Beweisführung Abelsche Gruppe < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 Sa 22.03.2014 | | Autor: | DieNase |
| Aufgabe | Sind die folgenden Strukturen [mm] (X;\circ) [/mm] abelsche Gruppen?
(a) Sei [mm] \in \IN, [/mm] X = [mm] Z_{m} [/mm] und [mm] [x]_{m}\circ [y]_{m} [/mm] = [x + [mm] y]_{m}.
[/mm]
(b) Sei m [mm] \in \IN, [/mm] X = [mm] Z_{m} [/mm] und [mm] [x]_{m} \circ [y]_{m} [/mm] = [x * [mm] y]_{m}.
[/mm]
(c) Sei p eine Primzahl, X = [mm] Z_{p} \backslash {[0]_{p}} [/mm] und [mm] [x]_{p} \circ [/mm] [mm] [y]_{p} [/mm] = [x * [mm] y]_{p}. [/mm] |
Nunja eine Gruppe muss:
Assotiativgesetz
neutrales Element
inverses Element
haben
Abelsche Gruppe muss:
Kommutativgesetz erfüllen + Gruppen bedingungen.
Als muss ich zeigen:
([x + [mm] y]_{m}) +[c]_{m} [/mm] = [mm] [x]_{m} [/mm] + ([y + [mm] c]_{m})
[/mm]
Hier steh ich so bischen an. Naja ich weiß das es stimmt. Aber wie beweis ich das Jetzt?
gleiches für neutrales elment. Ja es gibt ein [mm] [0]_{m} [/mm] und dieses wird nichts verändern.
inverses elment? Ja. jede restklasse hat ist entweder mit sich selbst invers oder hat ein elment das das neutrale element rauskommt.
Kommutativ gesetz gilt auch. Insofern ist bsp a) eine Abelsche gruppe.
b ist keine und c muss wieder eine sein....
Bloß wie beweist man so etwas. Ist das erstemal das ich sowas zeigen muss und ehrlich gesagt steh ich an. ^^ Bei b kann ich leicht ein gegenbeispiel finden das eben nciht jedes element ein inverses hat.
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> Sind die folgenden Strukturen [mm](X;\circ)[/mm] abelsche Gruppen?
> (a) Sei [mm]\in \IN,[/mm] X = [mm]Z_{m}[/mm] und [mm][x]_{m}\circ [y]_{m}[/mm] = [x
> + [mm]y]_{m}.[/mm]
> (b) Sei m [mm]\in \IN,[/mm] X = [mm]Z_{m}[/mm] und [mm][x]_{m} \circ [y]_{m}[/mm] =
> [x * [mm]y]_{m}.[/mm]
> (c) Sei p eine Primzahl, X = [mm]Z_{p} \backslash {[0]_{p}}[/mm]
> und [mm][x]_{p} \circ[/mm] [mm][y]_{p}[/mm] = [x * [mm]y]_{p}.[/mm]
> Nunja eine Gruppe muss:
> Assotiativgesetz
> neutrales Element
> inverses Element
> haben
> Abelsche Gruppe muss:
> Kommutativgesetz erfüllen + Gruppen bedingungen.
>
> Als muss ich zeigen:
> ([x + [mm]y]_{m}) +[c]_{m}[/mm] = [mm][x]_{m}[/mm] + ([y + [mm]c]_{m})[/mm]
> Hier steh ich so bischen an. Naja ich weiß das es stimmt.
> Aber wie beweis ich das Jetzt?
Hallo,
fürs Assoziativgesetz in (a) ist zu zeigen
[mm] ([x]_m\circ [y]_m)\circ [z]_m=[x]_m\circ ([y]_m\circ [z]_m),
[/mm]
und dies ist zu tun, indem Du die Definition der Verknüpfung verwendest und die Gesetze fürs Rechnen mit ganzen Zahlen:
[mm] ([x]_m\circ [y]_m)\circ [z]_m
[/mm]
[mm] =[x+y]_m\circ [z]_m
[/mm]
[mm] =[(x+y)+z]_m
[/mm]
=...
> gleiches für neutrales elment. Ja es gibt ein [mm][0]_{m}[/mm] und
> dieses wird nichts verändern.
Dann schreib: [mm] [0]_m [/mm] ist neutrales Element, denn ...
Rechne vor, daß [mm] [0]_m [/mm] tut, was es tun soll:
Sei [mm] [x]_m\in \IZ/m\IZ.
[/mm]
Es ist [mm] [0]_m+[x]_m=...,
[/mm]
also...
> inverses elment? Ja. jede restklasse hat ist entweder mit
> sich selbst invers oder hat ein elment das das neutrale
> element rauskommt.
Sei [mm] [x]_m\in \IZ/m\IZ.
[/mm]
Sag, welches Element man addieren muß, damit das neutrale herauskommt, und rechne vor, daß es funktioniert.
LG Angela
> Kommutativ gesetz gilt auch. Insofern ist bsp a) eine
> Abelsche gruppe.
>
> b ist keine und c muss wieder eine sein....
>
> Bloß wie beweist man so etwas. Ist das erstemal das ich
> sowas zeigen muss und ehrlich gesagt steh ich an. ^^ Bei b
> kann ich leicht ein gegenbeispiel finden das eben nciht
> jedes element ein inverses hat.
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