matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Analysis-InduktionBeweiserläuterung
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Beweiserläuterung
Beweiserläuterung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Induktion"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Beweiserläuterung: Erklärung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:12 Do 21.05.2015
Autor: Windbeutel

Aufgabe
Bewiesen werden soll, dass
[mm] \summe_{i=1}^{n}=\bruch{1}{2}n(n+1) [/mm]

Hallo,

ich habe hier ein Beispiel zur vollständigen Induktion vorliegen.
Leider komme ich nicht hinter einen der Induktionsschritte.

A(n) = [mm] \summe_{i=1}^{n}=\bruch{1}{2}n(n+1) [/mm]
Die Bedingung n=1 ist wahr.

Es folgt der Induktionsschritt. Jetzt wollen wir zeigen : Wenn die aussage A8k) wahr ist, dann ist auch A8k+1) wahr.
Nehmen wir also an, dass A(k) für irgendein k wahr ist.
Es gelte also:
[mm] \summe_{i=1}^{k}=\bruch{1}{2}k(k+1). [/mm]
Nun untersuchen wir, welche Auswirkung A(k+1) hat
[mm] \summe_{i=1}^{k+1}=\bruch{1}{2}(k+1)((k+1)+1). [/mm]

Wenn nun aber eine Aussage, die eine Summe enthält, mittels Induktion gezeigt werden soll, dann ist die kompliziertere Seite normalerweise diejenige, die die Summe enthält.

[mm] \summe_{i=1}^{k+1}=(\summe_{i=1}^{k}) [/mm] +(k+1)

aufgrund der Definition der Summen gilt

                                    [mm] =(\bruch{1}{2}k(k+1))+(k+1) [/mm]

aufgrund der Induktionsannahme, dass A(k) wahr ist
                                     = [mm] ((\bruch{1}{2}k+1) \* [/mm] (k+1)

So, damit bin ich zu dem einzigen Umformungsschritt angekommen, den ich nicht nachvollziehen kann ( ich habe die folgenden Schritte weggelassen, das sie kein Problem für mich darstellen).

Es würde mich sehr freuen, wenn sich jemand findet, um diesen Schritt zu erklären.

Vielen Dank im voraus.

        
Bezug
Beweiserläuterung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:21 Do 21.05.2015
Autor: fred97


> Bewiesen werden soll, dass
> [mm]\summe_{i=1}^{n}=\bruch{1}{2}n(n+1)[/mm]

Das soll wohl so lauten:

[mm]\summe_{i=1}^{n}i=\bruch{1}{2}n(n+1)[/mm]


>  Hallo,
>  
> ich habe hier ein Beispiel zur vollständigen Induktion
> vorliegen.
>  Leider komme ich nicht hinter einen der
> Induktionsschritte.
>  
> A(n) = [mm]\summe_{i=1}^{n}=\bruch{1}{2}n(n+1)[/mm]

s.o.


>  Die Bedingung n=1 ist wahr.
>  
> Es folgt der Induktionsschritt. Jetzt wollen wir zeigen :
> Wenn die aussage A8k) wahr ist, dann ist auch A8k+1) wahr.
> Nehmen wir also an, dass A(k) für irgendein k wahr ist.
>  Es gelte also:
>  [mm]\summe_{i=1}^{k}=\bruch{1}{2}k(k+1).[/mm]


Wieder:  [mm]\summe_{i=1}^{k}i=\bruch{1}{2}k(k+1).[/mm]



>  Nun untersuchen wir, welche Auswirkung A(k+1) hat
>  [mm]\summe_{i=1}^{k+1}=\bruch{1}{2}(k+1)((k+1)+1).[/mm]


Es soll gezeigt werden: [mm]\summe_{i=1}^{k+1}i=\bruch{1}{2}(k+1)((k+1)+1).[/mm]

>  
> Wenn nun aber eine Aussage, die eine Summe enthält,
> mittels Induktion gezeigt werden soll, dann ist die
> kompliziertere Seite normalerweise diejenige, die die Summe
> enthält.
>  
> [mm]\summe_{i=1}^{k+1}=(\summe_{i=1}^{k})[/mm] +(k+1)

Korrekt lautet es:

[mm]\summe_{i=1}^{k+1}i=(\summe_{i=1}^{k}i)[/mm] +(k+1)

>  
> aufgrund der Definition der Summen gilt
>  
> [mm]=(\bruch{1}{2}k(k+1))+(k+1)[/mm]

Nein. Es gilt nach Induktionsvoraussetzung:

[mm] \summe_{i=1}^{k+1}i=(\bruch{1}{2}k(k+1))+(k+1) [/mm]


>  
> aufgrund der Induktionsannahme, dass A(k) wahr ist
>                                       = [mm]((\bruch{1}{2}k+1) \*[/mm]
> (k+1)
>  
> So, damit bin ich zu dem einzigen Umformungsschritt
> angekommen, den ich nicht nachvollziehen kann ( ich habe
> die folgenden Schritte weggelassen, das sie kein Problem
> für mich darstellen).

Im Term [mm] (\bruch{1}{2}k(k+1))+(k+1) [/mm]  wurde (k+1) ausgeklammert.

FRED

>  
> Es würde mich sehr freuen, wenn sich jemand findet, um
> diesen Schritt zu erklären.
>  
> Vielen Dank im voraus.


Bezug
                
Bezug
Beweiserläuterung: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:16 Fr 22.05.2015
Autor: Windbeutel

Danke dir,

da habe ich mal wieder das offensichtliche nicht gesehen.

Was Deine Bemerkung zu der Angabe "aufgrund der Definition der Summen gilt", das habe ich so aus dem Buch übernommen.
Aber Deine Angabe "Es gilt nach Induktionsvoraussetzung" scheint mir deutlich sinnvoller.

Auf jeden Fall danke ich Dir vielmals

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Induktion"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]