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| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass gilt: [mm] (9^n) [/mm] -1 ist durch 8 teilbar für alle n Element N |
Den Induktionsanfang bekomme ich noch hin. Hier setzte ich [mm] n_0 [/mm] = 1; dann bekomme ich als Ergebnis 8 und das ist durch 8 teilbar. Somit passt der Induktionsanfang.
Dann zum Induktionsschritt: Nun ist n = n+1. Dann hätte ich [mm] (9^{n+1}) [/mm] -1.
Mit den Potenzgesetzen bearbeitet, bekomme ich dann: [mm] (9^n) [/mm] * [mm] (9^1) [/mm] - 1.
Ab hier weiß ich jetzt nicht mehr weiter und würde Eure Hilfe benötigen. Vielen Dank.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 Fr 17.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
bringe nun die Induktionsvoraussetzung ins Spiel. Nach dieser existiert ein $k [mm] \in \IZ$ [/mm] mit [mm] $9^n-1=8k$ [/mm] für ein festes $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Liebe Grüße
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Vielen Dank für deine Antwort. Wie kommst du denn auf der rechten Seite auf die 8k ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Fr 17.10.2014 | | Autor: | andyv |
Wenn [mm] $9^n-1$ [/mm] durch 8 teilbar sein soll, ist es p.d. ein ganzzahliges Vielfaches von 8.
Liebe Grüße
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Das klingt auf jeden Fall logisch. Dann habe ich jetzt hier stehen:
[mm] (9^n) [/mm] * [mm] (9^1) [/mm] -1 = 8k
Aber wie fahre ich fort? Muss jetzt nach irgendetwas aufgelöst werden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Fr 17.10.2014 | | Autor: | abakus |
> Das klingt auf jeden Fall logisch. Dann habe ich jetzt hier
> stehen:
>
> [mm](9^n)[/mm] * [mm](9^1)[/mm] -1 = 8k
>
> Aber wie fahre ich fort? Muss jetzt nach irgendetwas
> aufgelöst werden?
Schreibe statt [mm] $9^1$ [/mm] die Summe (8+1). Damit kannst du die Induktionsvoraussetzung ins Spiel bringen.
Gruß Abakus
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Alles klar, dann habe ich:
9^(n) * (8+1) - 1 = 8k
Und wie bringe ich jetzt die Induktionsvoraussetzung am Besten ins Spiel?
Bei meinen früheren Gleichung konnte nun die rechte Seite der Gleichung mit der linken Seite ersetzt werden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Fr 17.10.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du fasst das falsch an. du weisst aus der Ind, vors [mm] 9^n-1=8k
[/mm]
noch nicht [mm] 9^{n+1}-1=8m [/mm] das willst du doch erst zeigen!
jetzt [mm] 9^{n+1}-1=9^n(*8+1)-1 [/mm] jetzt multiplizier die Klammer aus! und setz dann die IndVors ein.
Gruss leduart
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Sorry, jetzt komme ich momentan garnicht mehr mit. Wäre es möglich, dass mir jemand von Euch einmal den kompletten Weg zu der Aufgabe zeigt, sodass ich das nachvollziehen kann? Die einzelnen Schritte ergeben für mich momentan leider keinen Sinn :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 Fr 17.10.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo Michi!
> Sorry, jetzt komme ich momentan garnicht mehr mit. Wäre es
> möglich, dass mir jemand von Euch einmal den kompletten
> Weg zu der Aufgabe zeigt, sodass ich das nachvollziehen
> kann? Die einzelnen Schritte ergeben für mich momentan
> leider keinen Sinn :-(
Wir wollen zeigen: [mm]9^n-1[/mm] ([mm]n\in\mathbb N[/mm]) ist durch 8 teilbar.
Induktionsanfang [mm]n=1[/mm]: klar.
Induktionsvoraussetzung: Sei die Behauptung bereits für ein [mm]n\in\mathbb N[/mm] bewiesen. D.h. für dieses n ist [mm]9^n-1[/mm] durch 8 teilbar.
Induktionsschritt:
[mm]9^{n+1}-1=9^n\cdot (8+1)-1=\underbrace{8\cdot 9^n}_{\text{Vielfaches von 8}}+\underbrace{9^n-1}_{\text{laut IV durch 8 teilb.}[/mm]
Insgesamt: [mm] $9^{n+1}-1$ [/mm] ist durch 8 teilbar.
Natürlich kannst du auch mit der Schreibweise $8k$ bzw. $8m$ arbeiten, wie von andyv vorgeschlagen...
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:31 Fr 17.10.2014 | | Autor: | Michi4590 |
Tausend Dank euch allen, genauso etwas habe ich gesucht, damit ich es wirklich Schritt für Schritt nachvollziehen kann 
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