurde, kannst Du ihn verwenden.
> ---
>
> Sehe ich es richtig, dass Du (1) und (2) einfach
> zusammengefasst hast?
>
>
> > Zu [mm]U_1:[/mm] Waehle [mm]\alpha,\beta\in\IR[/mm] und [mm]p,q\in U[/mm]. Dann ist
> > [mm]r=\alpha p+\beta q[/mm] offenbar ein Polynom vom Grad
> > höchstens [mm]n [/mm]. Ausserdem ist
> >
> > [mm]r(x)=\alpha p(x)+\beta q(x)=\alpha p(-x)+\beta q(-x)=r(-x)[/mm]
>
> >
> > fuer alle [mm]x\in\IR[/mm]. Also ist [mm]\alpha p+\beta q\in U[/mm].
>
> Wo stellst Du hier sicher, dass [mm]0 \in U_1[/mm] ist?
Das muß man nicht nachweisen. Aber man muß [mm] $U\ne\emptyset$ [/mm] nachweisen. Dies gelingt meist am einfachsten, indem man [mm] $0\in [/mm] U$ zeigt.
Grüße,
Wolfgang
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Hallo Wolfgang,
> Es fehlt noch [mm]U\ne\emptyset\,.[/mm]
das stimmt natürlich.
> > Wo stellst Du hier sicher, dass [mm]0 \in U_1[/mm] ist?
>
> Das muß man nicht nachweisen. Aber man muß [mm]U\ne\emptyset[/mm]
> nachweisen. Dies gelingt meist am einfachsten, indem man
> [mm]0\in U[/mm] zeigt.
>
Danke für die Erklärung.
Dann ergänze ich Luis' Beweis einfach um:
[mm]p(x) = 0*x^n + \ldots + 0*x + 0[/mm] mit [mm]\forall x \in \IR : p(x) = 0 = p(-x)[/mm] ist Element von [mm]U_1[/mm]. Also: [mm]U_1 \neq \emptyset[/mm]
Eine Basis für [mm]U_1[/mm] ist dann [mm]E = \left \{ x^{2n}, x^{2n-2}, ..., x^4, x^2, x, 1 \right \}[/mm], da sich unter Verwendung dieser Basis alle geraden Polynome vom Grad höchstens [mm]n[/mm] erzeugen lassen.
Habe ich das richtig bestimmt?
Viele Grüße
Patrick
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> Dann ergänze ich Luis' Beweis einfach um:
> [mm]p(x) = 0*x^n + \ldots + 0*x + 0[/mm] mit [mm]\forall x \in \IR : p(x) = 0 = p(-x)[/mm]
> ist Element von [mm]U_1[/mm]. Also: [mm]U_1 \neq \emptyset[/mm]
Hallo,
Du wolltest sicher dies sagen:
es ist [mm] p(x):=$0*x^n [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + 0*x + [mm] 0$\in U_1, [/mm]
denn für alle [mm] x\in \IR [/mm] gilt: p(x)=p(-x).
>
> Eine Basis für [mm]U_1[/mm] ist dann [mm]E = \left \{ x^{2n}, x^{2n-2}, ..., x^4, x^2, x, 1 \right \}[/mm],
Ganz sicher nicht, denn Du hast in Deiner Basis einen Schwung Polynome drin, die überhaupt nicht in [mm] U_1 [/mm] sind, denn [mm] U_1 [/mm] ist ja eine Teilmenge des Raumes der Polynome vom Höchstgrad n.
Für [mm] n\not=0 [/mm] kann da [mm] x^{2n} [/mm] unmöglich drin sein.
Und bzgl x sehe ich auch rabenschwarz...
> da sich unter Verwendung dieser Basis alle geraden Polynome
> vom Grad höchstens [mm]n[/mm] erzeugen lassen.
Das ja. Bloß leider lassen sich noch viele andere, in [mm] U_1 [/mm] nicht erwünschte Polynome erzeugen.
LG Angela
>
> Habe ich das richtig bestimmt?
>
> Viele Grüße
> Patrick
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Hallo Angela,
> Du wolltest sicher dies sagen:
>
> es ist p(x):=[mm]0*x^n + \ldots + 0*x + 0[/mm][mm] \in U_1,[/mm]
> denn für alle [mm]x\in \IR[/mm] gilt: p(x)=p(-x).
genau das wollte ich sagen. 
> > Eine Basis für [mm]U_1[/mm] ist dann [mm]E = \left \{ x^{2n}, x^{2n-2}, ..., x^4, x^2, x, 1 \right \}[/mm],
>
> Ganz sicher nicht, denn Du hast in Deiner Basis einen
> Schwung Polynome drin, die überhaupt nicht in [mm]U_1[/mm] sind,
> denn [mm]U_1[/mm] ist ja eine Teilmenge des Raumes der Polynome vom
> Höchstgrad n.
> Für [mm]n\not=0[/mm] kann da [mm]x^{2n}[/mm] unmöglich drin sein.
> Und bzgl x sehe ich auch rabenschwarz...
Oops - natürlich: Wenn [mm]n[/mm] der höchste vorkommende Exponent darstellt, dann ist [mm]x^{2n}[/mm] wohl kaum in der Basis enthalten.
[mm]E = \left \{ x^n, x^{n-2}, x^{n-4}, \ldots, x^4, x^2, 1 \right \}[/mm] mit [mm]n[/mm] gerade wäre aber eine Basis. Darf ich das einfach so aufschreiben?
Viele Grße
Patrick
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> Hallo Angela,
>
> > Du wolltest sicher dies sagen:
> >
> > es ist p(x):=[mm]0*x^n + \ldots + 0*x + 0[/mm][mm] \in U_1,[/mm]
> > denn für alle [mm]x\in \IR[/mm] gilt: p(x)=p(-x).
>
> genau das wollte ich sagen.
>
> > > Eine Basis für [mm]U_1[/mm] ist dann [mm]E = \left \{ x^{2n}, x^{2n-2}, ..., x^4, x^2, x, 1 \right \}[/mm],
> >
> > Ganz sicher nicht, denn Du hast in Deiner Basis einen
> > Schwung Polynome drin, die überhaupt nicht in [mm]U_1[/mm] sind,
> > denn [mm]U_1[/mm] ist ja eine Teilmenge des Raumes der Polynome vom
> > Höchstgrad n.
> > Für [mm]n\not=0[/mm] kann da [mm]x^{2n}[/mm] unmöglich drin sein.
> > Und bzgl x sehe ich auch rabenschwarz...
>
> Oops - natürlich: Wenn [mm]n[/mm] der höchste vorkommende Exponent
> darstellt, dann ist [mm]x^{2n}[/mm] wohl kaum in der Basis
> enthalten.
>
> [mm]E = \left \{ x^n, x^{n-2}, x^{n-4}, \ldots, x^4, x^2, 1 \right \}[/mm]
> mit [mm]n[/mm] gerade wäre aber eine Basis. Darf ich das einfach so
> aufschreiben?
Hallo,
ja.
Und für n ungerade mußt Du Dir natürlich auch noch etwas einfallen lassen.
LG Angela
>
> Viele Grße
> Patrick
>
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Hallo Angela,
> > [mm]E = \left \{ x^n, x^{n-2}, x^{n-4}, \ldots, x^4, x^2, 1 \right \}[/mm]
> > mit [mm]n[/mm] gerade wäre aber eine Basis. Darf ich das einfach so
> > aufschreiben?
>
> ja.
>
> Und für n ungerade mußt Du Dir natürlich auch noch etwas
> einfallen lassen.
In der Hoffnung, dass das von der Notation her möglich ist, würde ich dann also folgende Fallunterscheidung machen:
[mm]E=\begin{cases} \left \{ x^n, x^{n-2}, x^{n-4}, \ldots, x^4, x^2, 1 \right \}, & \mbox{fuer } n \mbox{ gerade} \\
\left \{ x^{n-1},x^{n-3},\ldots,x^4,x^2,1 \right \}, & \mbox{fuer } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
Damit wäre [mm]E[/mm] dann eine Basis für [mm]U_1[/mm]?
Viele Grüße
Patrick
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> In der Hoffnung, dass das von der Notation her möglich
> ist, würde ich dann also folgende Fallunterscheidung
> machen:
>
> [mm]E=\begin{cases} \left \{ x^n, x^{n-2}, x^{n-4}, \ldots, x^4, x^2, 1 \right \}, & \mbox{fuer } n \mbox{ gerade} \\
\left \{ x^{n-1},x^{n-3},\ldots,x^4,x^2,1 \right \}, & \mbox{fuer } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
Hallo,
das wäre eine Möglichkeit, wie man es machen kann.
>
> Damit wäre [mm]E[/mm] dann eine Basis für [mm]U_1[/mm]?
Hast Du Zweifel daran, daß es eine Basis von [mm] U_1 [/mm] ist?
Suche eine schlüssige Begründung dafür, daß es so ist.
Die brauchst Du natürlich.
LG Angela
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Hallo nochmal,
> > Damit wäre [mm]E[/mm] dann eine Basis für [mm]U_1[/mm]?
>
> Hast Du Zweifel daran, daß es eine Basis von [mm]U_1[/mm] ist?
> Suche eine schlüssige Begründung dafür, daß es so
> ist.
> Die brauchst Du natürlich.
Zur Begründung würde die Definition einer Basis abklappern und festhalten:
Die Basisvektoren von [mm]E[/mm] sind sind linear unabhängig und die Dimension der linearen Hülle von [mm]E[/mm] entspricht der des Vektorraums. Damit ist [mm]E[/mm] eine Basis.
Für Aufgabenteil b) kann ich doch prinzipiell analog vorgehen, oder? Ich würde mich freuen, wenn Ihr mein Vorgehen prüfen würdet:
Seien [mm]a,b \in \IR[/mm] und [mm]u_1,u_2 \in U_2[/mm] beliebig mit der Eigenschaft [mm]u_1(0) = u_2(0) = 0[/mm].
Dann ist [mm]r = a*u_1 + b*u_2[/mm] ein Polynom vom Grad höchstens [mm]n[/mm].
Außerdem gilt: [mm]r(0) = a*u_1(0) + b*u_2(0) = a*0 + b*0 = 0[/mm]
Da [mm]p(x) := 0*x^n+\ldots+0*x+0 \in U_2[/mm] ist [mm]U_2 \neq \emptyset[/mm]. [mm]\square[/mm]
Zur Bestimmung einer Basis für diesen Unterraum:
Die Eigenschaft [mm]p(0) = 0[/mm] bedeutet, dass in dem Polynom keine Konstante vorkommt – denn sonst wäre [mm]p(0)[/mm] gleich der Konstante.
Also ist [mm]E = \left \{ x^n,x^{n-1},x^{n-2},\ldots,x^2,x \right \}[/mm] eine Basis für [mm]U_2[/mm].
Viele Grüße
Patrick
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Hallo,
> Zur Begründung würde die Definition einer Basis
> abklappern und festhalten:
> Die Basisvektoren von [mm]E[/mm] sind sind linear unabhängig
Ja, das ist wichtig.
> und
> die Dimension der linearen Hülle von [mm]E[/mm] entspricht der des
> Vektorraums.
???
Was meinst Du damit?
Willst Du hier gerade erzählen, daß [mm] U_1 [/mm] dieselbe Dimension hat wie [mm] P_n?
[/mm]
Das kann ja nun nicht sein...
Was Dimension bedeutet, weiß Du? Die Anzahl der Elemente einer Basis.
Für "Basis" ist zu zeigen: linear unabhängig und Erzeugendensystem.
Du müßtest also kurz begründen, warum [mm] U_1 [/mm] von den Vektoren in E erzeugt wird.
> Damit ist [mm]E[/mm] eine Basis.
>
>
> Für Aufgabenteil b) kann ich doch prinzipiell analog
> vorgehen, oder? Ich würde mich freuen, wenn Ihr mein
> Vorgehen prüfen würdet:
>
> Seien [mm]a,b \in \IR[/mm] und [mm]u_1,u_2 \in U_2[/mm] beliebig mit der
> Eigenschaft [mm]u_1(0) = u_2(0) = 0[/mm].
>
> Dann ist [mm]r = a*u_1 + b*u_2[/mm] ein Polynom vom Grad höchstens
> [mm]n[/mm].
> Außerdem gilt: [mm]r(0) = a*u_1(0) + b*u_2(0) = a*0 + b*0 = 0[/mm],
und damit ist r in [mm] U_2.
[/mm]
>
> Da [mm]p(x) := 0*x^n+\ldots+0*x+0 \in U_2[/mm] ist [mm]U_2 \neq \emptyset[/mm].
> [mm]\square[/mm]
>
> Zur Bestimmung einer Basis für diesen Unterraum:
> Die Eigenschaft [mm]p(0) = 0[/mm] bedeutet, dass in dem Polynom
> keine Konstante vorkommt – denn sonst wäre [mm]p(0)[/mm] gleich
> der Konstante.
>
> Also ist [mm]E = \left \{ x^n,x^{n-1},x^{n-2},\ldots,x^2,x \right \}[/mm]
> eine Basis für [mm]U_2[/mm].
Ja. Es ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von [mm] U_2.
[/mm]
LG Angela
>
> Viele Grüße
> Patrick
>
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Hallo nochmals,
> Für "Basis" ist zu zeigen: linear unabhängig und
> Erzeugendensystem.
> Du müßtest also kurz begründen, warum [mm]U_1[/mm] von den
> Vektoren in E erzeugt wird.
Jeder in [mm]U_1[/mm] mögliche Vektor [mm]u[/mm] kann als Linearkombination der Vektoren aus [mm]E[/mm] geschrieben werden: Man addiert Basisvektoren bzw. multipliziert sie mit einem Skalar um [mm]u \in U_1[/mm] zu "bauen".
Also ist [mm]E[/mm] ein Erzeugendensystem.
Viele Grüße
Patrick
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Zum Schluss möchte ich mich auch noch an Aufgabenteil c) versuchen.
Seien [mm]a,b \in \IR[/mm] und [mm]u_1,u_2 \in U_3[/mm] mit [mm]u_1'(0) = u_2'(0) = 0[/mm] (diese Eigenschaft ist dadurch begründet, dass an der Stelle x=0 eine waagerechte Tangente vorhanden ist).
Dann ist [mm]r=a*u_1+b*u_2[/mm] offenbar ein Polynom vom Grad höchstens [mm]n[/mm].
Außerdem gilt: [mm]r'(0) = a*u_1'(0) + b*u_2'(0) = a*0 + b*0 = 0[/mm]
[mm]r(x)[/mm] hat also bei [mm]x=0[/mm] eine waagerechte Tangente.
Da [mm]p(x) := 0*x^n + \ldots + 0*x + 0 \in U_3[/mm] ist [mm]U_3 \neq 0[/mm] [mm]\square[/mm]
Im Gegensatz zu den anderen beiden Aufgabenteilen muss ich hier bei der Basisbestimmung gar keine Einschränkung machen, da nur an der ersten Ableitung von [mm]p \in P_n[/mm] Bedingungen geknüpft sind (richtig?)
[mm]E = \left \{ x^n,x^{n-1},x^{n-2},\ldots,x^2,x,1 \right \}[/mm] ist eine Basis für [mm]U_3[/mm]
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> Zum Schluss möchte ich mich auch noch an Aufgabenteil c)
> versuchen.
Moin,
es ist [mm] U_3:=\{p\in P_n|p'(0)=0\}
[/mm]
>
> Seien [mm]a,b \in \IR[/mm] und [mm]u_1,u_2 \in U_3[/mm] mit [mm]u_1'(0) = u_2'(0) = 0[/mm]
Das hast Du nicht ganz richtig formuliert.
Du meinst:
seien [mm] a,b\in\IR [/mm] und [mm] u_1,u_2\in U_3.
[/mm]
Also ist [mm] $u_1'(0) [/mm] = [mm] u_2'(0) [/mm] = 0$.
> (diese Eigenschaft ist dadurch begründet, dass an der
> Stelle x=0 eine waagerechte Tangente vorhanden ist).
>
> Dann ist [mm]r=a*u_1+b*u_2[/mm] offenbar ein Polynom vom Grad
> höchstens [mm]n[/mm].
Das braucht man eigentlich nicht zu erwähnen,da ja bekannt ist,daß [mm] P_n [/mm] ein VR ist. Die Info ist allerdings unschädlich.
>
> Außerdem gilt: [mm]r'(0) = a*u_1'(0) + b*u_2'(0) = a*0 + b*0 = 0[/mm]
>
> [mm]r(x)[/mm] hat also bei [mm]x=0[/mm] eine waagerechte Tangente.
Also [mm] r\in U_3.
[/mm]
Das war's ja,worauf es ankommt, und das darf man ruhig mal deutlich erwähnen.
>
> Da [mm]p(x) := 0*x^n + \ldots + 0*x + 0 \in U_3[/mm]
denn p'(0)=0
> ist [mm]U_3 \neq 0[/mm]
Du meinst [mm] U_3\not=\emptyset.
[/mm]
> [mm]\square[/mm]
>
> Im Gegensatz zu den anderen beiden Aufgabenteilen muss ich
> hier bei der Basisbestimmung gar keine Einschränkung
> machen, da nur an der ersten Ableitung von [mm]p \in P_n[/mm]
> Bedingungen geknüpft sind (richtig?)
Nein,das ist nicht richtig.
Wenn es keine Einschränkungen gäbe, wären in [mm] U_3 [/mm] alle Polynome, die auch in [mm] P_n [/mm] sind.
Dies ist aber nicht der Fall, denn es hat ja nicht jedes Polynom an der Stelle x=0 eine waagerechte Tangente, oder?
>
> [mm]E = \left \{ x^n,x^{n-1},x^{n-2},\ldots,x^2,x,1 \right \}[/mm]
> ist eine Basis für [mm]U_3[/mm]
Du hast hier ein Basiselement drin, welches traurigerweise gar nicht in [mm] U_3 [/mm] ist...
Ich zeig' Dir mal, wie man auf die Basis kommt - eigentlich dachte ich, daß Dir das klar ist:
Sei p mit [mm] p(x):=a_nx^n+...+a_1x+a_0*1\in U_3.
[/mm]
Es ist [mm] p(x)=n*a_nx^{n-1}+...+2*a_2x+a_1.
[/mm]
Da [mm] p\in U_3, [/mm] gilt [mm] 0=p'(0)=a_1.
[/mm]
In [mm] U_3 [/mm] sind also alle Polynome der Gestalt [mm] p(x)=a_nx^n+...+a_2x^2+a_0*1.
[/mm]
Ein Erzeugendensystem kannst Du so nun sofort ablesen, und daß dieses l.u. ist, ist ebenfalls klar.
In dem Stile würde ich übrigens auch bei den anderen beiden Aufgaben begründen, welche Polynome in den Mengen sind.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:49 So 20.01.2013 | | Autor: | Apfelchips |
> Moin,
Tach
> > Seien [mm]a,b \in \IR[/mm] und [mm]u_1,u_2 \in U_3[/mm] mit [mm]u_1'(0) = u_2'(0) = 0[/mm]
>
> Das hast Du nicht ganz richtig formuliert.
> Du meinst:
> seien [mm]a,b\in\IR[/mm] und [mm]u_1,u_2\in U_3.[/mm]
> Also ist [mm]u_1'(0) = u_2'(0) = 0[/mm].
Ich meine damit, dass [mm]u_1,u_2[/mm] die Eigenschaft haben, dass deren Ableitung an der Stelle x=0 genau 0 ist: "Seien ... und ... mit [der Eigenschaft]"
Allerdings ist wohl wirklich besser, wenn man mit "Also" sagt, dass die Bedingungen aus der Tatsache, dass [mm]u_1,u_2 \in U_3[/mm] sind, gefolgert werden.
> > Im Gegensatz zu den anderen beiden Aufgabenteilen muss ich
> > hier bei der Basisbestimmung gar keine Einschränkung
> > machen, da nur an der ersten Ableitung von [mm]p \in P_n[/mm]
> > Bedingungen geknüpft sind (richtig?)
>
> Nein,das ist nicht richtig.
> Wenn es keine Einschränkungen gäbe, wären in [mm]U_3[/mm] alle
> Polynome, die auch in [mm]P_n[/mm] sind.
> Dies ist aber nicht der Fall, denn es hat ja nicht jedes
> Polynom an der Stelle x=0 eine waagerechte Tangente, oder?
Das ist wohl wahr.
> > [mm]E = \left \{ x^n,x^{n-1},x^{n-2},\ldots,x^2,x,1 \right \}[/mm]
> > ist eine Basis für [mm]U_3[/mm]
>
> Du hast hier ein Basiselement drin, welches traurigerweise
> gar nicht in [mm]U_3[/mm] ist...
>
> Ich zeig' Dir mal, wie man auf die Basis kommt - eigentlich
> dachte ich, daß Dir das klar ist:
>
> Sei p mit [mm]p(x):=a_nx^n+...+a_1x+a_0*1\in U_3.[/mm]
> Es ist
> [mm]p(x)=n*a_nx^{n-1}+...+2*a_2x+a_1.[/mm]
> Da [mm]p\in U_3,[/mm] gilt [mm]0=p'(0)=a_1.[/mm]
>
> In [mm]U_3[/mm] sind also alle Polynome der Gestalt
> [mm]p(x)=a_nx^n+...+a_2x^2+a_0*1.[/mm]
>
> Ein Erzeugendensystem kannst Du so nun sofort ablesen, und
> daß dieses l.u. ist, ist ebenfalls klar.
Also ist [mm]E = \left \{ x^n,x^{n-1},x^{n-2},\ldots,x^2,1 \right \}[/mm] eine Basis für [mm]U_3[/mm].
> In dem Stile würde ich übrigens auch bei den anderen
> beiden Aufgaben begründen, welche Polynome in den Mengen
> sind.
Okay, das werde ich machen.
Viele Grüße
Patrick
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> > Du müßtest also kurz begründen, warum [mm]U_1[/mm] von den
> > Vektoren in E erzeugt wird.
>
> Jeder in [mm]U_1[/mm] mögliche Vektor [mm]u[/mm] kann als Linearkombination
> der Vektoren aus [mm]E[/mm] geschrieben werden: Man addiert
> Basisvektoren bzw. multipliziert sie mit einem Skalar um [mm]u \in U_1[/mm]
> zu "bauen".
Hallo,
nein,was eine Linearkombination ist, brauchst Du nicht zu beschreiben.
Du mußt sagen,daß wegen p(x)=p(-x) in [mm] U_1 [/mm] nur gerade Polynome,also Polynome, in denen die x nur gerade Hochzahlen haben, vorkommen, und diese kann man offensichtlich als Linearkombination der Elemente aus E schreiben.
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> Also ist [mm]E[/mm] ein Erzeugendensystem.
LG Angela
>
> Viele Grüße
> Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:55 So 20.01.2013 | | Autor: | Apfelchips |
> Du mußt sagen,daß wegen p(x)=p(-x) in [mm]U_1[/mm] nur gerade
> Polynome,also Polynome, in denen die x nur gerade
> Hochzahlen haben, vorkommen, und diese kann man
> offensichtlich als Linearkombination der Elemente aus E
> schreiben.
Okay, ich verstehe. Dankeschön!
Gruß
Patrick
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