Beweisen der Formel < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:33 Do 30.06.2005 | | Autor: | Diddl |
Hallo komme mit der folgenden Aufgabe nicht mehr weiter, könnt Ihr weiterhelfen?
Beweisen Sie die Formel
det [mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x² & y² & z² \end{pmatrix}= [/mm] (y-x)(z-x)(z-y)
mit Hilfe elementarer Zeilenumformung.
Meine schritte waren folgende:
1) Erste Zeile mal (-x) + zweite Zeile
2) Erste Zeile mal (-x²) + dritte Zeile
-> [mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & y-x & z-x \\ 0 & y²-x² & z²-x² \end{pmatrix}
[/mm]
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Hallo Diddl!
> Beweisen Sie die Formel
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> det [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x² & y² & z² }[/mm] = (y -
> x) (z - x) (z - y)
>
> mit Hilfe elementarer Zeilenumformung.
>
> Meine schritte waren folgende:
> 1) Erste Zeile mal (-x) + zweite Zeile
> 2) Erste Zeile mal (-x²) + dritte Zeile
>
> -> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & y-x & z-x \\ 0 & y²-x² & z²-x² \end{pmatrix}[/mm]
Das sieht doch schon mal gut aus! Ich würde jetzt mal die letzte Zeile durch (y+x) teilen, denn [mm] y^2-x^2=(y+x)(y-x) [/mm] und dann die zweite von der dritten Zeile subtrahieren. Ich denke, dann müsste das eigentlich hinkommen - leider verrechne ich mich dabei immer selber. Aber du bekommst dann eine obere Dreiecksmatrix, und die Determinante davon ist ja dann das Produkt der Diagonalelemente. Und in der Mitte steht ja schon y-x, also fehlt nur noch der Eintrag rechts unten, der sich wohl irgendwie zu (z-x)(z-y) vereinfachen lassen müsste.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 Do 30.06.2005 | | Autor: | Molaf |
Hallo Diddl
du bist schon auf den richtigen Weg. Wenn du nun die Matrix auf Dreiecksform bringst, dann hast du doch dein Ergebnis. Vielleicht hilft dir die 3. Binomische Formel:
[mm] y^{2} [/mm] - [mm] x^{2} [/mm] = (y - x) (y + x)
Wenn du damit die Dreiecksform erhalten hast, kannst du die Determinante bilden. Wegen der Nullen gibt es nur einen Term (Diagonale)
det [mm] \pmat{ D_{11} & D_{12} & D_{13} \\ 0 & D_{22} & D_{23} \\ 0 & 0 & D_{33}} [/mm] = [mm] D_{11} \* D_{22} \* D_{33}
[/mm]
Ich hoffe, dir hilft dies
MOLAF
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:51 Do 30.06.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Diddle!
Bitte hier innerhalb des MatheRaumes keine Doppelpostings setzen.
So haben sich dann gleich zwei Hilfsbereite die Mühe gemacht, und das muß ja nun nicht sein.
Außerdem verstößt das auch gegen unsere Forenregeln ...
Gruß
Loddar
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