matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare GleichungssystemeBeweisen
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Beweisen
Beweisen < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Gleichungssysteme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Beweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:24 Do 02.07.2009
Autor: Marius6d

Aufgabe
Beweisen Sie, dass für jedes n [mm] \in [/mm] N gilt: [mm] ((9^n)-1) [/mm] ist ohne Rest durch 8 Teilbar.

Also erstens ist mir klar, dass es immer durch 8 teilbar ist. Das geht auch z.b. mit [mm] ((8^n)-1)ist [/mm] ohne Rest durch 7 teilbar und so weiter, ich weiss aber nicht wie ich das beweisen soll.

Ich habe einfach mal ein bisschen gerechnet und eine Gleichung aufgestellt:

[mm] \bruch{((9^n)-1)}{8}=(9^{n-1})+\bruch{((9^{n-1})-1)}{8} [/mm]

Ich weiss jetzt aber nicht ob das irgendwas bringt, wie beweise ich dass die Behauptung stimmt?

        
Bezug
Beweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:33 Do 02.07.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Marius6d,

> Beweisen Sie, dass für jedes n [mm]\in[/mm] N gilt: [mm]((9^n)-1)[/mm] ist
> ohne Rest durch 8 Teilbar.
>  
> Also erstens ist mir klar, dass es immer durch 8 teilbar
> ist. Das geht auch z.b. mit [mm]((8^n)-1)ist[/mm] ohne Rest durch 7
> teilbar und so weiter, ich weiss aber nicht wie ich das
> beweisen soll.
>  
> Ich habe einfach mal ein bisschen gerechnet und eine
> Gleichung aufgestellt:
>  
> [mm]\bruch{((9^n)-1)}{8}=(9^{n-1})+\bruch{((9^{n-1})-1)}{8}[/mm]
>  
> Ich weiss jetzt aber nicht ob das irgendwas bringt, wie
> beweise ich dass die Behauptung stimmt?

Du hast 2 "nette" Möglichkeiten, zu beweisen, dass [mm] $8\mid \left(9^n-1\right)$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt. [mm] ($a\mid [/mm] b$ heißt "a teilt b")

Zum einen per vollst. Induktion nach n.

Induktionsanfang für n=1 sollte klar sein, im Induktionsschritt [mm] $n\to [/mm] n+1$ mit Induktionsvoraussetzung [mm] $8\mid \left(9^n-1\right)$ [/mm] für ein bel., aber festes [mm] $n\in\IN$ [/mm] folgere, dass dann auch [mm] $8\mid\left(9^{n+1}-1\right)$ [/mm] gelten muss.

Bendenke dazu, dass mit [mm] $a\mid [/mm] b$ auch gilt [mm] $a\mid c\cdot{}b$ [/mm] für [mm] $c\in\IZ$ [/mm]

Alternativ und schneller (auch eleganter) schreibe [mm] $9^n=(8+1)^n$ [/mm] und benutze den binomischen Lehrsatz ....

Was ist dann mit [mm] $9^n-1$ [/mm] ... ?

LG

schachuzipus

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Gleichungssysteme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]