matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare AbbildungenBeweisen von Aussagen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Lineare Abbildungen" - Beweisen von Aussagen
Beweisen von Aussagen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Beweisen von Aussagen: Hilfe bei einer Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:46 So 19.04.2015
Autor: igomane

Aufgabe
(i) A ⊆ B
(ii) A  ∩ B = A
(iii) A ∪ B = B
(iv) A ∩ (X \ B) = ∅
(v) (X \ A) ∪ B = X


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hi Leute ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe. Ich studiere Informatik im ersten Semester und habe bei dieser Aufgabe schwierigkeiten die wie folgt lautet: Es seien A, B Teilmengen einer Menge X. Beweisen sie ob folgende Aussagen äquivalent sind.
Da steht noch es reicht zu zeigen: (i) => (ii) => (iii) => (iv) => (v)
Hoffe ihr könnt mir helfen

        
Bezug
Beweisen von Aussagen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:49 So 19.04.2015
Autor: impliziteFunktion

Hallo,

was ist denn allgemein zu tun, wenn du zeigen sollst, dass etwa die beiden Aussagen A und B äquivalent sind? Also

[mm] $A\Leftrightarrow [/mm] B$ gilt?

Bezug
                
Bezug
Beweisen von Aussagen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:53 So 19.04.2015
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> was ist denn allgemein zu tun, wenn du zeigen sollst, dass
> etwa die beiden Aussagen A und B äquivalent sind? Also
>  
> [mm]A\Leftrightarrow B[/mm] gilt?


A und B sind doch Mengen !!!!

FRED


Bezug
                        
Bezug
Beweisen von Aussagen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:59 So 19.04.2015
Autor: impliziteFunktion

Du hast recht, es war ungeschickt die selben Bezeichner für die Aussagen zu wählen, welche bereits für die Mengen genommen wurde.

Ich wollte die Frage eigentlich allgemein stellen, also unabhängig von der zugrunde liegenden Aufgabenstellung.

Das ist aber wohl zu verwirrend.
Entschuldigung.

Bezug
        
Bezug
Beweisen von Aussagen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:55 So 19.04.2015
Autor: fred97

Z.B. für die Äquivalenz von (i) und (ii) ist zu Zeigen:

1. aus A ⊆ B folgt A  ∩ B = A

und

2. aus A  ∩ B = A folgt  A ⊆ B.

FRED

Bezug
                
Bezug
Beweisen von Aussagen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:01 So 19.04.2015
Autor: igomane

Danke für die Antwort.

Und wie geht es dann weiter bei (ii) => (iii) ??

Bezug
                        
Bezug
Beweisen von Aussagen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:02 So 19.04.2015
Autor: fred97


> Danke für die Antwort.
>  
> Und wie geht es dann weiter bei (ii) => (iii) ??

Hier ist zu zeigen:


aus A  ∩ B = A folgt A ∪ B = B

FRED


Bezug
                                
Bezug
Beweisen von Aussagen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:11 So 19.04.2015
Autor: igomane

Muss man dabei was besonderes beachten ??? Weil das kommt mir zu einfach vor so wie es da geschrieben wird.

Dann wäre der Schritt (iii) => (iv)

Aus A ∪ B = B folgt A  ∩ (X \ B) = ∅

Oder ??

Bezug
                                        
Bezug
Beweisen von Aussagen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:23 So 19.04.2015
Autor: impliziteFunktion


> Dann wäre der Schritt (iii) => (iv)
>
> Aus A ∪ B = B folgt A  ∩ (X \ B) = ∅
>
> Oder ??

Nein, jedenfalls nicht wenn du es so meinst wie ich denke.
Und ich befürchte, dass dies dein Beweis sein soll.

Natürlich ist dies kein Beweis.

Wenn du zeigen möchtest, dass III) => IV) gilt, dann ist deine Voraussetzung die Aussage aus III), also das

[mm] $A\cap [/mm] B=A$

gilt.
Diese Information (und das [mm] $A,B\subseteq [/mm] X$ gilt) und nur diese, benutzt du nun um zu folgern, dass dann auch [mm] $A\cup [/mm] B=B$ gilt.

Dazu benutzt du die jeweiligen Definitionen der Schnittmenge und Vereinigungsmenge.

Beginne also so:

Sei [mm] $x\in A\cap [/mm] B=A$, dann gilt ...

Natürlich musst du auch I) => II) noch richtig zeigen, falls noch nicht geschehen.

Die Aufgabe löst du dann etwa durch einen sogenannten Ringschluss-Beweis. Also das du zeigst:

I) => II) => III) => IV) => V) => I)

Edit: Eine Aussage in der Kette vergessen. Wurde korrigiert.

Bezug
                                                
Bezug
Beweisen von Aussagen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:31 So 19.04.2015
Autor: igomane

Sry für das Nachfragen aber ich bräuchte eine ausführliche Lösung wie das von (i) bis (v) aussieht. Weil ich bei der Einführungsvorlesung nicht dabei war.

Bin ziemlich durcheinander gerade

Bezug
                                                        
Bezug
Beweisen von Aussagen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:36 So 19.04.2015
Autor: impliziteFunktion

Der Sinn der meisten Mathematik Foren ist es, dir bei deiner Lösung der Aufgabe zur Seite zu stehen, und keine komplett Lösungen zu liefern.

Wenn du uns zeigst, was du probiert hast, dann kann man damit weiterarbeiten, dir sagen was falsch oder richtig ist und dir effizient helfen so, dass du auch folgende Aufgaben, die nach dem gleichen Prinzip ablaufen eigenständig lösen kannst.

Bezug
        
Bezug
Beweisen von Aussagen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:32 So 19.04.2015
Autor: DieAcht

Hallo igomane und [willkommenmr]


> Da steht noch es reicht zu zeigen: (i) => (ii) => (iii) => (iv) => (v)

Das reicht nicht. Zu zeigen bleibt: (v) => (i).


Du kannst auch gerne hier deine Überlegungen aufschreiben. Wir
können diese dann auch korrigieren.


Gruß
DieAcht

Bezug
        
Bezug
Beweisen von Aussagen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:19 So 19.04.2015
Autor: tobit09

Hallo igomane und auch von mir ein herzliches [willkommenmr]!


Ich entnehme einem Beitrag von dir, dass du eine Vorlesung verpasst hast.
Dann solltest du dir, falls noch nicht geschehen, dringend eine Vorlesungsmitschrift besorgen und sie gründlich nacharbeiten.
Natürlich ist ein Lösen dieser Aufgabe aussichtslos, solange du die Bedeutung der auftretenden Zeichen nicht kennst.


Du wirst bei dieser Aufgabe immer wieder die Gleichheit zweier Mengen zeigen müssen.
Zwei Mengen M und N sind genau dann gleich, wenn [mm] $M\subseteq [/mm] N$ und [mm] $N\subseteq [/mm] M$ gilt.
Willst du also $M=N$ zeigen, genügt es, nacheinander [mm] $M\subseteq [/mm] N$ und [mm] $N\subseteq [/mm] M$ zu zeigen.
Das ist fast immer das Mittel der Wahl, wenn die Gleichheit zweier Mengen zu zeigen ist.

Und wie zeigt man z.B.  [mm] $M\subseteq [/mm] N$ (d.h. dass für alle [mm] $x\in [/mm] M$ auch [mm] $x\in [/mm] N$ gilt)?

"Sei [mm] $x\in [/mm] M$ beliebig vorgegeben.
(hier passende Argumentation einfügen)
Also folgt [mm] $x\in [/mm] N$."

Da x beliebig vorgegeben war, folgt dann also wie gewünscht [mm] $x\in [/mm] N$ für ALLE [mm] $x\in [/mm] M$.


> (i) A ⊆ B
>  (ii) A  ∩ B = A
>  (iii) A ∪ B = B
>  (iv) A ∩ (X \ B) = ∅
>  (v) (X \ A) ∪ B = X

Zu (i)=>(ii):

Wir setzen (wie meine Vorredner schon erklärt haben) [mm] $A\subseteq [/mm] B$ als wahr voraus und müssen [mm] $A\cap [/mm] B=A$ zeigen.

Zeige also nacheinander:
1. [mm] $A\cap B\subseteq [/mm] A$
2. [mm] $A\subseteq A\cap [/mm] B$.

Zu 1.:
Sei [mm] $x\in A\cap [/mm] B$ beliebig vorgegeben.
Wegen [mm] $x\in A\cap [/mm] B$ gilt nach Definition des Durchschnitts ... und ...
Insbesondere folgt [mm] $x\in [/mm] A$.

Zu 2.:
Sei [mm] $x\in [/mm] A$ beliebig vorgegeben.
Zu zeigen ist [mm] $x\in A\cap [/mm] B$, d.h. wir müssen zeigen:
a) [mm] $x\in [/mm] A$
und
b) [mm] $x\in [/mm] B$.
Für a) ist nichts weiter zu zeigen, da ja [mm] $x\in [/mm] A$ vorgegeben war.
Zu b): Bringe (i) ins Spiel!


Viele Grüße
Tobias

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 4h 12m 3. TS85
MaßTheo/Sigma-Algebra = P(X)
Status vor 22h 01m 8. Gonozal_IX
MaßTheo/Beweis Sigma-Algebra
Status vor 1d 20h 44m 6. hohohaha1234
USons/Größtmöglichstes Produkt
Status vor 2d 2. matux MR Agent
Mathematica/parametrischen Plot
Status vor 2d 3. Gonozal_IX
UAuslg/Log. Äquivl. vs. log. Schluss
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]