Bezeichnung Matrix Eigenschaft < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] A:=\pmat{ a_1 & \ldots &a_1 \\ a_2 & \ldots &a_2 \\ \vdots & &\vdots\\ a_k& \ldots & a_k} [/mm] |
Hallo zusammen,
trägt die Eigenschaft der Matrix [mm] M=A+A^T+\lambda I_k [/mm] mit [mm] \lambda\in\IR [/mm] einen Namen? Und erfüllt M immer die Gleichung [mm] m_{ii}+m_{jj}-2m_{ij}=2\lambda, [/mm] für [mm] i\neq [/mm] j?
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moin,
Deine Matrix $M$ ist auf jeden Fall schonmal symmetrisch.
Weiterhin ist für $i [mm] \neq [/mm] j$: [mm] $m_{ij} [/mm] = [mm] a_i [/mm] + [mm] a_j$ [/mm] und für $i=j$ kriegen wir [mm] $m_{ij} [/mm] = [mm] m_{ii} [/mm] = [mm] 2a_i [/mm] + [mm] \lambda$.
[/mm]
Damit ist [mm] $m_{ii} [/mm] + [mm] m_{jj} [/mm] = [mm] 2a_i+2a_j [/mm] + [mm] 2\lambda$ [/mm] und für $i [mm] \neq [/mm] j$ gilt deine Gleichung, ja.
Ich weiß allerdings nicht, ob diese Matrizen einen besonderen Namen oder besondere Eigenschaften haben, die einen solchen rechtfertigen würden.
Spontan sind es für mich besondere symmetrische Matrizen; wenn du mehr interessante Eigenschaften findest könnte das natürlich durchaus interessant sein. ;)
lg
Schadow
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| Aufgabe | | [mm] M=\pmat{ 8 & 3 & 5\\ 3 & 10& 6\\ 5 & 6 & 14 } Q=\pmat{ -1/\sqrt{2} & 0 & 1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{6} & -2/\sqrt{6}& 1/\sqrt{6}} [/mm] |
Hi,
danke für die Antwort. Eine zusätzliche Eigenschaft solcher Matrizen soll folgende sein:
Es gibt orthonormale Matrizen Q, so dass [mm] $QMQ^T=\lambda [/mm] I$, dabei ist I die Einheitsmatrix. Ein Beispiel steht im Aufgabenteil. Mir stellt sich die Frage wie Q gewählt werden muss, da die Gleichung [mm] $QMQ^T=\lambda [/mm] I$ nicht für beliebige orthonormal Matrizen Q gilt, sofern die Anzahl der Spaltenvektoren von Q kleiner gleich der von M ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Do 06.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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