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Forum "Vektoren" - Beweisen mit Vektoren
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Beweisen mit Vektoren: wo liegt der Fehler?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:32 Mi 19.01.2011
Autor: Kathinka

Aufgabe
Hält man ein Gummiband um vier Finger gespannt entsteht ein "Viereck im Raum", also ein Viereck, dessen Ecken nicht alle in einer Ebene liegen. Beweisen sie: Die Seitenmitten dieses Vierecks sind die Eckpunkte eines Parallelogramms.




Ahoi!
Ich habe die Aufgabe mit Vektoren bewiesen, leider muss irgendwo ein Fehler sein, wäre schön wenn mal jemand drüberschauen würde.
Parallelogramm ABCD, Mittelpunkte [mm] M_{AB}, M_{BC}, M_{CD}, M_{DA} [/mm]

zu zeigen: die gegenüberliegenden Seiten sind parallel:
1/2 [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] + 1/2 [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] = [mm] \overrightarrow M_{AB}M_{BC} [/mm]

1/2 [mm] \overrightarrow{CD} [/mm] + 1/2 [mm] \overrightarrow{DA} [/mm] = [mm] \overrightarrow M_{CD}M_{DA} [/mm]

Linke Seiten: 1/2 ausklammern, Vektoren/Punkte ausrechnen:

1/2 [mm] \overrightarrow{B} [/mm] - [mm] \overrightarrow{A} [/mm] + [mm] \overrightarrow{C} [/mm] - [mm] \overrightarrow{B} [/mm]


1/2 [mm] \overrightarrow{D} [/mm] - [mm] \overrightarrow{C} [/mm] + [mm] \overrightarrow{A} [/mm] - [mm] \overrightarrow{D} [/mm]

B und D fallen somit weg, bleibt übrig:
1/2 ( -A + C) = 1/2 ( -C + A)

Wo liegt der Denkfehler?
Liebe Grüße, Katja


        
Bezug
Beweisen mit Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:05 Mi 19.01.2011
Autor: Pappus


> Hält man ein Gummiband um vier Finger gespannt entsteht
> ein "Viereck im Raum", also ein Viereck, dessen Ecken nicht
> alle in einer Ebene liegen. Beweisen sie: Die Seitenmitten
> dieses Vierecks sind die Eckpunkte eines Parallelogramms.
>  
>

...

>  
> B und D fallen somit weg, bleibt übrig:
>  1/2 ( -A + C) = 1/2 ( -C + A)
>  
> Wo liegt der Denkfehler?
>  Liebe Grüße, Katja
>  

Guten Tag!

Wo der Denkfehler liegt, weiß ich nicht. Du bist genau einen Schritt vor dem Ziel stehen geblieben:

[mm] $\frac12 [/mm] ( -A + C) = [mm] \frac12 [/mm] ( -C + A) = [mm] -\frac12(-A+C)$ [/mm]

d.h. die beiden Vektoren sind kollinear, laufen also parallel, womit die Parallelität von 2 Seiten nachgewiesen ist.
Jetzt noch die fehlende Bedingung für das Parallelogramm nachweisen.

Gruß

Pappus

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