matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Analysis-InduktionBeweisführung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Beweisführung
Beweisführung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Induktion"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Beweisführung: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:16 Mo 01.06.2015
Autor: Windbeutel

Aufgabe
Zeigen Sie, dass sin nx [mm] \le [/mm] nsinx für alle natürlichen Zahlen n und alle 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \bruch{\pi}{2} [/mm] gilt.

Hinweis: sin (n+1)x kann genutzt werden, um die kompliziertere Seite zu erweitern. Also [mm] -1\le [/mm] cos0 [mm] \le [/mm] 1.

Hallo,

ich versuche mich gerade an der obigen Übungsaufgabe aus einem Buch. Leider komme ich dabei nicht wirklich weiter und eine Lösungsangabe git es dazu nicht.

Mein bisheriger Ansatz :
Ich würde den Induktionsbeweis nutzen.

Dann lautet der Induktionsanfang mit n=1:

[mm] sin1x\le1sinx [/mm]
[mm] \gdw [/mm]
sinx [mm] \le [/mm] sinx
Damit ist dieser wahr.

Es folgt der Induktionsschritt :

Ich gehe davon aus, die Aussage sei wahr für ein [mm] k\in\IN. [/mm]
Dann gilt [mm] sinkx\leksinx. [/mm]
Für (k+1) gilt nun [mm] sin(k+1)x\le(k+1)sinx. [/mm]

Nun kommt der Punkt, an dem ich nicht wirklich weiterkomme.
Ich bin auf die Idee gekommen, dass der Beweis folgender Ungleichungskette eigendlich ausreichen müsste :
sin(k+1)x [mm] \le [/mm] sinkx [mm] \le [/mm] (k+1)sinx.
Wie ich das aber machen soll ist mir unklar.
Zudem ist mir nicht klar, wie ich mit der Angabe 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \bruch{\pi}{2} [/mm] umgehen soll.
Wie ich gar den Lösungshinweis einbauen kann ist mir gänzlich unklar.

Es würde mich freuen, wenn sich jemand findet, um mir zu erklären, wie man diese Aufgabe löst/angeht.



        
Bezug
Beweisführung: Ein (kleines) Problem weniger
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:18 Mo 01.06.2015
Autor: Windbeutel

Mir ist gerade der Grund für die Beschränkung auf  0 $ [mm] \le [/mm] $ x $ [mm] \le \bruch{\pi}{2} [/mm] $ klar geworden. da hatte ich ursprünglich etwas falsch verstanden. Diese Frage hat sich also erledigt. :-)

Bezug
        
Bezug
Beweisführung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:31 Di 02.06.2015
Autor: fred97


> Zeigen Sie, dass sin nx [mm]\le[/mm] nsinx für alle natürlichen
> Zahlen n und alle 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le \bruch{\pi}{2}[/mm] gilt.
>  
> Hinweis: sin (n+1)x kann genutzt werden, um die
> kompliziertere Seite zu erweitern.


Merkwürdig ! Lautet das im Original wirklich so ?  

> Also [mm]-1\le[/mm] cos0 [mm]\le[/mm] 1.

Da ist wohl  [mm]-1\le[/mm] cosx [mm]\le[/mm] 1 gemeint.


>  Hallo,
>  
> ich versuche mich gerade an der obigen Übungsaufgabe aus
> einem Buch. Leider komme ich dabei nicht wirklich weiter
> und eine Lösungsangabe git es dazu nicht.
>  
> Mein bisheriger Ansatz :
>  Ich würde den Induktionsbeweis nutzen.
>  
> Dann lautet der Induktionsanfang mit n=1:
>  
> [mm]sin1x\le1sinx[/mm]
>  [mm]\gdw[/mm]
>  sinx [mm]\le[/mm] sinx
>  Damit ist dieser wahr.
>  
> Es folgt der Induktionsschritt :
>  
> Ich gehe davon aus, die Aussage sei wahr für ein [mm]k\in\IN.[/mm]
>  Dann gilt [mm]sinkx\leksinx.[/mm]
>  Für (k+1) gilt nun [mm]sin(k+1)x\le(k+1)sinx.[/mm]
>  
> Nun kommt der Punkt, an dem ich nicht wirklich
> weiterkomme.
>  Ich bin auf die Idee gekommen, dass der Beweis folgender
> Ungleichungskette eigendlich ausreichen müsste :
>  sin(k+1)x [mm]\le[/mm] sinkx [mm]\le[/mm] (k+1)sinx.


Die este Ungleichung ist für k=1 und x= [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm]  falsch !



>  Wie ich das aber machen soll ist mir unklar.
>  Zudem ist mir nicht klar, wie ich mit der Angabe 0 [mm]\le[/mm] x
> [mm]\le \bruch{\pi}{2}[/mm] umgehen soll.
>  Wie ich gar den Lösungshinweis einbauen kann ist mir
> gänzlich unklar.
>  
> Es würde mich freuen, wenn sich jemand findet, um mir zu
> erklären, wie man diese Aufgabe löst/angeht.

Wenn Du das mit Induktion machst, hast Du ohne das Additionstheorem für den Sinus wohl kaum eine Chance !

Also: Induktionsvoraussetzung: mit einem k [mm] \in \IN [/mm] gilt

(*)    $sin(kx) [mm] \le [/mm] k sin(x)$ für alle $x [mm] \in [/mm] [0, [mm] \bruch{\pi}{2}]$ [/mm]

Dann:

$sin((k+1)x)=sin(kx)cos(x)+cos(kx)sin(x)$

Jetzt (*) und der 2. Teil des Hinweises.

FRED

>  
>  


Bezug
                
Bezug
Beweisführung: Soweit ich es verstehe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:33 Di 02.06.2015
Autor: Windbeutel

Aufgabe
s.o.

Hallo, danke für diese Hilfestellung.

Zitat:

> Merkwürdig ! Lautet das im Original wirklich so ?  

Ja, so steht es im Buch. Aber in den englischsprachigen Diskusionsforen wird stellenweise von Fehlern im Buch berichtet.

Ich werde nun einfach einmal aufführen, wie weit ich dank deiner Hilfe gekommen bin:

Mein Induktionsanfang lautet  für n=1 und x [mm] \in [0;\bruch{\pi}{2}]: [/mm]
sin1x [mm] \le [/mm] 1*sinx
[mm] \gdw [/mm]
sinx [mm] \le [/mm] sinx.

Nun komme ich zum Induktionsschritt mit einem k [mm] \in \IN [/mm] und x  [mm] \in[0;\bruch{\pi}{2}]: [/mm]
sin (kx) [mm] \le [/mm] k*sin(x).
Für (k+1) gilt dann
sin ((k+1)x)) [mm] \le [/mm] (k+1)sin(x)

Wegen des Additionstheorems des Sinus gilt nun :
sin ((k+1)x) = sin(kx)*cos(x)+cos(kx)*sin(x).

Daher lässt sich der linke Teil der Ungleichung sin ((k+1)x)) [mm] \le [/mm] (k+1)sin(x)
durch sin(kx)*cos(x)+cos(kx)*sin(x) substituieren, und ich bekomme die Ungleichung :

sin(kx)*cos(x)+cos(kx)*sin(x) [mm] \le [/mm] (k+1)sin (x)
So, der nächste vorgeschlagene Schritt ist nun die Beachtung des Hinweises ( -1 [mm] \le cosx\le1). [/mm]

Ich muss zugeben, dass ich jetzt schon eine Stunde darüber nachdenke, wie ich dies einbringen kann. Villeicht kann mir an dieser Stelle nocheinmal jemand unter die Arme greifen.

Grüße und vielen Dank im voraus


Bezug
                        
Bezug
Beweisführung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:45 Di 02.06.2015
Autor: fred97


> s.o.
>  Hallo, danke für diese Hilfestellung.
>
> Zitat:
>  > Merkwürdig ! Lautet das im Original wirklich so ?  

> Ja, so steht es im Buch. Aber in den englischsprachigen
> Diskusionsforen wird stellenweise von Fehlern im Buch
> berichtet.
>  
> Ich werde nun einfach einmal aufführen, wie weit ich dank
> deiner Hilfe gekommen bin:
>  
> Mein Induktionsanfang lautet  für n=1 und x [mm]\in [0;\bruch{\pi}{2}]:[/mm]
>  
> sin1x [mm]\le[/mm] 1*sinx
>  [mm]\gdw[/mm]
>  sinx [mm]\le[/mm] sinx.
>  
> Nun komme ich zum Induktionsschritt mit einem k [mm]\in \IN[/mm] und
> x  [mm]\in[0;\bruch{\pi}{2}]:[/mm]
>  sin (kx) [mm]\le[/mm] k*sin(x).
>  Für (k+1) gilt dann
>  sin ((k+1)x)) [mm]\le[/mm] (k+1)sin(x)

Das ist zu zeigen !!!!!


>  
> Wegen des Additionstheorems des Sinus gilt nun :
>  sin ((k+1)x) = sin(kx)*cos(x)+cos(kx)*sin(x).
>  
> Daher lässt sich der linke Teil der Ungleichung sin
> ((k+1)x)) [mm]\le[/mm] (k+1)sin(x)
>  durch sin(kx)*cos(x)+cos(kx)*sin(x) substituieren, und ich
> bekomme die Ungleichung :
>  
> sin(kx)*cos(x)+cos(kx)*sin(x) [mm]\le[/mm] (k+1)sin (x)
>  So, der nächste vorgeschlagene Schritt ist nun die
> Beachtung des Hinweises ( -1 [mm]\le cosx\le1).[/mm]
>  
> Ich muss zugeben, dass ich jetzt schon eine Stunde darüber
> nachdenke, wie ich dies einbringen kann. Villeicht kann mir
> an dieser Stelle nocheinmal jemand unter die Arme greifen.
>  
> Grüße und vielen Dank im voraus
>  


Wir haben:

(1)  $ sin ((k+1)x) = sin(kx)*cos(x)+cos(kx)*sin(x)$

und

(2)    $sin(kx) [mm] \le [/mm] ksin(x).$

Im Intervall $[0, [mm] \pi/2]$ [/mm] ist cos(x) [mm] \ge [/mm] 0. Multiplizieren wir die Ungl. (2) mit cos(x) durch, so erhalten wir:

   $sin(kx)cos(x) [mm] \le [/mm] ksin(x)cos(x).$

Aus (1) folgt dann

  $sin ((k+1)x) [mm] \le [/mm]  ksin(x)cos(x)+cos(kx)*sin(x)=sin(x)[kcos(x)+cos(kx)]$


Nun ist $kcos(x)+cos(kx) [mm] \le [/mm] k+1$

FRED




Bezug
                                
Bezug
Beweisführung: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:24 Mi 03.06.2015
Autor: Windbeutel

Ich danke dir für deine Hilfe.
Diese Aufgabe hat mir meine Lücken im Bereich der Trigonimetrie deutlich gemacht. Da werde ich mich mal wieder mit beschäftigen müssen.
Vielen Dank nochmal
Mark

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Induktion"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 2h 18m 5. TS85
MaßTheo/Sigma-Algebra = P(X)
Status vor 1d 21h 57m 8. Gonozal_IX
MaßTheo/Beweis Sigma-Algebra
Status vor 2d 6. hohohaha1234
USons/Größtmöglichstes Produkt
Status vor 3d 2. matux MR Agent
Mathematica/parametrischen Plot
Status vor 3d 3. Gonozal_IX
UAuslg/Log. Äquivl. vs. log. Schluss
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]