Beweisen einer Ungleichung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Do 27.05.2010 | | Autor: | Bellona |
| Aufgabe | 1. Beweisen Sie: Für alle a, b [mm] \epsilon \IR [/mm] mit a > b und a, b > 0 und alle n [mm] \epsilon \IN [/mm] gilt
[mm] na^{n-1} \ge \bruch{a^n - b^n}{a - b} \ge nb^{n-1}[/mm].
Hinweis: a - b ist ein Faktor von [mm]a^n - b^n[/mm]. |
Hallo,
mein Problem liegt beim 1. Teil der Aufgabe. Ich habe mir überlegt, dass die Aufgabe mit einem Induktionsbeweis gelöst werden kann, komme aber schon am Anfang des Induktionsschlusses irgendwie nicht weiter.
Mein bisheriger Lösungsweg:
Induktionsanfang für n=1 stimmt, es ist [mm]a^{1-1} \ge \bruch{a^{1} - b^{1}}{a - b}[/mm], also ist dann 1 [mm]\ge[/mm] 1.
Induktionsschritt:
n + 1: [mm](n + 1)a^n \ge \bruch{a^{n+1} - b^{n+1}}{a - b}[/mm]
[mm]\bruch{a^{n+1} - b^{n+1}}{a - b} = \bruch{a^n - b^n}{a - b} * [/mm] | und dann gehts bei mir nicht mehr weiter
Eine andere Art und Weise die Aufgabe zu lösen ist mir nicht eingefallen.
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand bei dem Ansatz der Aufgabe helfen kann, den Rest hoffe ich dann so zu schaffen.
LG,
Bellona
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Do 27.05.2010 | | Autor: | Bellona |
Danke für den Tipp, nur hab ich jetzt ein Problem mit der Polynomdivision:
[mm] (a^n [/mm] - [mm] b^n) [/mm] : (a - b) = [mm] a^{n-1} [/mm] - [mm] \bruch{- b^n}{a} [/mm] + [mm] b^{n-1}
[/mm]
- [mm] (a^n [/mm] - [mm] ab^{n-1})
[/mm]
(0 + (- [mm] b^n [/mm] + [mm] ab^{n-1}))
[/mm]
- (- [mm] b^n [/mm] + [mm] ab^{n-1}))
[/mm]
Ich weiss jetzt nicht genau in welcher Weise mir das helfen soll und ausserdem bin ich mir gerade gar nicht sicher, ob ich richtig gerechnet habe. :(
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Hallo nochmal,
das Ergebnis der Polynomdivision ist doch (rechne mal genau und in Ruhe nach)
[mm] $\left(a^n-b^n\right):(a-b)=a^{n-1}\cdot{}b^0+a^{n-2}\cdot{}b^1+a^{n-3}\cdot{}b^2+\ldots+a^2\cdot{}b^{n-3}+a^1\cdot{}b^{n-2}+a^0\cdot{}b^{n-1}$
[/mm]
Du hast also n Summanden, die du aufgrund der Voraussetzung $a>b$ in zwei Richtungen abschätzen kannst ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Do 27.05.2010 | | Autor: | Bellona |
Die Polynomdivision ist mir jetzt klar, habe wirklich blöd gerechnet, danke.
Allerdings herrscht bei mir was den restlichen Lösungsweg angeht leider nur ein grosses Fragezeichen. Ich versteh immer noch nicht, was mir das für de Beweis nützt.
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Hallo,
> Die Polynomdivision ist mir jetzt klar, habe wirklich blöd
> gerechnet, danke.
> Allerdings herrscht bei mir was den restlichen Lösungsweg
> angeht leider nur ein grosses Fragezeichen. Ich versteh
> immer noch nicht, was mir das für de Beweis nützt.
Das habe ich doch geschrieben.
Nutze die Voraussetzung $a>b$.
Für die eine Seite der Ungleichung ersetze alle b-Potenzen durch entsprechende Potenzen von a und für die andere Ungleichung ersetze alle Potenzen von a durch entsprechende Potenzen von b.
Dann hast du n-mal den Summanden [mm] $a^{n-1}$ [/mm] bzw. im anderen Fall n-mal den Summanden [mm] $b^{n-1}$
[/mm]
Schreib's dir einfach mal auf (und hier auch, schön mit den richtigen Ungleichungszeichen ...)
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
nun, du sollst wohl eigentlich den Tipp benutzen (s. Loddars Antwort), dein Weg über Induktion geht aber auch:
> 1. Beweisen Sie: Für alle a, b [mm]\epsilon \IR[/mm] mit a > b und
> a, b > 0 und alle n [mm]\epsilon \IN[/mm] gilt
>
> [mm]na^{n-1} \ge \bruch{a^n - b^n}{a - b} \ge nb^{n-1}[/mm].
>
> Hinweis: a - b ist ein Faktor von [mm]a^n - b^n[/mm].
> Hallo,
>
> mein Problem liegt beim 1. Teil der Aufgabe. Ich habe mir
> überlegt, dass die Aufgabe mit einem Induktionsbeweis
> gelöst werden kann, komme aber schon am Anfang des
> Induktionsschlusses irgendwie nicht weiter.
> Mein bisheriger Lösungsweg:
>
> Induktionsanfang für n=1 stimmt, es ist [mm]a^{1-1} \ge \bruch{a^{1} - b^{1}}{a - b}[/mm],
> also ist dann 1 [mm]\ge[/mm] 1.
>
> Induktionsschritt:
>
> n + 1: [mm](n + 1)a^n \ge \bruch{a^{n+1} - b^{n+1}}{a - b}[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{a^{n+1} - b^{n+1}}{a - b} = \bruch{a^n - b^n}{a - b} *[/mm]
> | und dann gehts bei mir nicht mehr weiter
>
>
> Eine andere Art und Weise die Aufgabe zu lösen ist mir
> nicht eingefallen.
> Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand bei dem Ansatz der
> Aufgabe helfen kann, den Rest hoffe ich dann so zu
> schaffen.
Nun, zum Induktionsschritt:
Es ist [mm] $(n+1)\cdot{}a^n=n\cdot{}a^n+a^n=a\cdot{}n\cdot{}a^{n-1}+a^n\ge a\cdot{}\frac{a^n-b^n}{a-b}+a^n$ [/mm] nach Induktionsvoraussetzung [mm] ($na^{n-1}\ge\frac{a^n-b^n}{a-b}$)
[/mm]
Nun ist wegen $a>b$ auch [mm] $a^n>b^n$
[/mm]
Also [mm] $(n+1)\cdot{}a^n [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \frac{a\cdot{}\left(a^n-b^n\right)}{a-b}+a^n [/mm] \ > \ [mm] \frac{a\cdot{}\left(a^n-b^n\right)}{a-b}+b^n$
[/mm]
Nun mache gleichnamig, dann steht's da.
Die andere Ungleichung analog ...
>
> LG,
>
> Bellona
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 Do 27.05.2010 | | Autor: | Bellona |
Vielen Dank, schachuzipus, dann ist für mich der Lösungsweg über Induktion klar. :)
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Polynomdivision